Periodo di funzione goniometrica con modulo
Mi incuriosisce trovare una via analitica per determinare il periodo della funzione y=2ABS(sin(2x)).
Per via grafica si deduce agevolmente che esso è 90°
Ardimentoso66
Per via grafica si deduce agevolmente che esso è 90°
Ardimentoso66
Risposte
una spiegazione potrebbe essere che il periodo di sen(2x) è $pi$ e che il valore assoluto dimezza il periodo
Sono del tuo stesso parere.
Ma come dimostrarlo?
Ma come dimostrarlo?
formalizza il problema:
tu hai la funzione $f(x)=2|sin(2x)|$
vuoi trovare $T$ tale che $f(x)=f(x+T)$ $AA x in RR$.
allora calcoliamo $f(x+T)$ e imponiamolo uguale a $f(x)$
vediamo quando $f(x+T)=2|sin(2x+2T)|=2|sin(2x)|=f(x)$
quindi bisogna risolvere l'equazione, per ogni $x$ reale, in $T$:
$2|sin(2x+2T)|=2|sin(2x)|$
come la risolveresti?
tu hai la funzione $f(x)=2|sin(2x)|$
vuoi trovare $T$ tale che $f(x)=f(x+T)$ $AA x in RR$.
allora calcoliamo $f(x+T)$ e imponiamolo uguale a $f(x)$
vediamo quando $f(x+T)=2|sin(2x+2T)|=2|sin(2x)|=f(x)$
quindi bisogna risolvere l'equazione, per ogni $x$ reale, in $T$:
$2|sin(2x+2T)|=2|sin(2x)|$
come la risolveresti?
Nei vari tentativi fatti ero arrivato anche io a questo punto; una via è stabilire gli intervalli di positività/negatività dei due membri e risolvere quindi le equazioni che ne risultano; un'altra potrebbe essere quella di elevare al quadrato ambo i membri, ma forse i calcoli si complicano un pò troppo....insomma poi ho lasciato perdere perché mi sembrava eccessivo per uno studente di Liceo. Però la cosa mi incuriosice sempre. Magari dopo tento la prima via e vediamo se mi viene un T=90°.
no non è troppo per uno studente di liceo!
non è mai troppo, se sei in grado di farti una domanda devi essere in grado di cercare una risposta, e in questo caso di trovarla!
l'equazione che ti ho proposto e che tu dici di aver già trovato è risolvibile, prova poi noi ti aiutiamo
non è mai troppo, se sei in grado di farti una domanda devi essere in grado di cercare una risposta, e in questo caso di trovarla!
l'equazione che ti ho proposto e che tu dici di aver già trovato è risolvibile, prova poi noi ti aiutiamo
Dopo cena ho ragionato così:
La funzione $y=2sen2x$ ha periodo 180° (questo è facile);
La funzione $y=2sen2x$ è positiva per $x>k180°$ e $x<90° +k180°$, ossia infiniti intervalli di ampiezza 90° (questo pure è facile);
In questi intervalli posso quindi liberare i due moduli e risolvere l'equazione semplificata $sen2x=sen[2(x+kT)]$. Per uguagliare i due membri occorre aggiungere il periodo anche alla funzione a sinistra che, per quanto detto prima, è 180°, quindi:
$sen(2x+k180°)=sen(2x+2kT)$ ossia
T=90°. Analogo ragionamento per gli intervalli in cui la funzione $y=2sen2x$ assume valori negativi.
Quando dicevo che non mi sembrava cosa per un liceale, involontariamente facevo riferimento allo studente che mi ha posto la questione perché mi pare che abbiano fatto molto poco sulle equazioni con i moduli. Concordo pienamente con quanto detto da te. Tutto può essere alla portata di un liceale.
Ardimentoso66
La funzione $y=2sen2x$ ha periodo 180° (questo è facile);
La funzione $y=2sen2x$ è positiva per $x>k180°$ e $x<90° +k180°$, ossia infiniti intervalli di ampiezza 90° (questo pure è facile);
In questi intervalli posso quindi liberare i due moduli e risolvere l'equazione semplificata $sen2x=sen[2(x+kT)]$. Per uguagliare i due membri occorre aggiungere il periodo anche alla funzione a sinistra che, per quanto detto prima, è 180°, quindi:
$sen(2x+k180°)=sen(2x+2kT)$ ossia
T=90°. Analogo ragionamento per gli intervalli in cui la funzione $y=2sen2x$ assume valori negativi.
Quando dicevo che non mi sembrava cosa per un liceale, involontariamente facevo riferimento allo studente che mi ha posto la questione perché mi pare che abbiano fatto molto poco sulle equazioni con i moduli. Concordo pienamente con quanto detto da te. Tutto può essere alla portata di un liceale.
Ardimentoso66
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