Periodicità

[maria601]

Devo trovare il periodo della funzione $ Y= sin2x / (cosx-sen2x) $ ho applicato la duplicazione del seno ottenendo $ 2(senx)^2 / (3+senx) $ ma di questa come calcolo il periodo ?

[chiaraotta1]

Mi pare che, usando le formule di duplicazione del seno, si ottenga
$ y= (sin2x) / (cosx-sin2x)=2(sinx cosx)/(cosx-2sinx cos x)= $
$2(sinx cosx)/(cosx(1-2sinx))=2(sinx)/(1-2sinx)$,
con $x!=pi/2+k pi$.

[maria601]

si ho fatto confusione con un'altra funzione, ma quella che hai ottenuto che peridicità ha ?

[chiaraotta1]

$2 pi$

[maria601]

Perchè ?

[CaMpIoN]

Il mio libro per calcolare un periodo usa la definizione:
\(\displaystyle f(x+t)=f(x)\)
Poi per trovare $t$ si teorizza per quale di esso il primo membro sia uguale al secondo.

[giammaria2]

Quella citata da CaMpIoN è la definizione di periodo ma l'ho sempre vista usare per verificare che quello sia il periodo e mai per calcolarlo; se davvero il libro lo fa, mi piacerebbe sapere come fa.
il metodo abituale per trovare il periodo è:
- trovare il periodo delle funzioni goniometriche presenti ($pi$ per la tangente e $2pi$ per seno e coseno);
- se $x$ è moltiplicata per una costante $k$ dividere per $k$ il predente risultato;
- se ci sono due o più periodi, farne il m.c.m.. In presenza di frazioni, si intende che vanno ridotte al minimo comun denominatore e poi si fa il m.c.m. dei numeratori;
- verificare l'esattezza del risultato trovato usando la precedente definizione.

Vediamo il caso in esame: la funzione
$f(x)=(2senx)/(1-2senx)$
contiene solo $sinx$ e quindi ha periodo $2pi$.
Supponendo che la formula iniziale non fosse semplificabile e riferendoci quindi a
$f(x)=(sin2x)/(cosx-sin2x)$
abbiamo $sin2x$ che ha periodo $(2pi)/2=pi$ ed anche $cosx$ che ha periodo $2pi$, il loro m.c.m. è $2pi$ che è quindi il periodo cercato.
In entrambi i casi dobbiamo verificare l'esattezza calcolando $f(x+2pi)$ che deve risultare uguale ad $f(x)$.

[CaMpIoN]

"giammaria":Quella citata da CaMpIoN è la definizione di periodo ma l'ho sempre vista usare per verificare che quello sia il periodo e mai per calcolarlo; se davvero il libro lo fa, mi piacerebbe sapere come fa.

Ok. Mettiamo caso ad esempio di voler calcolare il periodo della funzione $\sin x$, quindi dall'uguaglianza della definizione si ha
\(\displaystyle \sin (x+t)=\sin x \)
Sviluppiamo il primo membro con la formula del seno di una somma
\(\displaystyle \sin x\cos t+\sin t\cos x=\sin x \)
E' evidente che per essere il primo membro uguale al secondo $\cos t=1$ e $\sin t=0$, questo accade per $t=0$ oppure per $t=2\pi$, lo zero non può essere il periodo quindi deve esserlo per forza il $t=2\pi$.
Quindi
\(\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x \)

[giammaria2]

Bella! Non l'avevo mai vista e proverò a verificarla anche in casi più complicati.