Perché $sqrt(x^2)$ $=$ $|x|$?
Non riesco proprio a capirlo... $x^2$ essendo un numero reale positivo dovrebbe avere due radici, una positiva e una negativa. Eppure il prof di matematica sostiene che non è così, qualcuno saprebbe spiegarmi perché? Grazie mille...
Risposte
Non credo che tu abbia dubbi nello scrivere che $sqrt 9=3$ e non $sqrt 9=+-3$; eppure anche -3, elevato al quadrato, dà 9. A rendere giusta la prima scrittura e non la seconda è la seguente convenzione: una radice con indice pari, quando è scritta, è positiva o nulla(ovvio, se esiste). Con i numeri è ovvio; con le lettere un po' meno ma la convenzione non cambia e per questo occorre il valore assoluto. Forse ti può convincere il seguente esempio:
Sia $x=-5$; allora $sqrt(x^2)=sqrt((-5)^2)=sqrt (25)=5=|x|$; come vedo, sarebbe stato sbagliato scrivere alla fine $=x$.
Sia $x=-5$; allora $sqrt(x^2)=sqrt((-5)^2)=sqrt (25)=5=|x|$; come vedo, sarebbe stato sbagliato scrivere alla fine $=x$.
Ma perché?
$sqrt(9) = ±3$
E' una convenzione? Ma perché tale convenzione?
$sqrt(9) = ±3$
E' una convenzione? Ma perché tale convenzione?
Ci sono due concetti di radice quadrata, lievemente diversi fra loro.
Il primo concetto è detto radice in senso aritmetico e si pensa solo alla soluzione positiva: è quello che ti hanno insegnato alle medie quando hai studiato il teorema di Pitagora. Il secondo è detto radice in senso algebrico e consiste nel pensare che c'è anche la soluzione negativa.
Si è stabilito che il simbolo di radice indichi il senso aritmetico; quando vuoi quello algebrico lo fai precedere dal $+-$. Questa scelta è stata fatta un po' perché rende comodo scrivere entrambi i sensi e un po' perché è spontaneo pensare che un simbolo indichi un numero e uno solo.
Del resto non ha molto senso chiedersi il perché delle convenzioni: perché la lettera A si scrive in quel modo? Perché l'anno inizia il primo gennaio? Perché i numeri si scrivono in base 10? Eccetera. Le convenzioni sono scelte arbitrarie: le si può giustificare con motivi storici o di comodità o altro ma non hanno una motivazione indiscutibile.
Il primo concetto è detto radice in senso aritmetico e si pensa solo alla soluzione positiva: è quello che ti hanno insegnato alle medie quando hai studiato il teorema di Pitagora. Il secondo è detto radice in senso algebrico e consiste nel pensare che c'è anche la soluzione negativa.
Si è stabilito che il simbolo di radice indichi il senso aritmetico; quando vuoi quello algebrico lo fai precedere dal $+-$. Questa scelta è stata fatta un po' perché rende comodo scrivere entrambi i sensi e un po' perché è spontaneo pensare che un simbolo indichi un numero e uno solo.
Del resto non ha molto senso chiedersi il perché delle convenzioni: perché la lettera A si scrive in quel modo? Perché l'anno inizia il primo gennaio? Perché i numeri si scrivono in base 10? Eccetera. Le convenzioni sono scelte arbitrarie: le si può giustificare con motivi storici o di comodità o altro ma non hanno una motivazione indiscutibile.
È un problema legato alla necessità di lavorare con le funzioni.
Come sai nelle funzioni il risultato deve essere unico:
per ogni valore di x esiste un unico valore di y tale che $f(x)=y$,
per poter utilizzare nelle radici le proprietà delle funzioni devi accettare, anche per le radici, l'univocità del valore in uscita.
Quindi $sqrt9=3$, ovviamente $x^2=9$ diventa $x=+-sqrt9=+-3$
Come sai nelle funzioni il risultato deve essere unico:
per ogni valore di x esiste un unico valore di y tale che $f(x)=y$,
per poter utilizzare nelle radici le proprietà delle funzioni devi accettare, anche per le radici, l'univocità del valore in uscita.
Quindi $sqrt9=3$, ovviamente $x^2=9$ diventa $x=+-sqrt9=+-3$
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