Perchè questa serie converge con questo valore di $\alpha$?
La serie è
$\sum_{n=1}^infty$ $(1)/(n^(alpha)(sqrt(1+2/n^(3))-1)$
Bisogna stabilire per quale valore di $alpha$ la serie converge.
Io ho provato a risolverla col criterio asintotico.
Prima di tutto la radice $sqrt(1+2/n^(3)$ che compare a denominatore la considero asintotica a $(1)/(n^(3/2))$.
Detto questo a denominatore mi ritrovo con questa funzione $(1)/(n^(alpha-3/2)-n^(alpha)$.
Considero l'infinitesimo più piccolo e mi resta $(1)/(n^(alpha-3/2)$.
Pongo $alpha-3/2>1$ per farla convergere utilizzando la serie armonica generalizzata e mi trovo $alpha>5/2$.
Il problema è che $alpha>4$ è la soluzione. Questo risultato torna se la radice $sqrt(1+2/n^(3)$ che compare a denominatore la considero asintotica a $(1)/(n^(3))$.
Dunque quando "tolgo" dalla radice $1+2/n^(3)$ non devo moltiplicare l'esponente $3x(1/2)$ ? Eppure in molti esercizi l'esponente va moltiplicato per la radice!
Grazie per le risposte!
$\sum_{n=1}^infty$ $(1)/(n^(alpha)(sqrt(1+2/n^(3))-1)$
Bisogna stabilire per quale valore di $alpha$ la serie converge.
Io ho provato a risolverla col criterio asintotico.
Prima di tutto la radice $sqrt(1+2/n^(3)$ che compare a denominatore la considero asintotica a $(1)/(n^(3/2))$.
Detto questo a denominatore mi ritrovo con questa funzione $(1)/(n^(alpha-3/2)-n^(alpha)$.
Considero l'infinitesimo più piccolo e mi resta $(1)/(n^(alpha-3/2)$.
Pongo $alpha-3/2>1$ per farla convergere utilizzando la serie armonica generalizzata e mi trovo $alpha>5/2$.
Il problema è che $alpha>4$ è la soluzione. Questo risultato torna se la radice $sqrt(1+2/n^(3)$ che compare a denominatore la considero asintotica a $(1)/(n^(3))$.
Dunque quando "tolgo" dalla radice $1+2/n^(3)$ non devo moltiplicare l'esponente $3x(1/2)$ ? Eppure in molti esercizi l'esponente va moltiplicato per la radice!
Grazie per le risposte!
Risposte
Ho capito come risolverla andando sul sicuro: sviluppo di Taylor di $(x+1)^(alpha)$ con $alpha=1/2$
Oppure, ancora più semplicemente, puoi determinare l'ordine di infinitesimo del termine generale... Ricorda che è: $lim_(f(x) -> 0 ) (( 1 + f(x) )^alpha - 1)/(f(x)) = alpha$
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