Perchè non esiste il limite della funzione così definita??

[dbn-votailprof]

In un compito svolto dal prof, lui ha scritto che:
data la funzione così definita, f(x): 2 se x>0; 1 se x<=0.
Allora il lim x-->0 di f(x) non esiste....
Si tratta di un errore o è proprio così??
E se non si tratta di un errore perchè non esiste..?? non dovrebbe essere 1 il limite proprio per definizione di funzione??

[Camillo]

La funzione vale $ 1 $ in $ x=0 $ ; però limite destro e sinistro sono diversi e quindi non esiste limite per $ x rarr 0 $.
Discontinuità di prima specie ( se ancora vale questa classificazione ) , in parole povere "salto".

[Paolo902]

Mi attacco al quesito proponendone una variante: che cosa sarebbe successo se la funzione fosse stata definita come

$f(x):RR->RR: y= {[1 \mbox{ se } x \ne 0],[2 \mbox{ se } x =0]:}$

Dire se esiste e, in caso affermativo, calcolare quanto vale il $lim_{x->0} f(x)$.



Paolo

[raff5184]

"Paolo90":$f(x):RR->RR: y= {[1 \mbox{ se } x \ne 0],[2 \mbox{ se } x =0]:}$

Dire se esiste e, in caso affermativo, calcolare quanto vale il $lim_{x->0} f(x)$.

sarei tentato dal dire si, e vale 1. Perché se scegliessi 2 come limite non riuscirei a trovare sempre un $epsilon$ arbitrario t.c. la funzione "ricada" nell'intorno di 2 per il corrispondente intorno destro/sinistro dello 0

[qqwert]

Sì, il limite esiste e vale 1. Ciò non toglie che per $x=0$ la funzione presenta una discontinuità che, se non erro, viene catalogata come di terza specie (tuttavia non tutte le discontinuità di terza specie sono come questa... prova ad analizzare cosa accade alla funzione $f(x) = e^(1/x)$ per $x->0$)

[Camillo]

Simpatica la variante di Paolo90 : fa capire che limite e valore di una funzione in un punto sono due cose diverse in genere .
Se coincidono allora la funzione è continua in quel punto.

[raff5184]

"qqwert": se non erro, viene catalogata come di terza specie

III specie = eliminabile. E in questo caso?? Non possiamo eliminare la discontinuità?

[adaBTTLS1]

l'esempio riportato da qqwert non presenta una discontinuità di terza specie, ma di seconda...
$lim_(x->0^-)\e^(1/x) = 0^+$
$lim_(x->0^+)\e^(1/x) = +oo$
ciao.

[qqwert]

Chiedo venia, nella fretta ho scordato un meno e un valore assoluto
Volevo semplicemente portare un esempio di una funzione che, pur presentando limite destro e sinistro a un certo x finiti e uguali, non risulta definita in tale punto. La funzione in questione non è, come ha fatto giustamente notare adaBTTLS, $f(x)=e^(1/x)$, ma $f(x)=e^(-1/abs(x))$, dove $abs(x)$ indica il valore assoluto di x.

[alvinlee881]

"raff5184":[quote="qqwert"] se non erro, viene catalogata come di terza specie

III specie = eliminabile. E in questo caso?? Non possiamo eliminare la discontinuità?[/quote]
A parte che ogni libro dice quello che gli pare sui tipi di discontinuità.
Propongo di metterci d'accordo, per continuare il topic senza ambiguità, su quanto dice Enrico Giusti, Analisi Matematica 1:
Se il limite esiste finito, ma è diverso dal valore della funzione nel punto, la discontinuità si dice eliminabile, e la funzione si rende continua ponendo il valore della funzione nel punto uguale al suo limite (in realtà la funzione resta discontinua in quel punto, semplicemente definiamo una nuova funzione che per costruzione è continua).
Cioè se esiste finito $lim_(x->x_0)f(x)=L$, ma $f(x_0)!=L$, $f(x)$ presenta una discontinuità eliminabile in $x_0$, e definiamo quindi la nuova funzione
$barf(x)={[f(x) \mbox{ se } x \ne x_0],[L \mbox{ se } x =0]:}$
che, per costruzione, è continua in $x_0$.
Nell'esempio proposto da paolo 90, la discontinuità è eliminabile, e la si elimina definendo la nuova funzione
$barf(x) equiv1$.


Se invece il lmite non esiste, o non è finito, si hanno 3 casi:
1) discontinuità di prima specie (o col "salto"):esistono i limiti sinistro e destro della funzione in $x_0$, ma sono diversi.
esempio: $f(x)=x/|x|$, ha un salto in $0$ di ampiezza $2$.

2)discontinuità di seconda specie: esistono i limiti sinistro e destro della funzione, ma almeno uno dei due è infinito ($+-oo$).
esempio:$f(x)=e^(1/x)$, poichè $lim_(x->0^-)f(x)=e^(-oo)=0$ e$lim(x->0^+)f(x)=e^(+oo)=+oo$.

3)discontinuità di terza specie:almeno uno dei limiti destro e sinistro non esiste. esempio: la funzione $f(x)=sin(1/x)$ non ha limite per x che tende a $0$, di conseguenza presenta in $0$ una discontinuità di terza specie.

Per quanto invece riguarda l'esempio di qqwert, ossia la funzione $f(x)=e^(-1/|x|)$, tale funzione ha come limite sinistro e destro, per x che tende a zero, il valore finito $0$, ma non è definita in $x=0$, di conseguenz a rigore non si può parlare di continuità della funzione. Anche in questo caso risolviamo il problema definendo $barf(x)$ come
$barf(x)={[e^(-1/|x|) \mbox{ se } x \ne 0],[0 \mbox{ se } x =0]:}$, e questa funzione risulta continua in $0$.

[Paolo902]

"Camillo":Simpatica la variante di Paolo90 : fa capire che limite e valore di una funzione in un punto sono due cose diverse in genere .
Se coincidono allora la funzione è continua in quel punto.

Grazie Camillo, mi fa piacere che tu abbia apprezzato la "mia" variante. Complimenti poi ad alvinlee - buona la trattazione sulle discontinuità.

Volevo poi lanciare un altro spunto di riflessione. Noi infatti siamo partiti subito con limite destro, sinistro ecc. ma... che cos'è il limite? Che cosa intendiamo con esso? La domanda può sembrare strana; ma ricordo - a tale proposito - che esistono e sono attualmente disponibili sul mercato ( ) diverse definizioni di "limite" che fanno capo a diverse scuole di pensiero. Noi fin qui abbiamo ragionato con la definizione classica che, per intenderci, è quella riportata sulla maggior parte dei libri di testo; tuttavia esiste ed è degna di essere ricordata anche un'altra definizione - che si deve a De Giorgi (o forse a Schwartz) - e che presenta una differenza sostanziale con quella classica. Chi fosse interessato a pensarci un po' su - anche e soprattutto in riferimento alla funzione qui in esame - è invitato a leggere la spiegazione magistrale del grande Luca Lussardi qui.

Buona giornata a tutti.