Perchè no con de l'Hopital?

[nato_pigro1]

Giustificare perchè

$\lim_(x->0)((senx)/x)$

non si può calcolare con del'hopital.

boh...

[Sk_Anonymous]

Secondo me, bisogna tenere sempre ben presente il significato di $x$ e di $sen x$ in una circonferenza qualunque; qualunque sia il raggio e, quindi, qualuqnue sia la circonferenza, quando l'angolo $alpha$ formato dal raggio e dal diametro orizzontale si avvicina a $0$, arco e corda tendono a sovrapporsi e, "al limite", ovvero quando tale "adeguaglianza" (usando le parole di Fermat) è ridotta alla rappresentazione di un solo punto, l'arco $alpha$ dista dall'origine 1 solo punto, ed un solo punto è la misura di $sen x$, dato che non può essere altrimenti, pertanto essi coincidono ed il loro rapporto è evidentemente 1. Si tratta, pertanto, di un fatto "intuitivo" che il rigore matematico pone sotto le sembianze di "rapporto" (del resto, se si analizza il rapporto, ci si convince immediatamente della sua disomogeneità dato che i termini sono l'uno una funzione e l'altro un arco). E' pertanto in questa accezione che De L'Hopital non dovrebbe essere applicato (esso riguarda, in particolare, i limiti del rapporto di "due funzioni"...); se, tuttavia, si assegna alla "x" al denominatore il significato di "funzione algebrica" generica e si accetta "a priori" (nel senso filosofico del termine) la conoscenza della derivata (il famoso calabrone le cui ali sarebbero fisicamente inadatte a sopportarne il peso in volo, ma che il calabrone non conoscendo la fisica, vola lo stesso..), allora il rapporto diventa "efficace" (nel senso giansenistico...) essendo composto da "due funzioni entrambe dotate di limite" pertanto l'applicazione del teorema del De L'Hopital diventa lecito e nessuno dovrebbe scandalizzarsi, allo stesso modo come nessuno si scandalizza che il calabrone continui imperterrito nel suo volo.

[Fioravante Patrone1]

@IvanTerr
Libero di pensare ciò che vuoi. Ma la matematica da Fermat in poi ha fatto qualche progresso e ti suggerirei di tenerne conto.

[fu^2]

"IvanTerr":Secondo me, bisogna tenere sempre ben presente il significato di $x$ e di $sen x$ in una circonferenza qualunque; qualunque sia il raggio e, quindi, qualuqnue sia la circonferenza, quando l'angolo $alpha$ formato dal raggio e dal diametro orizzontale si avvicina a $0$, arco e corda tendono a sovrapporsi e, "al limite", ovvero quando tale "adeguaglianza" (usando le parole di Fermat) è ridotta alla rappresentazione di un solo punto, l'arco $alpha$ dista dall'origine 1 solo punto, ed un solo punto è la misura di $sen x$, dato che non può essere altrimenti, pertanto essi coincidono ed il loro rapporto è evidentemente 1. Si tratta, pertanto, di un fatto "intuitivo" che il rigore matematico pone sotto le sembianze di "rapporto" (del resto, se si analizza il rapporto, ci si convince immediatamente della sua disomogeneità dato che i termini sono l'uno una funzione e l'altro un arco). E' pertanto in questa accezione che De L'Hopital non dovrebbe essere applicato (esso riguarda, in particolare, i limiti del rapporto di "due funzioni"...); se, tuttavia, si assegna alla "x" al denominatore il significato di "funzione algebrica" generica e si accetta "a priori" (nel senso filosofico del termine) la conoscenza della derivata (il famoso calabrone le cui ali sarebbero fisicamente inadatte a sopportarne il peso in volo, ma che il calabrone non conoscendo la fisica, vola lo stesso..), allora il rapporto diventa "efficace" (nel senso giansenistico...) essendo composto da "due funzioni entrambe dotate di limite" pertanto l'applicazione del teorema del De L'Hopital diventa lecito e nessuno dovrebbe scandalizzarsi, allo stesso modo come nessuno si scandalizza che il calabrone continui imperterrito nel suo volo.

una dimostrazione molto alla "fisico"

nel senso che tutte le frasi che hai detto non son nint'altro che la dimostrazione di Zorn80, solo riempita di parole...
poi una divolta dimstrata la formula, nei limiti per far veloce uno applica "De L'hopital" a destra e a manca, per far veloce i calcoli o che so volerli fare in modo più meccanico o che ne so però un problema di forma rimane...

piccolo OT

questa discussione mi ricorda molto una frase letta sul Lang (quel libro olre a essere una bibbia di algebra lineare è un grande libro di umorismo):
pag 303 edizione b&b paragrafo 66 (lo spazio vettoriale generato da un insieme)
[...] Se vogliamo essere del tutto precisi, dobbiamo prima descrivere gli elementi dello spazio vettoriale T e quindi definire l'addizione tra essi. Altrimenti il segno + non ha significato. Questo non significa che non si possa semplicemente ignorare il problema e procedere come se tutto fosse chiaro. Molti, infatti, preferiscono ogni volta regolarsi in questo modo, e non sembrano preoccuparsene.[...]

[gugo82]

"Fioravante Patrone":[quote="Chevtchenko"][quote="Nikilist"]Ma qui si tratta di 5a superiore, dove i complessi non sono trattati in modo serio. Idea interessante però quella di passare dal campo complesso...

Allora si può fare così: $D sen x = D \sum_{n=0}^{+oo} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+oo} D (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+oo} (-1)^n (2n+1) \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+oo} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = cos x$.[/quote]
Potrai impressionare i bambini con i formuloni, ma non me

Ovviamente lo sviluppo in serie presuppone che tu sappia che la derivata della funzione seno vale 1 in 0.[/quote]
Beh, volendo si può assumere l'ultimo membro come definizione del primo... il resto viene da sé.