Perchè no con de l'Hopital?

[nato_pigro1]

Giustificare perchè

$\lim_(x->0)((senx)/x)$

non si può calcolare con del'hopital.

boh...

[codino75]

non saprei proprio... anzi io mi ricordavo che si poteva...

[Nikilist]

Perché la derivata di senx si calcola sfruttando il limite notevole, e non puoi sfruttare de l'hopital se non hai la derivata.

Per rinfrecare la memoria:

$d/dx(sinx)=lim_{t \to 0} (sin(x+t)-sinx)/t=lim_{t \to 0}(sinxcost+cosxsint-sinx)/t=lim_{t \to 0} (sinx*1-sinx)/t+lim_{t \to 0} cosx*(sint)/t=0+cosx*lim_{t \to 0}sint/t=cosx$

[codino75]

ok, domanda intrigante ma mal posta, secondo me.

[nato_pigro1]

quindi come avrei dovuto porla?

è un esercizio che ho visto su un libro, lo ho riportato come me lo sono ricordato...

[Nikilist]

"Perché non si può sfruttare il teorema di De L'Hopital nella dimostrazione del limite notevole ?"

Calcolare si può perché nelle ipotesi di de l'hopital rientra, come tutti gli altri limiti notevoli (almeno mi sembra), ma non può essere sfruttato per dimostrare il limite in quanto il limite stesso serve per calcolare la derivata.

[angus89]

scusa ma chi ti ha detto che non puoi calcolarlo con de l'hopital?

$\lim_(x->0)((senx)/x)=\lim_(x->0)((cosx)/1)=1$

[kekko989]

si,ma il limite stesso,serve per calcolare la derivata del seno.. infatti,se tu provi a calcolarlo con il rapporto incrementale,lo puoi risolvere solo con il limite notevole.

[angus89]

"kekko89":si,ma il limite stesso,serve per calcolare la derivata del seno.. infatti,se tu provi a calcolarlo con il rapporto incrementale,lo puoi risolvere solo con il limite notevole.

ao ma stiamo parlando di de l'hopital?
e allora si suppone che conosci la derivata di $sinx$...tutto qui

[Steven11]

"angus89":[quote="kekko89"]si,ma il limite stesso,serve per calcolare la derivata del seno.. infatti,se tu provi a calcolarlo con il rapporto incrementale,lo puoi risolvere solo con il limite notevole.

ao ma stiamo parlando di de l'hopital?
e allora si suppone che conosci la derivata di $sinx$...tutto qui[/quote]
Si, ma è concettualmente sbagliato procedere con L'Hopital.
Io conosco la derivata di $sinx$, ma questo lo devo proprio al limite notevole che devo dimostrare.

Comunque questo è una caso abbastanza famoso, già se ne era parlato almeno un paio di volte nel forum.

[Nikilist]

Concretamente puoi applicare de l'hopital per calcolarti i limiti notevoli se non te li ricordi, ma non basta dire "suppongo nota la derivata di sinx"...

Insomma, è concettualmente [size=150]sbagliato [/size]dire "applico de l'hopital" ma praticamente funzionale.

La domanda ben posta è comunque "Perché non è possibile dimostrare che valore del limite notevole è 1 usando de l'hopital?"

[Chevtchenko]

"Nikilist":Concretamente puoi applicare de l'hopital per calcolarti i limiti notevoli se non te li ricordi, ma non basta dire "suppongo nota la derivata di sinx"...

Insomma, è concettualmente [size=150]sbagliato [/size]dire "applico de l'hopital" ma praticamente funzionale.

La domanda ben posta è comunque "Perché non è possibile dimostrare che valore del limite notevole è 1 usando de l'hopital?"

La domanda è mal posta perché è perfettamente lecito usare la regola di de L'Hospital per calcolare quel limite. E per quanto riguarda il calcolo della derivata del seno di $x$, lo si può svolgere in parecchi modi diversi (per esempio usando lo sviluppo in serie di potenze).

[zorn801]

Semplice: per applicare la regola di De l'Hopital devi conoscere precedentemente in qualche modo la derivata del seno, e per conoscerla è necessario aver calcolato quel limite per altre vie, come quella geometrica.

In altre parole calcolare quel limite con De l'Hopital è come mordersi la coda

[Chevtchenko]

"zorn80":Semplice: per applicare la regola di De l'Hopital devi conoscere precedentemente in qualche modo la derivata del seno, e per conoscerla è necessario aver calcolato quel limite per altre vie, come quella geometrica.

Qual è quella geometrica? Basta ricordare la definizione: $D sen x = D \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} = \frac{ie^{ix} + ie^{-ix}}{2i} = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = cos x$. Non mi sembra tanto difficile...

[Nikilist]

Ma qui si tratta di 5a superiore, dove i complessi non sono trattati in modo serio. Idea interessante però quella di passare dal campo complesso...

[Chevtchenko]

"Nikilist":Ma qui si tratta di 5a superiore, dove i complessi non sono trattati in modo serio. Idea interessante però quella di passare dal campo complesso...

Allora si può fare così: $D sen x = D \sum_{n=0}^{+oo} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+oo} D (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+oo} (-1)^n (2n+1) \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+oo} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = cos x$.

[zorn801]

"Chevtchenko":[quote="Nikilist"]Ma qui si tratta di 5a superiore, dove i complessi non sono trattati in modo serio. Idea interessante però quella di passare dal campo complesso...

Allora si può fare così: $D sen x = D \sum_{n=0}^{+oo} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+oo} D (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+oo} (-1)^n (2n+1) \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+oo} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = cos x$.[/quote]

Eh peggio ancora dai derivare termine a termine addirittura...

Invece io approverei l'idea di passare per il campo complesso, ma la formula di Eulero passa per questa derivazione termine a termine (è necessario fare lo sviluppo in serie di $e^(x+iy)$)

[nato_pigro1]

noi la derivata del $sen$ l'abbiamo calcolata con il limite del rapporto incrementale.
Ad un certo punto bisogna usare il limite $lim_(x->oo)((senx)/x)$ che abbiamo trovato a sua volta partendo dalla diseguaglianza $senx

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[Fioravante Patrone1]

"Chevtchenko":[quote="Nikilist"]Ma qui si tratta di 5a superiore, dove i complessi non sono trattati in modo serio. Idea interessante però quella di passare dal campo complesso...

Allora si può fare così: $D sen x = D \sum_{n=0}^{+oo} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+oo} D (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+oo} (-1)^n (2n+1) \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+oo} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = cos x$.[/quote]
Potrai impressionare i bambini con i formuloni, ma non me

Ovviamente lo sviluppo in serie presuppone che tu sappia che la derivata della funzione seno vale 1 in 0.

[kinder1]

A proposito del marchese De l'Hospital, ricordo di aver letto che "comprava" risultati matematici da qualcuno della numerosa famiglia dei Bernoulli. Chissà se anche questa famosa formula non sia farina del sacco altrui.

[zorn801]

"nato_pigro":noi la derivata del $sen$ l'abbiamo calcolata con il limite del rapporto incrementale.
Ad un certo punto bisogna usare il limite $lim_(x->oo)((senx)/x)$ che abbiamo trovato a sua volta partendo dalla diseguaglianza $senx

Infatti, questa diseguaglianza è quella che va appurata con metodo geometrico.

Osserviamo esplicitamente che essa vale per $x>0$, perché in realtà io calcolo il limite destro di $sin x /x$ per $x to 0^+$.
Dopo di ciò, sfruttando la simmetria della funzione $sin x / x$ (funzione pari) ottengo che anche il limite sinistro che risulta uguale a quello destro.

Allora, per $x>0$ è anche $sin x > 0$, pertanto ottengo:
$sin x < x < tan x => sin x * 1/sin x < x * 1/sin x < tan x * 1/sin x$
ovvero $1 < x/(sin x) < 1/ cos x$
ossia:
$1 > sin x / x >cos x$ a cui si applica il teorema del confronto: $ sin x /x $ è compresa tra due funzioni che tendono entrambe ad 1 per $x to 0^+$ , pertanto deve tendere anche essa ad 1 per $x to 0^+$.