Percentuali
Mi sono divertito a discutere con un amico di questa cosa, che forse è ovvia ma non riuscivo a convincerlo:
Una moneta ha il 10% di probabilità che esca testa, e il 90% che esca croce.
Provare o confutare la seguente affermazione:
"Visto che la probabilità della testa è il 10% = 10 / 100 = 1 / 10, la probabilità che se lancio la moneta 10 volte esce esattamente 1 volta testa è uguale alla probabilità che se lancio la moneta 100 volte esce esattamente 10 volte testa."
Una moneta ha il 10% di probabilità che esca testa, e il 90% che esca croce.
Provare o confutare la seguente affermazione:
"Visto che la probabilità della testa è il 10% = 10 / 100 = 1 / 10, la probabilità che se lancio la moneta 10 volte esce esattamente 1 volta testa è uguale alla probabilità che se lancio la moneta 100 volte esce esattamente 10 volte testa."
Risposte
Ciao,
secondo me l'affermazione è falsa. La spiegazione è la seguente: si tratta di $n$ prove ripetute, delle quali esattamente $k$ devono avere esito positivo. Definiamo $n$ come il numero di prove, $k$ come il numero di prove che devono avere successo, $p$ la probabilità di successo di una prova, $q=1-p$ la probabilità di fallimento.
La formula che utilizzeremo è la seguente:
\[P = \left(\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right)p^k\ q^{n-k}\]
Sostituendo i valori ottengo che nel primo caso la probabilità è $0.387420489$, mentre nel secondo caso è $0.13186534682449$.
secondo me l'affermazione è falsa. La spiegazione è la seguente: si tratta di $n$ prove ripetute, delle quali esattamente $k$ devono avere esito positivo. Definiamo $n$ come il numero di prove, $k$ come il numero di prove che devono avere successo, $p$ la probabilità di successo di una prova, $q=1-p$ la probabilità di fallimento.
La formula che utilizzeremo è la seguente:
\[P = \left(\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right)p^k\ q^{n-k}\]
Sostituendo i valori ottengo che nel primo caso la probabilità è $0.387420489$, mentre nel secondo caso è $0.13186534682449$.
prova a ragionare su questo fatto per convincerti:
la probabilità di essere maschio o femmina è uguale.
Se ci sono due persone c'è un'alta probabilità ($1/2$) che siano esattamente metà maschi e metà femmine.
ora prendi la popolazione mondiale (7.000.000.000 per semplificare), qual è la probabilità che siano ancora esattamente metà femmine e metà maschi? non credo proprio $1/2$...
la probabilità di essere maschio o femmina è uguale.
Se ci sono due persone c'è un'alta probabilità ($1/2$) che siano esattamente metà maschi e metà femmine.
ora prendi la popolazione mondiale (7.000.000.000 per semplificare), qual è la probabilità che siano ancora esattamente metà femmine e metà maschi? non credo proprio $1/2$...
Secondo me la differenza principale con l'esempio che hai fatto è che nell'ultimo caso le probabilità sono uguali, mentre nel primo caso la moneta era truccata, (90% contro 10%). Questo significa che "a lungo andare" emerge una tendenza ben precisa.
Comunque vorrei sentire qualche altro parere su questa domanda. Io sono piuttosto convinto della mia risposta di prima, però posso benissimo sbagliare!
Comunque vorrei sentire qualche altro parere su questa domanda. Io sono piuttosto convinto della mia risposta di prima, però posso benissimo sbagliare!
Dato che è richiesto qualche altro parere do il mio: hanno ragione sia minomic che kobeilprofeta. La formula da usare è effettivamente quella indicata da minomic e dà quei risultati; kobeilprofeta ha cercato di rendere intuitiva la differenza fra i due casi e per questo ha preferito mettersi nel caso facile in cui le probabilità sono uguali. Provo a dare un ragionamento simile al suo ma riferito al problema in questione.
Se faccio la prova 10 volte, il numero di volte in cui esce testa può variare da 0 a 10, quindi in tutto ci sono 11 possibilità. Non sono equiprobabili ma ho la sicurezza di avere solo 11 casi e la somma delle loro probabilità deve dare 1. Se invece faccio la prova 100 volte, i casi possibili sono 101 ed è ovvio che ognuno di essi ha una probabilità abbastanza bassa; in particolare il fatto che esca testa 1 volta su 10 può essere considerato quasi equivalente al fatto che in 100 lanci esca testa un numero di volte approssimabile a 10 (cioè da 5 a 14), non esattamente 10.
Ho sottolineato il "quasi" perché non sono veramente equivalenti ed il discorso andrebbe approfondito, ma non mi sembra il caso di farlo in questa sede.
Se faccio la prova 10 volte, il numero di volte in cui esce testa può variare da 0 a 10, quindi in tutto ci sono 11 possibilità. Non sono equiprobabili ma ho la sicurezza di avere solo 11 casi e la somma delle loro probabilità deve dare 1. Se invece faccio la prova 100 volte, i casi possibili sono 101 ed è ovvio che ognuno di essi ha una probabilità abbastanza bassa; in particolare il fatto che esca testa 1 volta su 10 può essere considerato quasi equivalente al fatto che in 100 lanci esca testa un numero di volte approssimabile a 10 (cioè da 5 a 14), non esattamente 10.
Ho sottolineato il "quasi" perché non sono veramente equivalenti ed il discorso andrebbe approfondito, ma non mi sembra il caso di farlo in questa sede.
Esatto, sono assolutamente d'accordo con tutto quello che avete scritto, e la formula indicata è corretta (tuttavia non sono riuscito a spiegarlo al mio amico in modo semplice "discorsivo").
E' interessante anche disegnare la funzione
[tex]f(k) = \left(\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right)p^k (1-p)^{n-k}[/tex] per un $n$ fissato e per $p$ fissato e per $k = 0 \ldots n$ per vedere graficamente quello che dice giammaria.
E' interessante anche disegnare la funzione
[tex]f(k) = \left(\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right)p^k (1-p)^{n-k}[/tex] per un $n$ fissato e per $p$ fissato e per $k = 0 \ldots n$ per vedere graficamente quello che dice giammaria.
sai dare un link per grafici di funzioni con numeri interi? perchè per esempio plotter non funziona con i fattoriali!
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