Per favore, urgente spiegazione procedimento problema geometria analitica
Vorrei veramente capire il procedimento, grazie a tutti!
-È data la retta g:r=(-1,4,8 )+t*(3,2,2)
Determinare le equazioni dei piani passanti per la retta g e che formano
lo stesso angolo con i piani xy e yz.
-È data la retta g:r=(-1,4,8 )+t*(3,2,2)
Determinare le equazioni dei piani passanti per la retta g e che formano
lo stesso angolo con i piani xy e yz.
Risposte
Vado velocemente, spero mi seguirai perchè, come ti ho già accennato, son di fretta...
Per prima cosa,determina il piano generico passsante per la retta data.
L'angolo fra due piani è uguale all'angolo fra le loro normali, quindi, sapendo che la normale al piano xy ha vettore direttore (0,0,1) e la normale al piano yz ha vettore direttore (1,0,0) e che il prodotto scalare tra due vettori a e b è ab=|a||b|cos alfa dove alfa è l'angolo tra le due rette, si ricava che detto a il vettore del fascio di piani , b= (0,0,1), c=(1,0,0), dovendo essere uguale l'angolo tra i due piani, si ha
dove || indica il modulo del vettore.
Una volta risolto inserisci il parametro trovato nel fascio ed hai ciò che cerchi...
Per prima cosa,determina il piano generico passsante per la retta data.
L'angolo fra due piani è uguale all'angolo fra le loro normali, quindi, sapendo che la normale al piano xy ha vettore direttore (0,0,1) e la normale al piano yz ha vettore direttore (1,0,0) e che il prodotto scalare tra due vettori a e b è ab=|a||b|cos alfa dove alfa è l'angolo tra le due rette, si ricava che detto a il vettore del fascio di piani , b= (0,0,1), c=(1,0,0), dovendo essere uguale l'angolo tra i due piani, si ha
[math]\frac{ab}{|a||b|}=\frac{ac}{|a||c|} [/math]
dove || indica il modulo del vettore.
Una volta risolto inserisci il parametro trovato nel fascio ed hai ciò che cerchi...
Scusami, ma per il piano xy che ha equazione z=0 mettiamo nelle coordinate
x-->0 e y--->0 perchè non sono presenti nell'equazione (cioè, abbiamo solo z) e mettiamo z--->1 perchè ne abbiamo solo 1 di z nell'equazione?
Quindi se l'equazione fosse stata 2z=0, il vettore sarebbe stato (0,0,2)?
È giusto il mio ragionamento?
Aggiunto 39 minuti più tardi:
Ho provato a risolverlo ma mi esce una soluzione diversa rispetto a quella della classe...
Ho trovato, come mi hai detto, il piano generico passante per la retta:
t=x/3+1/3 ---> quindi ottengo 2 equazioni: 2x-3y+14= 0 e 2x-3z+26= 0
Dopo ho pensato che la prima equazione rappresenta "x" e la seconda "y", quindi equazione generica piano--> a*(2x-3y+14)+b*(2x-3z+26)= 0
Risolvendo ottengo: x*(2a+2b)-3ay-3bz+14a+26b= 0. Quindi vettore normale al piano n= (2a+2b,-3a,-3b). Poi ho uguagliato, usando la formula dell'angolo, n *(0,0,1) con n*(1,0,0)...alla fine ottengo a=-5/2b.
Sostituendo nell'equazione generale, e poi moltiplicando per 2, ottengo -6x+15y-6z-18= 0
----------------------------------------------------------------------------
La traccia della classe invece è così:
alfa(penso intenda piano generico): r= (-1,4,8 )+u*(3,2,2)+v*(1,beta,gamma).
n alfa = (2gamma-2beta,2-3gamma,3beta-2)
alfa: (2gamma-2beta)*x+(2-3gamma)*y+(3beta-2)*z+d= 0
Poi (questo penso venga dalla formula dell'angolo)
(3beta -2)/1=(2gamma-2beta)/1
Ottiene gamma=5/2*beta-1
Quindi soluzione finale:
alfa: (3beta-2)*x+(5-15/2beta)*y+(3beta-2)*z+9beta-6= 0
-------------------------------------------------------------------------
Dove ho sbagliato?
x-->0 e y--->0 perchè non sono presenti nell'equazione (cioè, abbiamo solo z) e mettiamo z--->1 perchè ne abbiamo solo 1 di z nell'equazione?
Quindi se l'equazione fosse stata 2z=0, il vettore sarebbe stato (0,0,2)?
È giusto il mio ragionamento?
Aggiunto 39 minuti più tardi:
Ho provato a risolverlo ma mi esce una soluzione diversa rispetto a quella della classe...
Ho trovato, come mi hai detto, il piano generico passante per la retta:
t=x/3+1/3 ---> quindi ottengo 2 equazioni: 2x-3y+14= 0 e 2x-3z+26= 0
Dopo ho pensato che la prima equazione rappresenta "x" e la seconda "y", quindi equazione generica piano--> a*(2x-3y+14)+b*(2x-3z+26)= 0
Risolvendo ottengo: x*(2a+2b)-3ay-3bz+14a+26b= 0. Quindi vettore normale al piano n= (2a+2b,-3a,-3b). Poi ho uguagliato, usando la formula dell'angolo, n *(0,0,1) con n*(1,0,0)...alla fine ottengo a=-5/2b.
Sostituendo nell'equazione generale, e poi moltiplicando per 2, ottengo -6x+15y-6z-18= 0
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La traccia della classe invece è così:
alfa(penso intenda piano generico): r= (-1,4,8 )+u*(3,2,2)+v*(1,beta,gamma).
n alfa = (2gamma-2beta,2-3gamma,3beta-2)
alfa: (2gamma-2beta)*x+(2-3gamma)*y+(3beta-2)*z+d= 0
Poi (questo penso venga dalla formula dell'angolo)
(3beta -2)/1=(2gamma-2beta)/1
Ottiene gamma=5/2*beta-1
Quindi soluzione finale:
alfa: (3beta-2)*x+(5-15/2beta)*y+(3beta-2)*z+9beta-6= 0
-------------------------------------------------------------------------
Dove ho sbagliato?
il procedimento è lo stesso... la differenza è che tu hai prima trasformato in coordinate cartesiane la retta e poi trovato il piano generico, mentre in classe avete prima trovato il piano generico e poi trasformato le coordinate cartesiane... facendo come hai fatto te hai trovato il "piano base" quello che ottieni dalla loro formula ponendo beta=0.
Oky ma quindi se gli mettessi questa soluzione andrebbe bene lo stesso?
Però mi potresti spiegare come ha fatto a trovare il piano generico in forma parametrica?
Però mi potresti spiegare come ha fatto a trovare il piano generico in forma parametrica?
# vrijheid :
Oky ma quindi se gli mettessi questa soluzione andrebbe bene lo stesso?
no.. tu hai una sola soluzione mentre il testo chiede le espressioni DEI PIANI...
# vrijheid :Però mi potresti spiegare come ha fatto a trovare il piano generico in forma parametrica?
all'equazione della retta in forma parametrica ha aggiunto il vettore (1,beta, gamma)
Oky, non mi è chiara solo 1 cosa...Perchè nel vettore (1,beta, gamma) ha scelto x = 1?
Grazie
Grazie
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