Per favore, urgente aiuto per questi problemi di geometria analitica
Vorrei capire il procedimento per svolgere questi problemi:
-" Come posso scrivere l'equazione della circonferenza che ha il centro sulla bisettrice del 1° e 3° quadrante, passa per il punto P(2,-1) ed è tangente
alla retta x-5y=15? "
Ho già trovato 2 condizioni, solo che non so come svilupparle poi nei
calcoli....
1° condizione) la x e la y del centro sono uguali,
poichè la retta passante per la bisettrice ha equazione y=x. Ma però non sono sicura che le coordinate del centro siano (0;0), giusto?
2° condizione) la distanza dalla retta x-5y=15 al centro deve
essere uguale al raggio.
Però per il punto P? Che condizione metto, e come risolvo?
-E anche per questo problema vorrei capire il procedimento, e avere
dei chiarimenti su come risolvere: "determinare l'equazione della circonferenza che passa per P(2;5) ed è tangente alle rette 3x-y+3=0 e
x-3y-7=0"
Grazie a tutti
-" Come posso scrivere l'equazione della circonferenza che ha il centro sulla bisettrice del 1° e 3° quadrante, passa per il punto P(2,-1) ed è tangente
alla retta x-5y=15? "
Ho già trovato 2 condizioni, solo che non so come svilupparle poi nei
calcoli....
1° condizione) la x e la y del centro sono uguali,
poichè la retta passante per la bisettrice ha equazione y=x. Ma però non sono sicura che le coordinate del centro siano (0;0), giusto?
2° condizione) la distanza dalla retta x-5y=15 al centro deve
essere uguale al raggio.
Però per il punto P? Che condizione metto, e come risolvo?
-E anche per questo problema vorrei capire il procedimento, e avere
dei chiarimenti su come risolvere: "determinare l'equazione della circonferenza che passa per P(2;5) ed è tangente alle rette 3x-y+3=0 e
x-3y-7=0"
Grazie a tutti
Risposte
Come posso scrivere l'equazione della circonferenza che ha il centro sulla bisettrice del 1° e 3° quadrante, passa per il punto P(2,-1) ed è tangente
alla retta x-5y=15?
Partiamo dal primo problema:
una generica circonferenza ha equazione
Dato che abbiamo tre incognite (a,b,c) ti servono 3 equazioni.
-Il centro di tale circonferenza è C(-a,-b) ma come hai detto te, stando sulla retta y=x hanno coordinata x uguale a quella y quindi, la prima condizione è
a=b
-dato che passa per P, se sostituiamo le sue coordinate nell'equazione generica della circonferenza abbiamo un'identità, quindi la seconda condizione è
-la condizione di tangenza è data da
quindi
la prima equazione è un'equazione di secondo grado che ha
Nel secondo problema hai la stessa situazione, solo che al posto di avere la condizione a=b devi impostare due volte la condizione di tangenza, una volta con la retta 3x-y+3=0 e l'altra con x-3y-7=0 , mentre la condizione di passaggio per P la ottiene sempre sostituendo quel punto nell'equazione generale, come abbiamo fatto nel primo esercizio.
Se hai qualche dubbio, chiedi pure ^.^
alla retta x-5y=15?
Partiamo dal primo problema:
una generica circonferenza ha equazione
[math]x^2+y^2+2ax+2by+c=0[/math]
.Dato che abbiamo tre incognite (a,b,c) ti servono 3 equazioni.
-Il centro di tale circonferenza è C(-a,-b) ma come hai detto te, stando sulla retta y=x hanno coordinata x uguale a quella y quindi, la prima condizione è
a=b
-dato che passa per P, se sostituiamo le sue coordinate nell'equazione generica della circonferenza abbiamo un'identità, quindi la seconda condizione è
[math](2)^2+(-1)^2+2a(2)+2b(-1)+c=0[/math]
-la condizione di tangenza è data da
[math]\Delta=0 [/math]
. Per prima cosa dobbiamo risolvere il sistema formato dalla circonferenza e la retta, cioè [math]\left{
x^2+y^2+2ax+2by+c=0\\
x-5y=15
[/math]
x^2+y^2+2ax+2by+c=0\\
x-5y=15
[/math]
quindi
[math]\left{
(15+5y)^2+y^2+2a(15+5y)+2by+c=0\\
x=15+5y
[/math]
(15+5y)^2+y^2+2a(15+5y)+2by+c=0\\
x=15+5y
[/math]
[math]\left{
26y^2+2(5a+b+75)y+30a+c+225=0\\
x=15+5y
[/math]
26y^2+2(5a+b+75)y+30a+c+225=0\\
x=15+5y
[/math]
la prima equazione è un'equazione di secondo grado che ha
[math]\Delta/4=(5a+b+75)^2-26(30a+c+225)=0[/math]
e questa è la terza condizione... Adesso metti tutte e 3 le soluzioni insieme e ricava a,b,c. Nel secondo problema hai la stessa situazione, solo che al posto di avere la condizione a=b devi impostare due volte la condizione di tangenza, una volta con la retta 3x-y+3=0 e l'altra con x-3y-7=0 , mentre la condizione di passaggio per P la ottiene sempre sostituendo quel punto nell'equazione generale, come abbiamo fatto nel primo esercizio.
Se hai qualche dubbio, chiedi pure ^.^
Oky, penso di aver capito...Però noi, come equazione generale della circonferenza abbiamo sempre usato x^2 + y^2 + ax + by +c =0.. Va bene
anche usando questa?
Per il secondo problema, devo fare un sistema sempre a 3 equazioni, usando quella della prima retta tangente, poi quella della seconda e quella passante per il punto?
Poi volevo chiedere anche se potresti spiegarmi come risolvere questi problemi usando la formula della distanza |ax + by +c| / rad(a^2 + b^2) = r ....
Grazie mille per l'aiuto!
anche usando questa?
Per il secondo problema, devo fare un sistema sempre a 3 equazioni, usando quella della prima retta tangente, poi quella della seconda e quella passante per il punto?
Poi volevo chiedere anche se potresti spiegarmi come risolvere questi problemi usando la formula della distanza |ax + by +c| / rad(a^2 + b^2) = r ....
Grazie mille per l'aiuto!
sì, va bene anche quella...
per il secondo problema hai capito benissimo...
se vuoi usare la formula della distanza al posto della condizione di tangenza va bene, ma devi impostarla meglio, cioè devi porre che la distanza dal centro (che, se prendiamo la tua equazione generica, ha coordinate (-a/2,-b/2) ) alla retta x-5y=15 sia uguale al raggio, cioè devi risolvere
per il secondo problema hai capito benissimo...
se vuoi usare la formula della distanza al posto della condizione di tangenza va bene, ma devi impostarla meglio, cioè devi porre che la distanza dal centro (che, se prendiamo la tua equazione generica, ha coordinate (-a/2,-b/2) ) alla retta x-5y=15 sia uguale al raggio, cioè devi risolvere
[math] \frac{|-\frac{a}{2}+\frac{5b}{2}-15|}{1+25}=\sqrt{a^2+b^2-c}[/math]
Risolvendo il primo esercizio ho messo:
1 condizione: a=b
2 condizione: 2a-b+c+5=0
3 condizione (già con delta; ho sostituito la y nell'equazione, al contrario di te che hai usato la x): (-30+25a+5b)^2 -4*26*(-75b+25c+225)
Ho sostituito la prima nella seconda, ottenendo 2b-b+c+5=0, quindi b=-c-5.
Poi ho sostituito b=-c-5 nella terza, ma risolvendo arrivo ad ottenere
25a^2 -110a +c^2 -394c-10ac-2375 = 0
Adesso però sono bloccata...come faccio ad andare avanti per trovare a,b,c?
Poi vorrei chiederti se per favore mi puoi spiegare meglio come hai messo i valori nella formula della distanza, perchè non capisco da dove venga la radice con a^2+b^2 -c e i numeri....
Grazie mille ancora per l'aiuto!
1 condizione: a=b
2 condizione: 2a-b+c+5=0
3 condizione (già con delta; ho sostituito la y nell'equazione, al contrario di te che hai usato la x): (-30+25a+5b)^2 -4*26*(-75b+25c+225)
Ho sostituito la prima nella seconda, ottenendo 2b-b+c+5=0, quindi b=-c-5.
Poi ho sostituito b=-c-5 nella terza, ma risolvendo arrivo ad ottenere
25a^2 -110a +c^2 -394c-10ac-2375 = 0
Adesso però sono bloccata...come faccio ad andare avanti per trovare a,b,c?
Poi vorrei chiederti se per favore mi puoi spiegare meglio come hai messo i valori nella formula della distanza, perchè non capisco da dove venga la radice con a^2+b^2 -c e i numeri....
Grazie mille ancora per l'aiuto!
sai che a=b quindi anche a=-c-5 ...sostituisci anche questo valore e ricavi il valore di c, una volta determinato c puoi ricavarti sia a che b...
per quanto riguarda la formula |ax + by +c| / rad(a^2 + b^2), dato che la retta è x-5y-15=0 a=1 b=-5 c=-15 (sono i coefficienti della retta) mentre x=-a/2 e y=-b/2 (sono le coordinate del punto da cui calcoli la distanza) quindi, sostituendoli nella formula attieni ciò che ho scritto nel post precedente...
^.^
[math]\sqrt{a^2+b^2-c} [/math]
è la formula del raggio della circonferenza...per quanto riguarda la formula |ax + by +c| / rad(a^2 + b^2), dato che la retta è x-5y-15=0 a=1 b=-5 c=-15 (sono i coefficienti della retta) mentre x=-a/2 e y=-b/2 (sono le coordinate del punto da cui calcoli la distanza) quindi, sostituendoli nella formula attieni ciò che ho scritto nel post precedente...
^.^
Ok, dopo proverò a risolverlo con la formula della distanza...
Intanto ho risolto con il primo metodo, ed ho trovato a,b,c.
Solo che per c mi sono uscite 2 soluzioni: c1 = 50/9 ; c2=-6
Quindi anche per a e b ho due soluzioni, che sono -95/5 e 1.
È possibile che abbia ottenuto 2 equazioni di circonferenza?
1) x^2 + y^2 -95/5x -95/5y + 50/9 = 0
2) x^2 + y^2 + x + y -6 = 0
È corretto come ho risolto?
Grazie mille ancora per il tuo aiuto e per la tua disponibilità!
Ah giusto, ho visto ora una cosa nella formula della distanza che non mi è chiara: sotto il fratto, hai scritto (1+25) ma non sotto la radice...
Come mai? È perchè la radice c'è già dall'altra parte dell'uguale, nella formula per trovare il raggio?
Grazie mille!
Intanto ho risolto con il primo metodo, ed ho trovato a,b,c.
Solo che per c mi sono uscite 2 soluzioni: c1 = 50/9 ; c2=-6
Quindi anche per a e b ho due soluzioni, che sono -95/5 e 1.
È possibile che abbia ottenuto 2 equazioni di circonferenza?
1) x^2 + y^2 -95/5x -95/5y + 50/9 = 0
2) x^2 + y^2 + x + y -6 = 0
È corretto come ho risolto?
Grazie mille ancora per il tuo aiuto e per la tua disponibilità!
Ah giusto, ho visto ora una cosa nella formula della distanza che non mi è chiara: sotto il fratto, hai scritto (1+25) ma non sotto la radice...
Come mai? È perchè la radice c'è già dall'altra parte dell'uguale, nella formula per trovare il raggio?
Grazie mille!
è possibile... ma c'è un errore... nella 1) a=b= -95/9 non -95/5
Sisi, hai ragione scusami. E per la domanda per la formula della distanza? Per la radice, è come penso io?
per la distanza, scusa...il fatto di non aver scritto la radice è stata una distrazione... al denominatore c'è
Comunque, è un piacere aiutare chi si impegna... ^.^
[math]\sqrt{26}[/math]
... Comunque, è un piacere aiutare chi si impegna... ^.^
Ah oky perfetto, grazie mille ancora!
Il fatto è che un argomento nuovo e il professore non ha spiegato proprio nei dettagli.... Quindi mi ritrovo con una serie di esercizi abbastanza complessi, almeno per me! =)
Posso sempre contare su di te, se non riesco bene con altri esercizi?
Ti ringrazio ancora tanto per oggi!
Il fatto è che un argomento nuovo e il professore non ha spiegato proprio nei dettagli.... Quindi mi ritrovo con una serie di esercizi abbastanza complessi, almeno per me! =)
Posso sempre contare su di te, se non riesco bene con altri esercizi?
Ti ringrazio ancora tanto per oggi!
certo che puoi contare su di me!
:hi
Stefania
:hi
Stefania
Scusami ancora, per l'altro problema "determinare l'equazione della circonferenza che passa per P(2;5) ed è tangente alle rette 3x-y+3=0 e
x-3y-7=0" ho messo a sistema le 3 equazioni:
2a+5b+c+29=0
(18+a+3b)^2 -40*(3b+c+9)=0
(-14+9a+3b)^2 -40*(-21b+9c+49)=0
Mi chiedevo...non c'è un modo per eliminare i quadrati delle utlime 2 equazioni? Perchè, sciogliendo le parentesi, rimango sempre con 3 incognite, e anche se sostituisco c=....(dalla prima) nella seconda e nella terza, avrò sempre sia a e b. Come posso fare per non "ingarbugliarmi"? =)
Grazie mille
x-3y-7=0" ho messo a sistema le 3 equazioni:
2a+5b+c+29=0
(18+a+3b)^2 -40*(3b+c+9)=0
(-14+9a+3b)^2 -40*(-21b+9c+49)=0
Mi chiedevo...non c'è un modo per eliminare i quadrati delle utlime 2 equazioni? Perchè, sciogliendo le parentesi, rimango sempre con 3 incognite, e anche se sostituisco c=....(dalla prima) nella seconda e nella terza, avrò sempre sia a e b. Come posso fare per non "ingarbugliarmi"? =)
Grazie mille
in questo caso penso che ti convenga moooolto di più usare la formula della distanza. Così facendo ottieni
e quindi, per confronto,
che è più semplice, no?
[math]\left{
c=-2a-5b-29\\
\frac{|-3a/2 +b/2+3|}{\sqrt{10}}= \sqrt{a^2+b^2-c}\\
\frac{|-a/2 +3b/2-7|}{\sqrt{10}}= \sqrt{a^2+b^2-c}[/math]
c=-2a-5b-29\\
\frac{|-3a/2 +b/2+3|}{\sqrt{10}}= \sqrt{a^2+b^2-c}\\
\frac{|-a/2 +3b/2-7|}{\sqrt{10}}= \sqrt{a^2+b^2-c}[/math]
e quindi, per confronto,
[math]\left{
c=-2a-5b-29\\
\frac{|-3a/2 +b/2+3|}{\sqrt{10}}= \sqrt{a^2+b^2-c}\\
|-a/2 +3b/2-7|= |-3a/2 +b/2+3|[/math]
c=-2a-5b-29\\
\frac{|-3a/2 +b/2+3|}{\sqrt{10}}= \sqrt{a^2+b^2-c}\\
|-a/2 +3b/2-7|= |-3a/2 +b/2+3|[/math]
che è più semplice, no?
Beh si, penso ci siano meno calcoli...
Grazie veramente tanto! Buonanotte =)
Aggiunto 19 ore 18 minuti più tardi:
Ciao!
Posso chiedere nuovamente il tuo aiuto? =)
Ecco, le condizioni sul problema di ieri sera, con la formula della distanza mi sono chiare...Solo che però, tutte le volte che tento di risolvere
per trovare le incognite a,b,c c'è sempre qualche passaggio che mi blocca...
Mi chiedevo...non è che ti dispiacerebbe farmi vedere come risolvi, per
sapere meglio i passaggi più importanti che non devo tralasciare?
Grazie mille!
Grazie veramente tanto! Buonanotte =)
Aggiunto 19 ore 18 minuti più tardi:
Ciao!
Posso chiedere nuovamente il tuo aiuto? =)
Ecco, le condizioni sul problema di ieri sera, con la formula della distanza mi sono chiare...Solo che però, tutte le volte che tento di risolvere
per trovare le incognite a,b,c c'è sempre qualche passaggio che mi blocca...
Mi chiedevo...non è che ti dispiacerebbe farmi vedere come risolvi, per
sapere meglio i passaggi più importanti che non devo tralasciare?
Grazie mille!
li ho svolti ma, non sò perchè, mi viene che non ha soluzioni...stasera lo riguardo con più calma...
Ok grazie, fammi poi sapere =)
Poi avrei una domanda per un altro problema...è un argomento nuovo
che abbiamo visto stamattina in classe..
Il problema chiede di determinare l'equazione cartesiana del piano passante per il punto P(2;2;-2) e parallelo al piano di equazione x-2y-3z=0...
Il professore ci ha spiegato come trovare l'equazione cartesiana di un piano passante per 3 punti (A,B,C),che poi deve venire nella forma
Ax + By + Cz + D =0. Però mi chiedevo...come faccio a scrivere l'equazione del piano avendo solo 1 punto?
Penso che dopo devo mettere a sistema l'equazione del piano che ho già con quella del piano passante per il punto...
Grazie!
Poi avrei una domanda per un altro problema...è un argomento nuovo
che abbiamo visto stamattina in classe..
Il problema chiede di determinare l'equazione cartesiana del piano passante per il punto P(2;2;-2) e parallelo al piano di equazione x-2y-3z=0...
Il professore ci ha spiegato come trovare l'equazione cartesiana di un piano passante per 3 punti (A,B,C),che poi deve venire nella forma
Ax + By + Cz + D =0. Però mi chiedevo...come faccio a scrivere l'equazione del piano avendo solo 1 punto?
Penso che dopo devo mettere a sistema l'equazione del piano che ho già con quella del piano passante per il punto...
Grazie!
per questa volta farò un'eccezione ma per nuovi problemi devi aprire nuovi post...
se è parallelo a x-2y-3z avrà equazione x-2y-3z+k=0 adesso impongo il passaggio per P inserendo le coordinate, quindi 2-2*2-3*(-2)+k=0 cioè k= -4 quindi il piano sarà x-2y-3z-4=0
se è parallelo a x-2y-3z avrà equazione x-2y-3z+k=0 adesso impongo il passaggio per P inserendo le coordinate, quindi 2-2*2-3*(-2)+k=0 cioè k= -4 quindi il piano sarà x-2y-3z-4=0
Ok grazie mille! Scusami, non sapevo che per nuovi problemi bisognasse aprire nuovi post.. Farò la prossima volta =)
Aggiunto 14 minuti più tardi:
Quindi quando è parallelo devo sempre aggiungere +k ?
È la condizione per trovare l'altro piano parallelo?
Ok..potrei chiederti un'ultima curiosità?
E se il piano fosse perpendicolare all'altro?
Grazie ancora!
Aggiunto 14 minuti più tardi:
Quindi quando è parallelo devo sempre aggiungere +k ?
È la condizione per trovare l'altro piano parallelo?
Ok..potrei chiederti un'ultima curiosità?
E se il piano fosse perpendicolare all'altro?
Grazie ancora!
se fosse perpendicolare servirebbe un'altra informazione per definirlo altrimenti ottieni una stella di piani
Ok grazie, era solo per curiosità nel caso mi trovassi di fronte ad un problema del genere...
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