Per favore, spiegazione procedimento di 3 problemi di geometria analitica

[vrijheid]

Ci terrei tanto a capire il procedimento...Grazie!

1)Il triangolo A(-6,2,6) B(2,2,2) C(8,11,8 ) è la sezione normale di un prisma triangolare. Determinare le tracce dei suoi spigoli laterali.

2)Sono dati i punti A(1,1,2),B(-2,0,3),C(3,-1-2),D(0,3,3).
Determinare il punto che si trova sulla normale al piano ABC passante per A, equidistante da C e da D.

3)Determinare un'equazione parametrica della proiezione della retta g:r=(3,-2,6)+t(1,1,-5) sul piano x-2y+z-1=0

[bimbozza]

1) le tracce degli spigoli sarebbero i suoi lati...ma non capisco se vuole le rette che li delineano o se vuole la lunghezza...

2) il piano ABC è 3x-5y+4z-6=0...come trovare un piano dati 3 punti già lo abbiamo visto, ma se non ti riesce, chiedi pure che te lo rispiego.
La retta normale a questo piano e passante per A ha equazione paramentrica

[math]\left{
x=1+3t\\
y=1-5t\\
z=2+4t
[/math]

la distanza tra un generico punto di questa retta a C è

[math]\sqrt{(1+3t-3)^2+(1-5t+1)^2+(2+4t+2)^2}[/math]

mentre a D è

[math]\sqrt{(1+3t)^2+(1-5t-3)^2+(2+4t-3)^2}[/math]

uguagliamo le due distanze

[math]\sqrt{(3t-2)^2+(2-5t)^2+(4+4t)^2}=\sqrt{(1+3t)^2+(-5t-2)^2+(4t-1)^2}[/math]

[math]\sqrt{9t^2+4-12t+4+25t^2-20t+16+16t^2+32t}=\sqrt{1+9t^2+6t+25t^2+4+20t+16t^2+1-8t}[/math]

[math]\sqrt{50t^2+24}=\sqrt{50t^2+6+18t}[/math]

[math]50t^2+24=50t^2+6+18t[/math]

[math]18t=18[/math]

[math]t=1[/math]

che, sostituito nella retta ci dà

[math]\left{
x=1+3=4\\
y=1-5=-4\\
z=2+4=6
[/math]

per il terzo ci penso un po'...

Aggiunto 26 minuti più tardi:

Portiamo la retta in forma cartesiana

[math]\left{
x=3+t\\
y=-2+t\\
z=6-5t
[/math]

[math]\left{
t=x-3\\
y=-2+x-3\\
z=6-5x+15
[/math]

[math]\left{
x-y-5=0\\
z+5x-21=0
[/math]

il piano che la contiene è
a(x-y-5)+b(z+5x-21)=0

cioè x(a+5b)-ay+bz-21b-5a=0

Adesso bisogna imporre l'ortogonalità tra questo piano e il piano x-2y+z-1=0

(a+5b,-a,b)(1,-2,1)=0

a+5b+2a+b=0
3a=-6b
a=-2b

sostituiamo questo valore nel piano generico a(x-y-5)+b(z+5x-21)=0 quindi
-2b(x-y-5)+b(z+5x-21)=0 dividiamo tutto per b
-2(x-y-5)+(z+5x-21)=0
3x+2y+z-11=0

Adesso devi solo metterla in forma parametrica.... ci riesci?

[vrijheid]

Stefania, ti ringrazio per avermi aiutata ancora!
Però non ho capito, nel secondo esercizio, come hai fatto a trovare la retta normale al piano...A dire il vero, non ho neanche ben capito il concetto di "normale"...Il professore ci ha detto solo che è un vettore perpendicolare ad un piano..

[bimbozza]

la retta normale è una retta perpendicolare al piano.
Come puoi immaginare esistono infinite rette perpendicolari ad un piano quindi ci serve un'altra condizione per poterla definire, come nel nostro esempio il fatto che passi per un certo punto.
se un piano ha equazione ax+by+cz+d=0 e la sua normale passa per un punto P di coordinate (e,f,g) la retta cercata sarà

[math]\left{
x=e+at\\
y=f+bt\\
z=g+ct\\
[/math]

[vrijheid]

Oky grazie mille per la spiegazione!
Domani mattina li riguardo con più calma, e se non capisco qualcosa ti faccio sapere.

Grazie ancora =)

[bimbozza]

Figurati! ^.^ E' un piacere poter essere utile...

[vrijheid]

Ciao Stefania!
Ho riletto abbastanza velocemente i procedimenti dei problemi che mi hai scritto, penso più o meno di aver capito...
L'unica cosa che non so bene come fare è scrivere l'equazione parametrica del piano partendo da quella cartesiana (3x+2y+z-11=0)...
So solo come trovare l'equazione parametrica avendo a disposizione i punti...

Potresti per favore aiutarmi?

Grazie!

[bimbozza]

poni una variabile=t un'altra =s e vai a sostituire nella terza... ad esempio:

[math]\left{
x=t\\
y=s\\
z=11-3t-2s[/math]

[vrijheid]

Oky grazie mille, dopo provo!