Per chi non vuole solo far calcoli
A)
Determinare per quali valori interi
di n l'espressione 3n^2-n-2 e' divisibile per 11.
B)
Stabilire il numero di cifre di 7^(123)
C)
Senza ricorrere all'Analisi calcolare il
minimo ed il massimo assoluti di 5sin(x)+12cos(x)
al variare di x in R.
karl.
Determinare per quali valori interi
di n l'espressione 3n^2-n-2 e' divisibile per 11.
B)
Stabilire il numero di cifre di 7^(123)
C)
Senza ricorrere all'Analisi calcolare il
minimo ed il massimo assoluti di 5sin(x)+12cos(x)
al variare di x in R.
karl.
Risposte
C) Poniamo 5*sin(x) + 12*cos(x) = k
Si vuole che k sia minimo/massimo.
Risolvendo allora l'equazione rispetto ad x
si ottengono le seguenti soluzioni, di cui
ho omesso il periodo:
Da qui si vede che il minimo valore che può assumere
k è -13, mentre il massimo valore è 13,
questo perché le funzioni arcoseno e
arcocoseno hanno per dominio [-1 ; 1]:
k/13 = 1 ==> k = 13
k/13 = -1 ==> k = -13
Si vuole che k sia minimo/massimo.
Risolvendo allora l'equazione rispetto ad x
si ottengono le seguenti soluzioni, di cui
ho omesso il periodo:
Da qui si vede che il minimo valore che può assumere
k è -13, mentre il massimo valore è 13,
questo perché le funzioni arcoseno e
arcocoseno hanno per dominio [-1 ; 1]:
k/13 = 1 ==> k = 13
k/13 = -1 ==> k = -13
Buona soluzione la tua,fireball.
Chi volesse puo' tentare anche
altre strade.
karl.
Chi volesse puo' tentare anche
altre strade.
karl.
A) scrivendo l' equazione nella forma
a(x-x1)(x-x2)=0, dove la a è quella dell' equazione
ax^2+bx+c=0, otteniamo il polinomio
3*(n- 2/3)*(n-1);
adesso se questo prodotto è divisibile per 11, allora uno dei suoi fattori è divisibile per 11;
per cui (n-1)=0 (mod 11) (uso il segno "=" per indicare "congruente"),
da cui n=1 (mod 11), cioè per ogni numero del tipo 11k+1;
per quanto riguarda il fattore (n-2/3), possiamo moltiplicarlo per il fattore 3, ottenendo così
3n-2=0 (mod 11) da cui
3n=2 (mod 11), cioè ogni numero del tipo 33k+6, cioe 11k+3;
quindi in definitiva, il polinomio è divisibile per 11, solo nei casi in cui n=11k+1 oppure n=11k+3, per ogni k intero
a(x-x1)(x-x2)=0, dove la a è quella dell' equazione
ax^2+bx+c=0, otteniamo il polinomio
3*(n- 2/3)*(n-1);
adesso se questo prodotto è divisibile per 11, allora uno dei suoi fattori è divisibile per 11;
per cui (n-1)=0 (mod 11) (uso il segno "=" per indicare "congruente"),
da cui n=1 (mod 11), cioè per ogni numero del tipo 11k+1;
per quanto riguarda il fattore (n-2/3), possiamo moltiplicarlo per il fattore 3, ottenendo così
3n-2=0 (mod 11) da cui
3n=2 (mod 11), cioè ogni numero del tipo 33k+6, cioe 11k+3;
quindi in definitiva, il polinomio è divisibile per 11, solo nei casi in cui n=11k+1 oppure n=11k+3, per ogni k intero
Il numero delle cifre di una potenza (in base dieci) può essere scritto in questo modo:
N=LOG(b,10)*e
DOVE:
N=numero delle cifre;
b=base della potenza;
e=esponente della potenza;
Nel nostro caso si avrà:
N=LOG(7,10)*123=103.9470589
Quindi il numero delle cifre della potenza 7^123 sarà: 104
Ciao, Ermanno
N=LOG(b,10)*e
DOVE:
N=numero delle cifre;
b=base della potenza;
e=esponente della potenza;
Nel nostro caso si avrà:
N=LOG(7,10)*123=103.9470589
Quindi il numero delle cifre della potenza 7^123 sarà: 104
Ciao, Ermanno
@jack
Ragionamento centrato;forse c'e' una svista
nella soluzione 33k+2 ( dovrebbe essere 11k+3).
Infatti per k=1,per esempio, la tua soluzione
fornisce n=35 che non soddisfa la richiesta
divisibilita' per 11.
@Leonardo
Il procedimento e' giusto.
Se vi siete divertiti ne posto altri.
(in modo che il forum non sia solo una
sorta di tutor per le lezioni da casa!)
karl.
Ragionamento centrato;forse c'e' una svista
nella soluzione 33k+2 ( dovrebbe essere 11k+3).
Infatti per k=1,per esempio, la tua soluzione
fornisce n=35 che non soddisfa la richiesta
divisibilita' per 11.
@Leonardo
Il procedimento e' giusto.
Se vi siete divertiti ne posto altri.
(in modo che il forum non sia solo una
sorta di tutor per le lezioni da casa!)
karl.
ok karl, ho corretto, mi ero scordato che 2*3 fa 6, non 2[:D][:D];
mi piacciono questi esercizi, se ne posti altri mi fa piacere...
mi piacciono questi esercizi, se ne posti altri mi fa piacere...
Risolvo il 3. Spero che nessuno si spaventi se nn ha mai sentito questi argomenti ma come Fireball ha dimostrato questi nn sono necessari...
Facciamo a*sin(x)+ b*cos(x)?
Applichiamo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, ottenendo
[a*sin(x)+ b*cos(x)]^2<=(a^2+b^2)*(sen^x+cos^x)
che diventa per le note identità
a*sin(x)+ b*cos(x) <= rad(a^2+b^2)
per il minimo notiamo che se
a*sin(x)+ b*cos(x)allora
a*sin(x+pi)+ b*cos(x+pi)=-k
se esiste k, esiste anche -k e viceversa, quindi il minimo è -rad(a^2+b^2)..
mi pare carino
Facciamo a*sin(x)+ b*cos(x)?
Applichiamo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, ottenendo
[a*sin(x)+ b*cos(x)]^2<=(a^2+b^2)*(sen^x+cos^x)
che diventa per le note identità
a*sin(x)+ b*cos(x) <= rad(a^2+b^2)
per il minimo notiamo che se
a*sin(x)+ b*cos(x)allora
a*sin(x+pi)+ b*cos(x+pi)=-k
se esiste k, esiste anche -k e viceversa, quindi il minimo è -rad(a^2+b^2)..
mi pare carino
A questo punto posto anche la mia.
Si ha:
5sin(x)+12cos(x)=5(sin(x)+12/5*cos(x))
Ponendo tg(a)=12/5 ( da cui sin(a)=12/13,cos(a)=5/13)
risulta:
5sin(x)+12cos(x)=5[sin(x)+sin(a)/cos(a)*cos(x)]=
=5/cos(a)*sin(x+a)=13sin(x+a).
E' quindi evidente che il min ed il max richiesti
sono -13 e 13 assunti,a meno di multipli di 2*Pi ,
nei punti x=3*Pi/2-a e x=Pi/2-a ,dove a=arctg(12/5).
La soluzione di Thomas e' di tono piu' elevato:chissa'
se con Thomas e (piu' modestamente) con me non si
riesce a trasferire su questa sezione del Forum un po'
di spirito.. olimpico.
karl.
Si ha:
5sin(x)+12cos(x)=5(sin(x)+12/5*cos(x))
Ponendo tg(a)=12/5 ( da cui sin(a)=12/13,cos(a)=5/13)
risulta:
5sin(x)+12cos(x)=5[sin(x)+sin(a)/cos(a)*cos(x)]=
=5/cos(a)*sin(x+a)=13sin(x+a).
E' quindi evidente che il min ed il max richiesti
sono -13 e 13 assunti,a meno di multipli di 2*Pi ,
nei punti x=3*Pi/2-a e x=Pi/2-a ,dove a=arctg(12/5).
La soluzione di Thomas e' di tono piu' elevato:chissa'
se con Thomas e (piu' modestamente) con me non si
riesce a trasferire su questa sezione del Forum un po'
di spirito.. olimpico.
karl.
Ma Cauchy è un nome che si sente nominare in Analisi o sbaglio?
La cosiddetta disuguaglianza di Cauchy-Shwartz e' una
relazione che si puo dimostrare in vari modi
(alcuni dei quali fanno riferimento al prodotto scalare
di vettori numerici).Viene usata anche in Analisi
in varie teorie che sicuramente incontrerai nei tuoi studi.
Elementarmente essa afferma che sussiste la disug.
(a1*b1+a2*b2+..+an*bn)^2<=(a1^2+a2^2+..+an^2)(b1^2+b2^2+..+bn^2)
dove [a1,a2,...,an] e [b1,b2,...,bn] sono due vettori (eventualmente) numerici.
Nel caso nostro Thomas ha scelto a1=5,a2=12,b1=sinx,b2=cosx e
dunque:
(5sinx+12cosx)^2<=(5^2+12^2)(sin^2x+cos^2x)=(169)*1=13^2
da cui il seguito.
karl.
relazione che si puo dimostrare in vari modi
(alcuni dei quali fanno riferimento al prodotto scalare
di vettori numerici).Viene usata anche in Analisi
in varie teorie che sicuramente incontrerai nei tuoi studi.
Elementarmente essa afferma che sussiste la disug.
(a1*b1+a2*b2+..+an*bn)^2<=(a1^2+a2^2+..+an^2)(b1^2+b2^2+..+bn^2)
dove [a1,a2,...,an] e [b1,b2,...,bn] sono due vettori (eventualmente) numerici.
Nel caso nostro Thomas ha scelto a1=5,a2=12,b1=sinx,b2=cosx e
dunque:
(5sinx+12cosx)^2<=(5^2+12^2)(sin^2x+cos^2x)=(169)*1=13^2
da cui il seguito.
karl.
Si può dimostrare con vari metodi elementari (anzi nn ne conosco di superiori).
Dimenticavo di dire che l'uguaglianza vale se e solo se le due sequenze sono proporzionali. Imponendo questo si prova l'esistenza del max e del minimo...
Le disuguaglianze cmq nn sono un argomento superiore e richiedono poche conoscienze di base per lo studio unite a tanta inventiva...per questo sono un tipico argomento di matematica ricreativa...
Dimenticavo di dire che l'uguaglianza vale se e solo se le due sequenze sono proporzionali. Imponendo questo si prova l'esistenza del max e del minimo...
Le disuguaglianze cmq nn sono un argomento superiore e richiedono poche conoscienze di base per lo studio unite a tanta inventiva...per questo sono un tipico argomento di matematica ricreativa...
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