Per chi deve fare la maturita'....
... propongo un bel quesito. Consideriamo il metodo della bisezione per la determinazione approssimata degli zeri di una funzione.
Costruire un esempio in cui il metodo della bisezione, metodo iterativo, non termina mai, ovvero non esiste un momento in cui un punto della successione che si viene a creare cada esattamente nella radice dell'equazione data.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Costruire un esempio in cui il metodo della bisezione, metodo iterativo, non termina mai, ovvero non esiste un momento in cui un punto della successione che si viene a creare cada esattamente nella radice dell'equazione data.
Luca Lussardi
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Risposte
allora premetto che io non ho fatto il metodo di bisezione a scuola ma me l'ha speigato paola su msn appositamente per questo problemino, quindi mi scuso se dico scemate:
secondo me un caso in cui non si giunga a radice perfetta è quando la suddettà è irrazionale, ad esempio sqrt2. allora prendo 2 funzioni che non c'azzeccano nulla una con l'altra ad esempio y=lnx e y=senx. tengo fissa la funzione y=lnx e le impongo il passaggio per sqrt2. ovviamente il punto sarà P (sqrt2, ln(sqrt2)). poi prendo la funzione y=senx. le aggiungo un parametro che mi permetta di dilatarla e farla andare dove voglio e diventa y=sen(ax). a sto punto faccio passare la funzione per il punto p. con un po' di conti ottengo che il arametro a sarà (arcsen(ln(sqrt2))/(sqrt2). a sto punto costruisco l'equazione che sarà:
y = lnx - sen (arcsen(ln(sqrt2))/(sqrt2) x
secondo me un caso in cui non si giunga a radice perfetta è quando la suddettà è irrazionale, ad esempio sqrt2. allora prendo 2 funzioni che non c'azzeccano nulla una con l'altra ad esempio y=lnx e y=senx. tengo fissa la funzione y=lnx e le impongo il passaggio per sqrt2. ovviamente il punto sarà P (sqrt2, ln(sqrt2)). poi prendo la funzione y=senx. le aggiungo un parametro che mi permetta di dilatarla e farla andare dove voglio e diventa y=sen(ax). a sto punto faccio passare la funzione per il punto p. con un po' di conti ottengo che il arametro a sarà (arcsen(ln(sqrt2))/(sqrt2). a sto punto costruisco l'equazione che sarà:
y = lnx - sen (arcsen(ln(sqrt2))/(sqrt2) x
scusa Luca, non va bene ogni funzione trascendente? esempio: y=e^x+x
qualunque non credo ad esempio y= e^x + x - 1 ha uno 0 trovabile preciso. quindi si deve essere sicuri che la radice non sia razionale..
Non ho capito la tua soluzione, giacor86. Non vedo poi la costruzione del metodo della bisezione...
Luca Lussardi
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Luca Lussardi
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occorre sapere questo metodo per l'esame ? Perchè a scuola neanche a me l'hanno spiegato...
Vediamo cosa riesco a fare ...
Illustriamo a grandi linee il procedimento con il quale è possibile ottenere approssimazioni sempre migliori dell' eventuale radice c dell' eq. f(x)=0 con f(x) continua in [a,b]
Supponiamo di conoscere già due approssimazioni (per eccesso e per difetto) a_n e b_n di c e procediamo come segue per ricavare a_{n+1} e b_{n+1}:
1- calcoliamo m=(a_n + b_n)/2
2- se f(m) e f(a_n)sono concordi -> a_{n+1}=m e b_{n+1}=b_n
3- se f(m) e f(b_n)sono concordi -> a_{n+1}=a_n e b_{n+1}=m
Il procedimento ovviamente termina quando f(m)=0, quindi affinchè il procedimento non termini basta trovare f(x) in modo tale che f(m)<>0
Consideriamo ora la funzione f(x)=e^x+x suggerita da wedge
siano -1 e 0 le approssimazioni di partenza di c,notiamo ora che m è e sarà sempre (almeno dopo un numero finito di iterazioni) un numero razionale, sarà dunque f(m)=e^m+m dove e^m è certamente un numero irrazionale, si conclude quindi che f(m) essendo la somma di un num. irrazionale e di un num. razionale non può mai essere uguale a zero e che di conseguenza il procedimento non ha termine.
Ho scritto vaccate?
Illustriamo a grandi linee il procedimento con il quale è possibile ottenere approssimazioni sempre migliori dell' eventuale radice c dell' eq. f(x)=0 con f(x) continua in [a,b]
Supponiamo di conoscere già due approssimazioni (per eccesso e per difetto) a_n e b_n di c e procediamo come segue per ricavare a_{n+1} e b_{n+1}:
1- calcoliamo m=(a_n + b_n)/2
2- se f(m) e f(a_n)sono concordi -> a_{n+1}=m e b_{n+1}=b_n
3- se f(m) e f(b_n)sono concordi -> a_{n+1}=a_n e b_{n+1}=m
Il procedimento ovviamente termina quando f(m)=0, quindi affinchè il procedimento non termini basta trovare f(x) in modo tale che f(m)<>0
Consideriamo ora la funzione f(x)=e^x+x suggerita da wedge
siano -1 e 0 le approssimazioni di partenza di c,notiamo ora che m è e sarà sempre (almeno dopo un numero finito di iterazioni) un numero razionale, sarà dunque f(m)=e^m+m dove e^m è certamente un numero irrazionale, si conclude quindi che f(m) essendo la somma di un num. irrazionale e di un num. razionale non può mai essere uguale a zero e che di conseguenza il procedimento non ha termine.
Ho scritto vaccate?
per Pollo: è meglio se ti guardi i metodi iterativi per determinare gli zeri di una funzione, perchè nei quesiti capitano quasi sempre...
wedge dipende... è sicuro in un corso di pni. ma in un corso di ordinamento non capita mai (almeno negli ultimo 6 o 7 anni non è capitato).
cosa luca non hai capito?? tu hai chiesto di inventare una funzione con gli zeri non trovabili tramite il metodo di bisezione. io ho ragionato e ho pensato che il metodo di bisezione ti da radici non approssimate solo se queste no sono irrazionali. prendendo questa premessa come vera (cosa per cui NON mi taglierei una mano, visto che non ho nemmeno fatto il metodo di bisezione a scuola) ho preso 2 funzioni trascendenti lnx e senx ho fatto in modo che passassero per uno stesso punto ad ascissa irrazionale. poi ho scritto la funzione "differenza delle 2 funzioni" che avrà per forza come radice, quel punto, e siccome ha ascissa irrazionale, non sarà determinabile con finiti passi del metodo di bisezione.
ho preso la funzione y=lnx e ho calcolato la f in sqrt2 e mi viene ln(sqrt2)
poi ho preso una sorta di fascio di seni y=sen(ax) dove il parametro a indica la dilatazione del periodo e quindi mi permette di farla passare a piacimento doe voglio. facendo passare il fascio y=sen(ax) per il punto sqrt2, ln(sqrt2) ottengo il valore di a desiderato. esplicito ora i conti:
y=sen(ax) faccio passare per (sqrt2, ln(sqrt2)
ln(sqrt2) = sen (a*sqrt2)
a*sqrt2 = arcsen(ln(sqrt2))
a = (arcsen(ln(sqrt2)))/2
questo valore di a (che è numerico e vale all'incirca 0.25) è il valore per cui y = sen(ax) passa per (sqrt2,ln(sqrt2)) questa funzione è quindi y = sen ((arcsen(ln(sqrt2)))/2) x (ho solo sostituito la a nell'equazione del fascio). a questo punto y=lnx e y=sen((arcsen(ln(sqrt2)))/2)x passano entambe per uno stesso punto e quindi questo sarà il loro punto di intersezione (con ascissa irrazionale che ricordo essere sqrt2). la funzione "differenza" delle due allora è
y = lnx - sen (arcsen(ln(sqrt2))/(sqrt2) x
che avrà come radiec proprio quello stesso punto. se la mia premessa è valida, questo 0 è irrazionale quindi non trovabile con il metodi di bisezione.
tutto chiaro?
cosa luca non hai capito?? tu hai chiesto di inventare una funzione con gli zeri non trovabili tramite il metodo di bisezione. io ho ragionato e ho pensato che il metodo di bisezione ti da radici non approssimate solo se queste no sono irrazionali. prendendo questa premessa come vera (cosa per cui NON mi taglierei una mano, visto che non ho nemmeno fatto il metodo di bisezione a scuola) ho preso 2 funzioni trascendenti lnx e senx ho fatto in modo che passassero per uno stesso punto ad ascissa irrazionale. poi ho scritto la funzione "differenza delle 2 funzioni" che avrà per forza come radice, quel punto, e siccome ha ascissa irrazionale, non sarà determinabile con finiti passi del metodo di bisezione.
ho preso la funzione y=lnx e ho calcolato la f in sqrt2 e mi viene ln(sqrt2)
poi ho preso una sorta di fascio di seni y=sen(ax) dove il parametro a indica la dilatazione del periodo e quindi mi permette di farla passare a piacimento doe voglio. facendo passare il fascio y=sen(ax) per il punto sqrt2, ln(sqrt2) ottengo il valore di a desiderato. esplicito ora i conti:
y=sen(ax) faccio passare per (sqrt2, ln(sqrt2)
ln(sqrt2) = sen (a*sqrt2)
a*sqrt2 = arcsen(ln(sqrt2))
a = (arcsen(ln(sqrt2)))/2
questo valore di a (che è numerico e vale all'incirca 0.25) è il valore per cui y = sen(ax) passa per (sqrt2,ln(sqrt2)) questa funzione è quindi y = sen ((arcsen(ln(sqrt2)))/2) x (ho solo sostituito la a nell'equazione del fascio). a questo punto y=lnx e y=sen((arcsen(ln(sqrt2)))/2)x passano entambe per uno stesso punto e quindi questo sarà il loro punto di intersezione (con ascissa irrazionale che ricordo essere sqrt2). la funzione "differenza" delle due allora è
y = lnx - sen (arcsen(ln(sqrt2))/(sqrt2) x
che avrà come radiec proprio quello stesso punto. se la mia premessa è valida, questo 0 è irrazionale quindi non trovabile con il metodi di bisezione.
tutto chiaro?
Allora, il metodo di bisezione funziona sempre, e' un metodo che converge sempre ad una radice di un'equazione, laddove sia applicabile. Quindi e'impossibile trovare una funzione per la quale il metodo di bisezione non converga ad un suo zero.
Il metodo converge anche se la radice e' irrazionale quindi, e puo' convergere "in un numero finito di passi". Ad esempio se una funzione ha come zero sqrt(2), irrazionale, allora se io parto da un intervallo (a,b) che ha come punto medio sqrt(2), ho finito gia' con la prima iterazione: il punto medio che trovo e' gia' la radice cercata.
Io non chiedevo un esempio in cui il metodo della bisezione non funziona, ma un esempio in cui esso non termina dopo un numero finito di iterazioni.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Il metodo converge anche se la radice e' irrazionale quindi, e puo' convergere "in un numero finito di passi". Ad esempio se una funzione ha come zero sqrt(2), irrazionale, allora se io parto da un intervallo (a,b) che ha come punto medio sqrt(2), ho finito gia' con la prima iterazione: il punto medio che trovo e' gia' la radice cercata.
Io non chiedevo un esempio in cui il metodo della bisezione non funziona, ma un esempio in cui esso non termina dopo un numero finito di iterazioni.
Luca Lussardi
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Per iteuler: no non hai scritto vaccate; e' corretto. Piu' in generale basta prendere un intervallo con estremi a e b razionali; allora tutti gli elementi della successione creata dal metodo della bisezione saranno razionali. Basta allora scegliere una qualunque funzione con uno zero irrazionale in quell'intervallo, per concludere che il metodo non terminera' in un numero finito di passi.
I miei complimenti.
Luca Lussardi
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I miei complimenti.
Luca Lussardi
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Il metodo di bisezione non funziona sempre! Ci sono funzioni per le quali non si puo' nemmeno costruire la successione delle iterate! (e che comunque presentano uno zero reale!).
Visto che siamo in tema vi invito a esibire una funzione che gode di questa propieta'(per la quale non si puo' definire il metodo di besezione) ....
(puo' essere un bel quesito...)
Visto che siamo in tema vi invito a esibire una funzione che gode di questa propieta'(per la quale non si puo' definire il metodo di besezione) ....
(puo' essere un bel quesito...)
ma allora luca non ho capito. perchè è sbagliato quello che ho fatto io?
Grazie Luca
P.S. grazie anche per la risposta nel topic "funzione tosta"
P.S. grazie anche per la risposta nel topic "funzione tosta"
Il metodo della bisezione e' sempre convergente se la funzione da cui si parte e' continua e ammette almeno uno zero. Per c ui l'unico modo per non farlo funzionare e' prendere una funzione non continua, ma andare a cercare gli zeri di una funzione non continua non e' un problema semplice, anzi, e' un problema con scarso significato: potrebbe avere zeri distribuiti come vuole, indipendentemente dai valori assunti dalla funzione altrove.
Luca Lussardi
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Luca Lussardi
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Per giacor86: non e' sbagliato quello che hai fatto, ma per applicare il metodo della bisezione non va fissata solo la funzione ma anche l'intervallo di partenza, e di quest'ultimo non vedo traccia in quello che hai scritto. Per di piu' gli estremi potrebbero anche essere irrazionali, nessuno lo vieta.
Ad esempio, sia f la funzione che hai costruito tu con radice irrazionale x; allora io parto da un intervallo centrato in x, e il metodo della bisezione termina dopo solo una iterazione.
Luca Lussardi
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Ad esempio, sia f la funzione che hai costruito tu con radice irrazionale x; allora io parto da un intervallo centrato in x, e il metodo della bisezione termina dopo solo una iterazione.
Luca Lussardi
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x Luca:
Prendi la funzione piu' semplice del mondo:
x^2
Che e' continua e anzi C^{\infty}
E un intervallo non simmetrico intorno all'origine.
Dimmi come fa a convergere la bisezione visto che la funzione non cambia segno in nessun intervallo di IR....
Prendi la funzione piu' semplice del mondo:
x^2
Che e' continua e anzi C^{\infty}
E un intervallo non simmetrico intorno all'origine.
Dimmi come fa a convergere la bisezione visto che la funzione non cambia segno in nessun intervallo di IR....
I requisiti affinche' funzioni la bisezione sono le ipotesi del Th degli zeri, e la funzione da te postata non verifica quelle ipotesi. Per cui qui il metodo di bisezione non e' applicabile, non e' che non converge.
Il problema da me postato non era trovare un esempio in cui il metodo e' applicabile ma non funziona (questo esempio non esiste); bensi' un esempio in cui il metodo si applica ma si itera all'infinito.
Luca Lussardi
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Il problema da me postato non era trovare un esempio in cui il metodo e' applicabile ma non funziona (questo esempio non esiste); bensi' un esempio in cui il metodo si applica ma si itera all'infinito.
Luca Lussardi
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tutto chiaro. grazie. dai almeno è apprezzabile lo sforzo per la costruzione della funzione con la soluzione irrazionale no?
x Luca
Scusami ho capito male lo scopo dell'esercizio da te postato.
Scusami ho capito male lo scopo dell'esercizio da te postato.
Per giacor86: se un giorno ti dovesse capitare un problema che ti chiede di esibire una funzione che ha uno zero irrazionale, non fare tutto quel casino (anche se ho apprezzato la corretta costruzione). Basta prendere un qualunque numero irrazionale x e considerare una retta non orizzontale che passa per il punto (x,0).
Luca Lussardi
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