Passaggio del Prof moooolto strano
Salve a tutti sto risolvendo il seguente integrale (in realta' e' 1 ma e' stato "smuzzato" in 3 parti).
vi riporto i passaggi del Prof ( che sono anche quelli che ho fatto fino ad un certo punto perche poi l'ho perso definitivamente
)
$t=periodo=(2pi)/w$
$w, A_o, A, p$ sono costanti
$1/t* (int_(0)^(t) (A_o)^2 dt + int_(0)^(t) A^2sin^2(wt+p) dt + int_(0)^(t) 2A_0Asin(wt+p) dt) = $
$= 1/t*int_(0)^(t) (A_o)^2 dt + 1/t*int_(0)^(t) A^2sin^2(wt+p) dt+ 1/t*int_(0)^(t) 2A_0Asin(wt+p) dt $
fin qua ci sono... adesso ragionandi su ogni singolo integrale:
il primo dovrebbe dare:
$1/t*int_(0)^(t) (A_o)^2 dt= A_o^2$
il secondo (lo lascio un attimo da parte)
il terzo (dato che e' una sinusoide "pura") e sto ragionando con il periodo di essa dovrà dare per forza 0
$1/t*int_(0)^(t) 2A_0Asin(wt+p) dt = 0 $
torando al secondo integrale, vi riporto il passaggio del Prof (sul secondo integrale):
e qua mi scuso ma son costretto a mettere una piccola foto perche scrive tutto a schemi e se riporto a mano diventa difficile la comprensione:
In pratica ha sostituito con $t$ il periodo (e fin qua tutto chiaro)
a tirato fuori $A^2$ anche qui tutto chiaro...
ma com'è che da
$int_(0)^(t) sin^2(wt+p) dt$
e' arrivato a
$int_(0)^(t) sin^2(wt) dt$
la $p$ dov'e' finita? ...
io ho usato la $p$ lui un altro nome che al momento mi sfugge (scusate).
pero poco cambia... il fatto e' che nei miei calcoli la $p$ resta lui magicamente la toglie e integra diretto con $int_(0)^(t) sin^2(wt) dt$ possibile?
grazie
vi riporto i passaggi del Prof ( che sono anche quelli che ho fatto fino ad un certo punto perche poi l'ho perso definitivamente
)$t=periodo=(2pi)/w$
$w, A_o, A, p$ sono costanti
$1/t* (int_(0)^(t) (A_o)^2 dt + int_(0)^(t) A^2sin^2(wt+p) dt + int_(0)^(t) 2A_0Asin(wt+p) dt) = $
$= 1/t*int_(0)^(t) (A_o)^2 dt + 1/t*int_(0)^(t) A^2sin^2(wt+p) dt+ 1/t*int_(0)^(t) 2A_0Asin(wt+p) dt $
fin qua ci sono... adesso ragionandi su ogni singolo integrale:
il primo dovrebbe dare:
$1/t*int_(0)^(t) (A_o)^2 dt= A_o^2$
il secondo (lo lascio un attimo da parte)
il terzo (dato che e' una sinusoide "pura") e sto ragionando con il periodo di essa dovrà dare per forza 0
$1/t*int_(0)^(t) 2A_0Asin(wt+p) dt = 0 $
torando al secondo integrale, vi riporto il passaggio del Prof (sul secondo integrale):
e qua mi scuso ma son costretto a mettere una piccola foto perche scrive tutto a schemi e se riporto a mano diventa difficile la comprensione:
In pratica ha sostituito con $t$ il periodo (e fin qua tutto chiaro)
a tirato fuori $A^2$ anche qui tutto chiaro...
ma com'è che da
$int_(0)^(t) sin^2(wt+p) dt$
e' arrivato a
$int_(0)^(t) sin^2(wt) dt$
la $p$ dov'e' finita? ...
io ho usato la $p$ lui un altro nome che al momento mi sfugge (scusate).
pero poco cambia... il fatto e' che nei miei calcoli la $p$ resta lui magicamente la toglie e integra diretto con $int_(0)^(t) sin^2(wt) dt$ possibile?
grazie
Risposte
Si tratta di un'onda, integrata su un multiplo del periodo (il seno al quadrato ha periodo $pi$), che il calcolo parta dall'inizio dell'onda $[0; T]$ o da un punto intermedio $[p; T+p]$ o $[-p; T-p]$, l'area sottesa rimane la stessa perché il tratto comprende un intero periodo.
Grazie @melia, una cosa... possibile che il periodo del seno al quadrato sia $pi$ e non $pi/2$ ?
poi volevo chiederti (per capire se ho capito).
se avessi voluto lasciare la p... mi sarebbe bastato integrare al posto di $[0;T]$ con $[p;T+p]$ in modo da avere la partenza dal punto scelto fino alla fine dei multipli del periodo dell'onda + il punto che ho scelto in modo da chiudere l'ennesimo periodo, perche seno sarebbe mancata la parte di $p$ per chiudere l'ennesimo periodo in quando il $T$ si fermerebbe prima ...
tipo:
parto da $pi/2$ fino a $T+pi/2$ la $T$ contiene una serie di periodi ma dato che siamo partiti da $pi/2$ quando giungiamo alla fine di $T$ essa ci porterà di $pi/2$ dopo il termine dell ennesimo periodo, quindi aggiungendoci il $pi/2$ (che e' il punto di partenza da me scelto) lo chiudiamo.
e se fosse stato un seno normale?
tipo
$int_(0)^(t) sin(wt+p) dt$
avrei potuto comunque utilizzare lo stesso ragionamento? e scriverlo come
$int_(0)^(t) sin(wt) dt$ al posto di $int_(p)^(t+p) sin(wt+p) dt$
grazie
poi volevo chiederti (per capire se ho capito).
se avessi voluto lasciare la p... mi sarebbe bastato integrare al posto di $[0;T]$ con $[p;T+p]$ in modo da avere la partenza dal punto scelto fino alla fine dei multipli del periodo dell'onda + il punto che ho scelto in modo da chiudere l'ennesimo periodo, perche seno sarebbe mancata la parte di $p$ per chiudere l'ennesimo periodo in quando il $T$ si fermerebbe prima ...
tipo:
parto da $pi/2$ fino a $T+pi/2$ la $T$ contiene una serie di periodi ma dato che siamo partiti da $pi/2$ quando giungiamo alla fine di $T$ essa ci porterà di $pi/2$ dopo il termine dell ennesimo periodo, quindi aggiungendoci il $pi/2$ (che e' il punto di partenza da me scelto) lo chiudiamo.
e se fosse stato un seno normale?
tipo
$int_(0)^(t) sin(wt+p) dt$
avrei potuto comunque utilizzare lo stesso ragionamento? e scriverlo come
$int_(0)^(t) sin(wt) dt$ al posto di $int_(p)^(t+p) sin(wt+p) dt$
grazie
"giogiomogio":
.. possibile che il periodo del seno al quadrato sia $pi$ e non $pi/2$ ?...
Certo che sì, ho sbagliato a scrivere e adesso correggo.
Per il resto vedo che hai capito.
sto provando a risolvere il secondo integrale ma non so come mai mi da sempre $0$
provo a mettere qui sotto i passaggi:
$int_(0)^(t) sin^2(wt) dt$
non ho eseguito il passaggio diretto come il prof ma ho fatto la sostituzione e ho ottenuto comunque come lui la sequente primitiva:
$[t/2 - (sin(wt)cos(wt))/(2w)]_(0)^((2pi)/w)$
al posto di $t$ metto il periodo e ottengo:
e ottengo
$((2pi)/(2w) - (sin(w(2pi)/w)cos(w(2pi)/w))/(2w))-((0)/(2) - (sin(w0)cos(w0))/(2w)) =$
$=(pi)/(w)- 0=(pi)/(w)$
ora è uscito... riscrivendolo con calma ora i conti tornano quindi il valore efficiente sara uguale a:
$sqrt(A_o^2+A^2/2)=sqrt(A_o^2+(A/sqrt(2))^2$
e comunque ripensandoci potevo anche iniziare al posto di:
$int_(0)^(t) sin^2(wt) dt$ con $int_(0)^(t) sin^2(t) dt$
immagino che non sarebbe cambiato nulla al risultato dell'integrale giusto?
perche se $w=2$ o qualsi altro numero, diminuisco o aumento gli intervalli della funzione proprozionalmente all estremo maggiore dell'integrale...
quindi la funzione con $w$ piu grande fa piu intervalli ma dato che pero all estremo maggiore il periodo diminuisce alla fine la funziona fara gli stessi intervalli di prima... ma dato che le "gobbe" sono tutte positive io le sommo quindi la $w$ potrei toglierla credo...
Grazie
provo a mettere qui sotto i passaggi:
$int_(0)^(t) sin^2(wt) dt$
non ho eseguito il passaggio diretto come il prof ma ho fatto la sostituzione e ho ottenuto comunque come lui la sequente primitiva:
$[t/2 - (sin(wt)cos(wt))/(2w)]_(0)^((2pi)/w)$
al posto di $t$ metto il periodo e ottengo:
e ottengo
$((2pi)/(2w) - (sin(w(2pi)/w)cos(w(2pi)/w))/(2w))-((0)/(2) - (sin(w0)cos(w0))/(2w)) =$
$=(pi)/(w)- 0=(pi)/(w)$
ora è uscito... riscrivendolo con calma ora i conti tornano quindi il valore efficiente sara uguale a:
$sqrt(A_o^2+A^2/2)=sqrt(A_o^2+(A/sqrt(2))^2$
e comunque ripensandoci potevo anche iniziare al posto di:
$int_(0)^(t) sin^2(wt) dt$ con $int_(0)^(t) sin^2(t) dt$
immagino che non sarebbe cambiato nulla al risultato dell'integrale giusto?
perche se $w=2$ o qualsi altro numero, diminuisco o aumento gli intervalli della funzione proprozionalmente all estremo maggiore dell'integrale...
quindi la funzione con $w$ piu grande fa piu intervalli ma dato che pero all estremo maggiore il periodo diminuisce alla fine la funziona fara gli stessi intervalli di prima... ma dato che le "gobbe" sono tutte positive io le sommo quindi la $w$ potrei toglierla credo...
Grazie
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