Passaggio algebrico su equazione di una generica conica

[HowardRoark]

Sto studiando le coniche e vorrei avere una conferma su un passaggio algebrico, giusto per essere sicuro di aver fatto tutto bene.

Da $(d(P,F))/(d(P,r))=e$, dove $F$ è il fuoco, $e$ l'eccentricità e $r$ la direttrice, e introducendo un sistema di riferimento con fuoco nell'origine e $r: x=d$, arrivo alla seguente:
$(1-e^2)x^2+2e^2dx+y^2-e^2d^2=0$.
Ora, voglio provare che posso scrivere un'iperbole (con asse trasverso parallelo all'asse y) attraverso il metodo del completamento del quadrato.
Supponendo $e>1$, considero quindi:

$(1-e^2)x^2+2e^2dx+(e^4)/(1-e^2)d^2+y^2= (e^2d^2)/(1-e^2)$ (ho semplicemente aggiunto $e^4/(1-e^2)d^2$ ad ambo i membri e fatto qualche passaggio algebrico).

Con le mie ipotesi, $(1-e^2)<0$, e quindi non posso passare subito all'estrazione di radice; pertanto, io riscriverei l'equazione così:

$-(sqrt(e^2-1)x - (e^2*d)/sqrt(e^2-1))^2 + y^2 = (e^2d^2)/(1-e^2)$,

e questa mi sembra l'equazione di un'iperbole traslata.
Potreste confermarmi che i passaggi sono corretti?
Grazie in anticipo.

[giammaria2]

Arrivo ad intuire che $d(P,F); d(P,r)$ indichino le distanze di $P$ da $F;r$ rispettivamente; ma cosa significa $r: x=d$ ? E naturalmente poi non capisco nulla di quanto segue.
Mi spiace, ma se vuoi delle risposte devi fare domande comprensibili.

[HowardRoark]

"giammaria": $r: x=d$ ?

è la direttrice. Non ho ben presenti le direttrici di ellisse e iperbole perché sul mio libro non se ne fa proprio riferimento, però non è un dettaglio a cui ho dato troppo peso. Nella dimostrazione non so il motivo ma si prende una direttrice con asse parallelo ad $x=0$, quando a me sarebbe sembrato più normale considerarne una del tipo $y=k$, però ovviamente la dimostrazione va bene anche così.

"giammaria": naturalmente poi non capisco nulla di quanto segue.

$P(x,y)$, $F(0;0)$.
$(d(P,F))/(d(P,r))= e = sqrt(x^2+y^2)/|x-d| => sqrt(x^2+y^2)=e|x-d|$. Questa è semplicemente la distanza di $P$ da $F$ diviso la distanza di $P$ dalla retta $x=d$ (la direttrice).
Elevo entrambi i membri al quadrato:

$x^2+y^2=e^2(x-d)^2 => (1-e^2)x^2 + 2e^2dx + y^2-e^2d^2=0$. Questa dovrebbe essere l'equazione di una generica conica. Se $e=1$ ho una parabola (con asse parallelo all'asse x):
$y^2+2dx-d^2=0$. Se $e<1$ ho un'ellisse e se $e>1$ ho un'iperbole. Quello che volevo capire io era se nell'ultimo passaggio - quello in cui ho posto $e>1$ - avessi fatto bene i conti e quella rappresentata fosse effettivamente un'iperbole con i vertici su un asse parallelo ad $x=0$.

[giammaria2]

Le direttrici sono sempre perpendicolari all'asse di simmetria più importante della conica (quello principale per l'ellisse, l'unico per la parabola e quello trasverso per l'iperbole): quindi hai ragione nel dire che nel tuo caso la direttrice ha un'equazione del tipo $y=k$. L'affermazione del tuo libro si riferisce al caso in cui l'asse trasverso è parallelo all'asse x, che è il caso più spesso considerato.
Il resto va bene: se il fuoco è $F(0,0)$ e la direttrice è $y=d$, l'equazione della conica è $x^2+y^2=e^2(y-d)^2$. Non ho controllato i calcoli, ma sono impostati bene, a parte lo scambio fra $x$ ed $y$.