Partizione di un insieme
Ciao a tutti, chiedo un chiarimento su una frase (che cito esattamente, a parte che uso il simbolo "-" anziché "\" per motivi di latex).
Se \( Y \subseteq X \), allora $XUY = X$. Quindi, scrivere \( X = YUX - Y \) non sarebbe come scrivere $X = X - Y$? Ma questo non sarebbe vero... Inoltre non mi è chiaro, dalla frase, cosa viene "messo" in quella partizione. X? Io avrei scritto che $ {Y, X-Y} $ è una partizione di X.
Si noti che se \( Y \subseteq X \) allora \( X = YUX - Y \) è una partizione di X e viceversa
Se \( Y \subseteq X \), allora $XUY = X$. Quindi, scrivere \( X = YUX - Y \) non sarebbe come scrivere $X = X - Y$? Ma questo non sarebbe vero... Inoltre non mi è chiaro, dalla frase, cosa viene "messo" in quella partizione. X? Io avrei scritto che $ {Y, X-Y} $ è una partizione di X.
Risposte
E la parte sufficiente della tua caratterizzazione dove l'hai provata 
?
Il punto mi sembra che la partizione da te citata è sempre tale, per $X$, anche quando $Y$ non v'è incluso :
allora ne serve una più "fine", per poter invertire "significativamente" la Proposizione quando sei nell'ipotesi $Y sube X$..
Altra cosa:
non c'ho sbattuto nei dettagli, ma direi come per la verifica $lArr$ possa esserti utile il fatto che,
comunque si fissino gli insiemi $X,Y$(indipendentemente da loro eventuali relazioni di reciproca inclusione..),
si ha $X uu Y= X uu (Y setminus X)$(o la sua riedizione $X uu Y=X uu [Y setminus (X nn Y)]$).
Saluti dal web.
?Il punto mi sembra che la partizione da te citata è sempre tale, per $X$, anche quando $Y$ non v'è incluso :
allora ne serve una più "fine", per poter invertire "significativamente" la Proposizione quando sei nell'ipotesi $Y sube X$..
Altra cosa:
non c'ho sbattuto nei dettagli, ma direi come per la verifica $lArr$ possa esserti utile il fatto che,
comunque si fissino gli insiemi $X,Y$(indipendentemente da loro eventuali relazioni di reciproca inclusione..),
si ha $X uu Y= X uu (Y setminus X)$(o la sua riedizione $X uu Y=X uu [Y setminus (X nn Y)]$).
Saluti dal web.
Benritrovato Theras, grazie per la risposta 
Mi sa che ho fatto un errore di lettura delle parentesi. Leggevo $X = (YUX) - Y $ e non capivo. Non avevo pensato che poteva essere $X = YU (X - Y)$. Scritto così mi torna.
Ma nell'insiemistica c'è una regola di precedenza per le operazioni, nell'ordine di lettura, come per il prodotto rispetto alla somma in algebra?
Qui intendi: "per poter dire che se la partizione è [...], allora \( Y \subseteq X \)" ?
Non ci avevo pensato. Credevo che si facesse solo un'osservazione sul fatto che, nel caso Y è contenuto in X, allora una delle partizioni di X è $X = YU (X - Y)$
EDIT: mi ero dimenticata una cosa:
Qui non mi è chiaro. L'unione degli insiemi che compongono la partizione non deve essere X?
X = {a, b, c}
Y = {a, d}
Y U (X-Y) = {a, d, b, c}, diverso da X
Mi sa che ho fatto un errore di lettura delle parentesi. Leggevo $X = (YUX) - Y $ e non capivo. Non avevo pensato che poteva essere $X = YU (X - Y)$. Scritto così mi torna.
Ma nell'insiemistica c'è una regola di precedenza per le operazioni, nell'ordine di lettura, come per il prodotto rispetto alla somma in algebra?
"theras":
per poter invertire "significativamente" la Proposizione quando sei nell'ipotesi Y⊆X..
Qui intendi: "per poter dire che se la partizione è [...], allora \( Y \subseteq X \)" ?
Non ci avevo pensato. Credevo che si facesse solo un'osservazione sul fatto che, nel caso Y è contenuto in X, allora una delle partizioni di X è $X = YU (X - Y)$
EDIT: mi ero dimenticata una cosa:
"theras":
Il punto mi sembra che la partizione da te citata è sempre tale, per $X$, anche quando $Y$ non v'è incluso :
Qui non mi è chiaro. L'unione degli insiemi che compongono la partizione non deve essere X?
X = {a, b, c}
Y = {a, d}
Y U (X-Y) = {a, d, b, c}, diverso da X
"jitter":
Benritrovato Theras, grazie per la risposta
E di cosa
?Grazie a te,comunque.."jitter":
Mi sa che ho fatto un errore di lettura delle parentesi. Leggevo $ X = (YUX) - Y $ e non capivo. Non avevo pensato che poteva essere $ X = YU (X - Y) $. Scritto così mi torna.
Ma nell'insiemistica c'è una regola di precedenza per le operazioni, nell'ordine di lettura, come per il prodotto rispetto alla somma in algebra?
Certo che si:
è che non è d'importanza capitale quando quelle operazioni sono tutte notoriamente commutative
."jitter":
[quote="theras"] per poter invertire "significativamente" la Proposizione quando sei nell'ipotesi Y⊆X..
Qui intendi: "per poter dire che se la partizione è [...], allora \( Y \subseteq X \)" ?
Non ci avevo pensato. Credevo che si facesse solo un'osservazione sul fatto che, nel caso Y è contenuto in X, allora una delle partizioni di X è $ X = YU (X - Y) $[/quote]
Intendo, per evitare ogni possibile confusione, che sono vere le seguenti Proposizioni:
Se $X,Y$ sono insiemi di natura "qualunque", allora
$1) {Y,X setminus Y}$ è partizione di $X$.
$ 2) Y sube X hArr {(Y uu X )setminus Y,Y}$ è partizione di $X$
(mi pare d'aver capito che t'ha messo in difficoltà una corretta interpretazione della parte sufficiente di quest'ultima,
e spero che ora tu possa aver risolto questo problema.. per l'eventuale dimostrazione d'essa fa pure un fischio,
se vai in ambasce troppo a lungo
).Saluti dal web.
Edit:
il "baco" logico del tuo esempio di prima è proprio che l'insieme $Y$ da te scelto non è contenuto in $X$..
"theras":
per l'eventuale dimostrazione d'essa fa pure un fischio, se vai in ambasce troppo a lungo
In ambasce??? Peggio: sono di bestia
. Credevo di conoscere queste prime nozioni insiemistiche e invece il linguaggio un po' diverso da quello a cui sono abituata mi sta creando difficoltà e sono inchiodata sulle stesse pagine.Provo a ricapitolare il tutto ripartendo dalla citazione esatta del libro (riporto però tutto il paragrafo).
Insieme differenza
Una importante operazione tra insiemi è il complementare o insieme differenza di un insieme Y in un insieme X che denotiamo ...
(ho sottolineato "in" anche se non credo intenda (per adesso) \( Y \subseteq X \) )
... che denotiamo X\Y = { \( x \in X : x \notin Y \) }.
Si ha che X\Y \( \subseteq \) X e che Y \( \cap \) X \ Y = \Phi
Si noti che se \( X \subseteq Y \) allora \( X = Y \cup X-Y \) è una partizione di X e viceversa
Il discorso sulle parentesi penso di essermelo chiarito. Ho sbagliato a pensare alla "precedenza" delle operazioni, perché qui l'unione non è intesa come operazione insiemistica, ma è usata per indicare la partizione: in questo caso Y assieme a X\Y sono una partizione di X e ciò si indica con X = Y U X\Y.
Quindi è giusto che non ci siano parentesi. Forse è proprio da qui che sono nati tutti i dubbi.
A questo punto, chiarito il significato dei simboli, posso affermare che:
1) se \( Y\subseteq X \) allora \( X = Y \cup X-Y \) è una partizione di X.
Dimostrazione:
- Y e X\Y sono disgiunti
- bisogna inoltre verificare che Y U X\Y = X, cioè che Y U X\Y \( \subseteq \) X (a) e che X \( \subseteq \) Y U X\Y (b).
(a) se $z\in$(Y U X\Y), si ha che $z\in$ Y or $z\in X-Y$ cioè $z\in X$, quindi - essendo \( Y\subseteq X \) - $z\in X$.
(b) se $z \in X$, $z \in Y$ o $z \notin Y$. Se $ z\notin Y$, $z \in X-Y$. Quindi $ z\in Y U X-Y$.
2) se \( X = Y \cup X-Y \) è una partizione di X, allora \( Y \subseteq X \) [è questa la condizione necessaria a cui ti riferisci, Theras? ]
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che Y non sia contenuto in X. Allora esiste z tale che $z\in Y$ e $z \notin X$. Se $z \in Y$, $z \in Y U (X - Y) = X$. Ma allora $z \in X$: assurdo.
O.K. ora credo d'aver afferrato meglio sia le tue perplessità che la simbologia da te adottata
(a proposito della quale mi chiedo perché effettivamente non evitare, usando parentesi certo non dannose,
potenziali e tutto sommato legittimi equivoci),e direi che ci sei;
ma io, una volta verificato col criterio della doppia inclusione che $(1)$ $X uu Y=(X setminus Y) uu Y$
(stamane l'ho scritta di fretta e scordato d'unire $Y$ al I° membro, e dunque edito e mi cospargo il capo di cenere ,
ma da quanto hai scritto dopo mi conforto al pensiero che l'uguaglianza senza errori l'hai evinta dal contesto..),
avrei piuttosto detto come
Dim($rArr$).
$Y sube X$ (hp) $rArr X uu Y=X $ (implicazione di "semplice" verifica ) $rArr (X setminus Y) uu Y=X$ (vista la $(1)$) :
pertanto, pure alla luce del fatto da te giustamente notato che $(X setminus Y) nn Y = emptyset $,
potremo dire a norma di definizione che ${X setminus Y,Y}$ è, nell'ipotesi fatta, partizione di $X$ c.v.d.
Dim($lArr$)
$X=(X setminus Y) uu Y$ (hp) $rArr (X uu Y)=X$ (sempre per la $(1)$) $rArr Y sube (X uu Y=)X$ c.v.d.
Saluti dal web.
(a proposito della quale mi chiedo perché effettivamente non evitare, usando parentesi certo non dannose,
potenziali e tutto sommato legittimi equivoci),e direi che ci sei;
ma io, una volta verificato col criterio della doppia inclusione che $(1)$ $X uu Y=(X setminus Y) uu Y$
(stamane l'ho scritta di fretta e scordato d'unire $Y$ al I° membro, e dunque edito e mi cospargo il capo di cenere
,ma da quanto hai scritto dopo mi conforto al pensiero che l'uguaglianza senza errori l'hai evinta dal contesto..),
avrei piuttosto detto come
Dim($rArr$).
$Y sube X$ (hp) $rArr X uu Y=X $ (implicazione di "semplice" verifica ) $rArr (X setminus Y) uu Y=X$ (vista la $(1)$) :
pertanto, pure alla luce del fatto da te giustamente notato che $(X setminus Y) nn Y = emptyset $,
potremo dire a norma di definizione che ${X setminus Y,Y}$ è, nell'ipotesi fatta, partizione di $X$ c.v.d.
Dim($lArr$)
$X=(X setminus Y) uu Y$ (hp) $rArr (X uu Y)=X$ (sempre per la $(1)$) $rArr Y sube (X uu Y=)X$ c.v.d.
Saluti dal web.
Sì è vero, dimostrato così è anche meglio! Più elegante. Ora mi sembra tutto molto chiaro.
Sulla notazione delle parentesi non so, magari un altro non avrebbe frainteso leggendo, o io stessa in un altro momento. È "tipico", ogni tanto, fraitendere qualcosa. O meglio (visto che il linguaggio matematico non è ambuguo), capita di trascurare qualche dettaglio che invece è la chiave di tutto.
In genere quando leggo un libro di matematica (non che ne abbia letti tanti) ricavo dal libro esattamente il suo contenuto.
Invece questo libro è diverso, perché mi sembra voglia aprirti a cose ulteriori, che non sono esplicitate ma che l'autore ti vuole comunque fare intravedere, o magari vedere. La cosa mi intriga, da una parte, perché è mi dà qualcosa di più, dall'altra mi fa venire il nervoso perché non vado avanti con le pagine.
mi sembra il minimo: fossi in te mi unirei a una processione di flagellanti.
Grazie ancora di tutto, Theras!
Sulla notazione delle parentesi non so, magari un altro non avrebbe frainteso leggendo, o io stessa in un altro momento. È "tipico", ogni tanto, fraitendere qualcosa. O meglio (visto che il linguaggio matematico non è ambuguo), capita di trascurare qualche dettaglio che invece è la chiave di tutto.
In genere quando leggo un libro di matematica (non che ne abbia letti tanti) ricavo dal libro esattamente il suo contenuto.
Invece questo libro è diverso, perché mi sembra voglia aprirti a cose ulteriori, che non sono esplicitate ma che l'autore ti vuole comunque fare intravedere, o magari vedere. La cosa mi intriga, da una parte, perché è mi dà qualcosa di più, dall'altra mi fa venire il nervoso perché non vado avanti con le pagine.
"theras":
e dunque edito e mi cospargo il capo di cenere
mi sembra il minimo: fossi in te mi unirei a una processione di flagellanti.
Grazie ancora di tutto, Theras!
"jitter":
Sì è vero, dimostrato così è anche meglio! Più elegante. Ora mi sembra tutto molto chiaro.
Sulla notazione delle parentesi non so, magari un altro non avrebbe frainteso leggendo, o io stessa in un altro momento. È "tipico", ogni tanto, fraitendere qualcosa. O meglio (visto che il linguaggio matematico non è ambuguo), capita di trascurare qualche dettaglio che invece è la chiave di tutto.
In genere quando leggo un libro di matematica (non che ne abbia letti tanti) ricavo dal libro esattamente il suo contenuto.
Invece questo libro è diverso, perché mi sembra voglia aprirti a cose ulteriori, che non sono esplicitate ma che l'autore ti vuole comunque fare intravedere, o magari vedere. La cosa mi intriga, da una parte, perché è mi dà qualcosa di più, dall'altra mi fa venire il nervoso perché non vado avanti con le pagine..
Mah.. sulla questione delle parentesi non sono granché d'accordo,
perché nel caso in questione una cosa è scrivere $(Y uu X) setminus X$, che poi è uguale a $Y setminus X$, un'altra $Y uu (X setminus X)$(ossia $Y$..) o, peggio ancora, $(X uu Y) setminus Y$(cioè $X setminus Y$..);
vero che poi, in quel contesto, s'evince che tra esse l'unica possibile interpretazione coerente al discorso è $Y uu (X setminus Y)$,
ma si viene a creare potenzialmente una confusione di notazione sostanzialmente inutile ed improduttiva
(che, ad esempio, nel mio caso m'ha portato a considerare le più fantasiose ipotesi su tuoi errori di trascrizione,
ed a compierne ulteriori mentre le vagliavo):
in realtà non vorrei che stiamo girando attorno al nulla, e che trattasi d'un semplice caso di "refuso di parentesi"
..Saluti dal web
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