Parte finale di un limite

[MaTeMaTiCa FaN]

Salve a tutti... sto provando a fare un limite da oggi pomeriggio, ma mi blocco alla fine... ora vi scrivo solo la parte finale poi eventualmente se volete vi metto tutta la traccia...
qui è dove mi blocco io... voi come fareste?

[math]\lim_{x \to \0}\\\frac{\frac{x}{3}+x^2}{2x+e^{cosx-1}-cos \\sqrt{x}[/math]

cmq dove c'è quella parantesi graffa avanti al coseno non riesco a toglierla e inoltre la radice è cubica! ah ed x tende a 0+ non sapevo come scriverlo... grazie a chi mi aiuterà.. sono disperata!

[bimbozza]

basta che applichi 2 volte de l'hospital, il limite ti si semplifica in 2 al numeratore e al denominatore ti viene

[math]-cosxe^{cosx-1}+sin^2 x e ^{cosx-1} + \frac {cos x^{1/3}}{6x^{1/3}}[/math]

e quindi, quando calcoli il limite, ti verrà 0

[ciampax]

Sinceramente l'uso del Teorema del Marchese per fare una cosa del genere lo vedo un po' pericoloso (anche da un punto di vista di esame: di solito i matematici preferiscono altre vie!). Quello che conviene fare, a mio parere, è ragionare per confronto di infinitesimi. Dai limiti notevoli si sa che

[math]\cos t\sim 1-\frac{t^2}{2},\qquad e^t\sim 1+t[/math]

questo per

[math]t\to 0[/math]

, dove con

[math]t[/math]

si può intendere anche una funzione di pendente da una variabile differente di modo che

[math]\lim_{x\to a} t(x)=0[/math]

per

[math]a\in\mathbb{R}[/math]

fissato. Detto questo per il denominatore si ha

[math]2x+e^{\cos x-1}-\cos\sqrt[3]{x}\sim 2x+e^{-x^2/2}-1+\frac{x^{2/3}}{2}\sim\\ 2x+1-\frac{x^2}{2}-1+\frac{x^{2/3}}{2}=2x+\frac{x^{2/3}}{2}-\frac{x^{2}}{2}[/math]

pertanto il limite diventa

[math]\lim_{x\to 0^+}\frac{x/3+x^2}{2x+\frac{x^{2/3}}{2}-\frac{x^{2}}{2}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x(1/3+x)}{x^{2/3}(2x^{1/3}+\frac{1}{2}-\frac{x^{4/3}}{2})}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x\cdot 1/3}{x^{2/3}\cdot 1/2}=0[/math]