Parere sul ragionamento di un limite
Allora ho questo limite quì
$ lim_(x -> 0) (cos^2x-1)/(2x) $
Il risultato è = 0
Io ho fatto così:
Ho riscritto $ cos^2x $ come $ 1-sin^2x $ così mi sono ritrovato con:
$ lim_(x -> 0) (-sin^2x)/(2x)$ ho portato il -1 fuori e ho riscritto il limite come
$ -1*lim_(x -> 0) sinx/x*lim_(x -> 0) sinx/2 $ il cui risultato è = 0
E' giusto come ragionamento? Nel caso lo sia si poteva risolvere anche in un altro modo perchè ci ho sbattuto la testa un po con le varie trasformazioni ma questa è l'unica cosa che mi è venuta in mente
$ lim_(x -> 0) (cos^2x-1)/(2x) $
Il risultato è = 0
Io ho fatto così:
Ho riscritto $ cos^2x $ come $ 1-sin^2x $ così mi sono ritrovato con:
$ lim_(x -> 0) (-sin^2x)/(2x)$ ho portato il -1 fuori e ho riscritto il limite come
$ -1*lim_(x -> 0) sinx/x*lim_(x -> 0) sinx/2 $ il cui risultato è = 0
E' giusto come ragionamento? Nel caso lo sia si poteva risolvere anche in un altro modo perchè ci ho sbattuto la testa un po con le varie trasformazioni ma questa è l'unica cosa che mi è venuta in mente
Risposte
Ciao @Bazzaz !
Provo a risponderti. Il tuo ragionamento mi pare assolutamente corretto. Hai sfruttato le regole sull'algebra dei limiti. Per sicurezza sulla teoria attendi pareri più autorevoli del mio
.
Per quanto riguarda strade alternative per la risoluzione di quel limite, sicuramente ci sono: ad esempio, essendo un limite nella forma indeterminata $0/0$ si potrebbe usare De l'Hopital. Se ancora non lo hai studiato esistono, comunque, un altro paio di limiti notevoli che possono tornarti utili in questo caso: $lim_(x->0)(1-cosx)/x=0$, ma non tutti i libri riportano questo limite notevole; oppure anche $lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$.
Vediamolo sfruttando prima l'uno e poi l'altro limite notevole:
$lim_(x->0)(cos^2x-1)/(2x)=lim_(x->0)-(1-cos^2x)/(2x)=lim_(x->0)-1/2*(1-cos^2x)/(x)=lim_(x->0)-1/2*((1-cosx)(1+cosx))/(x)$ dove nella precedente relazione ho usato la differenza di quadrati$->-1/2*2*lim_(x->0)(1-cosx)/x=0$
Usando il secondo limite notevole, invece, si ha:
$lim_(x->0)(cos^2x-1)/(2x)=lim_(x->0)-(1-cos^2x)/(2x)=lim_(x->0)-1/2*(1-cos^2x)/(x)=lim_(x->0)-1/2*((1-cosx)(1+cosx))/(x)=-1/2*2*lim_(x->0)(1-cosx)/x$
e, moltiplicando e dividendo per $x$ in modo da ricondurci al secondo limite notevole (che sicuramente conosci), si ha:
$-1/2*2*lim_(x->0)(1-cosx)/x=-1/2*2*lim_(x->0)((1-cosx)*x)/(x*x)=-1/2*2*lim_(x->0)((1-cosx))/x^2*x=-1/2*2*1/2*lim_(x->0)((1-cosx))/x^2=0$.
Se ti interessa anche lo svolgimento con De l'Hopital chiedi pure.
Spero di esserti stato d'aiuto e, per ulteriori chiarimenti, non esitare a chiedere.
Saluti
Provo a risponderti. Il tuo ragionamento mi pare assolutamente corretto. Hai sfruttato le regole sull'algebra dei limiti. Per sicurezza sulla teoria attendi pareri più autorevoli del mio
.Per quanto riguarda strade alternative per la risoluzione di quel limite, sicuramente ci sono: ad esempio, essendo un limite nella forma indeterminata $0/0$ si potrebbe usare De l'Hopital. Se ancora non lo hai studiato esistono, comunque, un altro paio di limiti notevoli che possono tornarti utili in questo caso: $lim_(x->0)(1-cosx)/x=0$, ma non tutti i libri riportano questo limite notevole; oppure anche $lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$.
Vediamolo sfruttando prima l'uno e poi l'altro limite notevole:
$lim_(x->0)(cos^2x-1)/(2x)=lim_(x->0)-(1-cos^2x)/(2x)=lim_(x->0)-1/2*(1-cos^2x)/(x)=lim_(x->0)-1/2*((1-cosx)(1+cosx))/(x)$ dove nella precedente relazione ho usato la differenza di quadrati$->-1/2*2*lim_(x->0)(1-cosx)/x=0$
Usando il secondo limite notevole, invece, si ha:
$lim_(x->0)(cos^2x-1)/(2x)=lim_(x->0)-(1-cos^2x)/(2x)=lim_(x->0)-1/2*(1-cos^2x)/(x)=lim_(x->0)-1/2*((1-cosx)(1+cosx))/(x)=-1/2*2*lim_(x->0)(1-cosx)/x$
e, moltiplicando e dividendo per $x$ in modo da ricondurci al secondo limite notevole (che sicuramente conosci), si ha:
$-1/2*2*lim_(x->0)(1-cosx)/x=-1/2*2*lim_(x->0)((1-cosx)*x)/(x*x)=-1/2*2*lim_(x->0)((1-cosx))/x^2*x=-1/2*2*1/2*lim_(x->0)((1-cosx))/x^2=0$.
Se ti interessa anche lo svolgimento con De l'Hopital chiedi pure.
Spero di esserti stato d'aiuto e, per ulteriori chiarimenti, non esitare a chiedere.
Saluti
"BayMax":
Ciao @Bazzaz !
Provo a risponderti. Il tuo ragionamento mi pare assolutamente corretto. Hai sfruttato le regole sull'algebra dei limiti. Per sicurezza sulla teoria attendi pareri più autorevoli del mio
Per quanto riguarda strade alternative per la risoluzione di quel limite, sicuramente ci sono: ad esempio, essendo un limite nella forma indeterminata $0/0$ si potrebbe usare De l'Hopital. Se ancora non lo hai studiato esistono, comunque, un altro paio di limiti notevoli che possono tornarti utili in questo caso: $lim_(x->0)(1-cosx)/x=0$, ma non tutti i libri riportano questo limite notevole; oppure anche $lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$.
Vediamolo sfruttando prima l'uno e poi l'altro limite notevole:
$lim_(x->0)(cos^2x-1)/(2x)=lim_(x->0)-(1-cos^2x)/(2x)=lim_(x->0)-1/2*(1-cos^2x)/(x)=lim_(x->0)-1/2*((1-cosx)(1+cosx))/(x)$ dove nella precedente relazione ho usato la differenza di quadrati$->-1/2*2*lim_(x->0)(1-cosx)/x=0$
Usando il secondo limite notevole, invece, si ha:
$lim_(x->0)(cos^2x-1)/(2x)=lim_(x->0)-(1-cos^2x)/(2x)=lim_(x->0)-1/2*(1-cos^2x)/(x)=lim_(x->0)-1/2*((1-cosx)(1+cosx))/(x)=-1/2*2*lim_(x->0)(1-cosx)/x$
e, moltiplicando e dividendo per $x$ in modo da ricondurci al secondo limite notevole (che sicuramente conosci), si ha:
$-1/2*2*lim_(x->0)(1-cosx)/x=-1/2*2*lim_(x->0)((1-cosx)*x)/(x*x)=-1/2*2*lim_(x->0)((1-cosx))/x^2*x=-1/2*2*1/2*lim_(x->0)((1-cosx))/x^2=0$.
Se ti interessa anche lo svolgimento con De l'Hopital chiedi pure.
Spero di esserti stato d'aiuto e, per ulteriori chiarimenti, non esitare a chiedere.
Saluti
Grazie per le alternative , avevo provato a fare una cosa simile ma non ero sicuro se si potesse portare o meno fuori l' $ 1/2$ del denominatore quindi mi ero bloccato un passaggio prima , non ho ancora studiato Del'Hopital magari provo a farlo una volta che l'ho studiato e se non riesco ti mando un messaggio
Non serve quotare un lungo messaggio per aggiungere 2 righe. Puoi scriverle direttamente.
Il teorema di De L'Hopital è uno strumento potente, ma in questo caso direi che è come usare un mitra per uccidere una mosca.
Il teorema di De L'Hopital è uno strumento potente, ma in questo caso direi che è come usare un mitra per uccidere una mosca.
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