Parere su verifica scientifico V° anno.
Buongiorno a tutti,
vorrei un parere su una verifica di quinta scientifico che è stata assegnata alla mia classe. Il tempo era formalmente di 1,50h + 10 minuti di intervallo.
(mi scuso per i testi dei problemi, ma ho usato solo la memoria per trascriverli.. spero che riusciate a capire e non ci siano errore)
1) E' data una semicirconferenza di diametro 2. Si costruisca un triangolo inscritto, ABC, dove C è posto sulla circonferenza. Si tracci il segmento AK altezza relativa al cateto CB, e CH relativa all'ipotenusa . Verificare che la funzione y=sen2x(1+cosx) descrive la somma dei segmenti CH+CK. Studiare e rappresentare graficamente la funzione. Individuare la grandezza massima di tali segmenti.
2) Data la funzione ax^3+bx^2+c / (x^2-1), determinare i parametri in modo che si abbia un estremante in -3^(1/2) e un flesso in (0;3). Studiare e rappresentare la funzione ottenuta.
3) Studiare la funzione (e^x)[(x^2+3)^(2/3)] e rappresentarla graficamente.
Secondo voi è fattibile finirla interamente in quel tempo? E la difficoltà è confacente alle abilità di un ragazzo di quinta liceo?
Io sinceramente non mi ritengo un genio in matematica, ma la capisco perfettamente. Infatti non ho avuto difficoltà a impostare i problemi. Ma lo studio era davvero complesso e con calcoli impossibili.. Già le derivate prime erano lunghissime e spesso non era sufficiente neppure ruffini per le scomposizioni ma bisognava usare medoti grafici. Inoltre nell'ultima venivano ad occhio una cuspide, probabilmente un flesso e a dire il vero ho avuto difficoltà coi limiti. Ma non sono riuscito a finire.. Era impensabile la derivate seconda!
Più che altro mi rendo conto che i problemi della seconda prova sono più semplici...
Grazie mille a tutti coloro che risponderanno.
(preciso che non mi interessa la soluzione, a parte l'ultimo se qualcuno avesse tempo e voglia, perchè le altre ho capito come farle, quanto un parere sulla difficoltà..)
vorrei un parere su una verifica di quinta scientifico che è stata assegnata alla mia classe. Il tempo era formalmente di 1,50h + 10 minuti di intervallo.
(mi scuso per i testi dei problemi, ma ho usato solo la memoria per trascriverli.. spero che riusciate a capire e non ci siano errore)
1) E' data una semicirconferenza di diametro 2. Si costruisca un triangolo inscritto, ABC, dove C è posto sulla circonferenza. Si tracci il segmento AK altezza relativa al cateto CB, e CH relativa all'ipotenusa . Verificare che la funzione y=sen2x(1+cosx) descrive la somma dei segmenti CH+CK. Studiare e rappresentare graficamente la funzione. Individuare la grandezza massima di tali segmenti.
2) Data la funzione ax^3+bx^2+c / (x^2-1), determinare i parametri in modo che si abbia un estremante in -3^(1/2) e un flesso in (0;3). Studiare e rappresentare la funzione ottenuta.
3) Studiare la funzione (e^x)[(x^2+3)^(2/3)] e rappresentarla graficamente.
Secondo voi è fattibile finirla interamente in quel tempo? E la difficoltà è confacente alle abilità di un ragazzo di quinta liceo?
Io sinceramente non mi ritengo un genio in matematica, ma la capisco perfettamente. Infatti non ho avuto difficoltà a impostare i problemi. Ma lo studio era davvero complesso e con calcoli impossibili.. Già le derivate prime erano lunghissime e spesso non era sufficiente neppure ruffini per le scomposizioni ma bisognava usare medoti grafici. Inoltre nell'ultima venivano ad occhio una cuspide, probabilmente un flesso e a dire il vero ho avuto difficoltà coi limiti. Ma non sono riuscito a finire.. Era impensabile la derivate seconda!
Più che altro mi rendo conto che i problemi della seconda prova sono più semplici...
Grazie mille a tutti coloro che risponderanno.
(preciso che non mi interessa la soluzione, a parte l'ultimo se qualcuno avesse tempo e voglia, perchè le altre ho capito come farle, quanto un parere sulla difficoltà..)
Risposte
A mio avviso si, ovviamente se i concetti sono stati "assorbiti" nella maniera opportuna e non mnemonica.
Ho provato a svolgere il tuo compito in classe, cronometrandone il tempo, ma ho dovuto fermarmi quasi subito perché il testo era molto oscuro, quasi certamente perché non lo ricordavi bene.
1) Cos'è K? L'altezza relativa ad un cateto è l'altro cateto, quindi K coinciderebbe con C. E cosa chiami x?
2) La formula è
$y=ax^3 +bx^2+c/(x^2-1)$ oppure $y=(ax^3 +bx^2+c)/(x^2-1)" "$ ?
Nel dubbio, non ho provato i calcoli.
3) Se la formula è veramente
$y=e^x(x^2+3)^(2/3)$
la funzione è sempre positiva e sempre crescente; i limiti si calcolano a mente ricordando che l'esponenziale prevale sulle potenze e non ci sono cuspidi.
Nel complesso direi che il grado di difficoltà è confacente alle abilità di un ragazzo di quinta liceo e che gli unici calcoli lunghetti sono quelli per le derivate seconde (con una possibile eccezione per il 2, in cui non ho provato i calcoli). Escludendo queste ultime, il compito mi sembra fattibile in un'ora circa e forse anche meno.
Approfitto di questa risposta per darti il benvenuto nel forum.
1) Cos'è K? L'altezza relativa ad un cateto è l'altro cateto, quindi K coinciderebbe con C. E cosa chiami x?
2) La formula è
$y=ax^3 +bx^2+c/(x^2-1)$ oppure $y=(ax^3 +bx^2+c)/(x^2-1)" "$ ?
Nel dubbio, non ho provato i calcoli.
3) Se la formula è veramente
$y=e^x(x^2+3)^(2/3)$
la funzione è sempre positiva e sempre crescente; i limiti si calcolano a mente ricordando che l'esponenziale prevale sulle potenze e non ci sono cuspidi.
Nel complesso direi che il grado di difficoltà è confacente alle abilità di un ragazzo di quinta liceo e che gli unici calcoli lunghetti sono quelli per le derivate seconde (con una possibile eccezione per il 2, in cui non ho provato i calcoli). Escludendo queste ultime, il compito mi sembra fattibile in un'ora circa e forse anche meno.
Approfitto di questa risposta per darti il benvenuto nel forum.
Ciao, innanzitutto ti ringrazio per la cortesia e per il benvenuto 
Ti riporto il primo problema come da verifica:
In una circonferenza è inscritto un triangolo ABC avente base AB=2. Si tracci l'altezza CH e sia K la proiezione del punto H sul lato BC. a) determinare la funzione f(x) che esprime la somma di CH+CK in funzione dell'angolo BAC=x. b) Verificato che la funzione è y=sen2x(1-cosx) studiarla e rappresentarla graficamente. c) Determinare il massimo valore della somma di tali segmenti.
2) E' il secondo caso.
3) No perdonami, nella radice cubica c'è (x+3)^2. In questo caso, se non erro, nel punto x=-3 dovrebbe esserci una cuspide. Per quanto concerne i limiti, sapresti per cortesia indicarmi qualche topic che parla di quel "metodo" ? A scuola non l'abbiamo affrontato, a meno che sia il confronto tra infiniti/infinitesimi.
In tutte le funzioni comunque tu consiglieresti di tralasciare lo studio della derivata seconda?
Grazie ancora.
Ti riporto il primo problema come da verifica:
In una circonferenza è inscritto un triangolo ABC avente base AB=2. Si tracci l'altezza CH e sia K la proiezione del punto H sul lato BC. a) determinare la funzione f(x) che esprime la somma di CH+CK in funzione dell'angolo BAC=x. b) Verificato che la funzione è y=sen2x(1-cosx) studiarla e rappresentarla graficamente. c) Determinare il massimo valore della somma di tali segmenti.
2) E' il secondo caso.
3) No perdonami, nella radice cubica c'è (x+3)^2. In questo caso, se non erro, nel punto x=-3 dovrebbe esserci una cuspide. Per quanto concerne i limiti, sapresti per cortesia indicarmi qualche topic che parla di quel "metodo" ? A scuola non l'abbiamo affrontato, a meno che sia il confronto tra infiniti/infinitesimi.
In tutte le funzioni comunque tu consiglieresti di tralasciare lo studio della derivata seconda?
Grazie ancora.
In genere io calcolo la derivata seconda solo quando lo ritengo necessario e nel tuo esercizio 2 lo era perché un dato è il flesso; negli altri casi la salterei.
Non ho avuto la pazienza di svolgere tutto il compito; ti scrivo le mie conclusioni anche se parziali.
1) L'ho svolto in 25 minuti. La difficoltà era data da angoli non speciali, ma bastava usare la calcolatrice. Un'abbreviazione si ottiene disegnando il grafico nel solo dominio del problema, cioè nell'intervallo $0<=x<=pi/2$.
2) I dati forniti non funzionano: si ricava $b=3; c=-3$ ma $a$ può avere qualsiasi valore. Comunque (io non l'ho fatto) si può studiare la funzione
$y=x^3/(x^2-1)$
e poi dire che quella data, cioè
$y=ax^3/(x^2-1)+3$
si ottiene da quella iniziale dilatando le $y$ di un fattore $a$ e poi traslando di $3$.
3) A stretto rigore di termini, non c'è una cuspide: quando l'esponente è un numero positivo ma non intero, la matematica afferma che la base deve essere positiva o nulla e ne consegue che il dominio è $x>=-3$.
C'è invece una cuspide se quella scritta viene intesa nel senso di
$y=e^xroot(3)((x+3)^2)$
Ho fatto i calcoli in questa seconda ipotesi e sono molto facili, anche se è indispensabile la calcolatrice per calcolare le $y$. Non avevo voglia di usarla ed ho fatto il grafico inventandomele; in tutto mi ci sono voluti circa 15 minuti.
Per quanto riguarda i limiti, è proprio il confronto tra infiniti/infinitesimi.
Non ho avuto la pazienza di svolgere tutto il compito; ti scrivo le mie conclusioni anche se parziali.
1) L'ho svolto in 25 minuti. La difficoltà era data da angoli non speciali, ma bastava usare la calcolatrice. Un'abbreviazione si ottiene disegnando il grafico nel solo dominio del problema, cioè nell'intervallo $0<=x<=pi/2$.
2) I dati forniti non funzionano: si ricava $b=3; c=-3$ ma $a$ può avere qualsiasi valore. Comunque (io non l'ho fatto) si può studiare la funzione
$y=x^3/(x^2-1)$
e poi dire che quella data, cioè
$y=ax^3/(x^2-1)+3$
si ottiene da quella iniziale dilatando le $y$ di un fattore $a$ e poi traslando di $3$.
3) A stretto rigore di termini, non c'è una cuspide: quando l'esponente è un numero positivo ma non intero, la matematica afferma che la base deve essere positiva o nulla e ne consegue che il dominio è $x>=-3$.
C'è invece una cuspide se quella scritta viene intesa nel senso di
$y=e^xroot(3)((x+3)^2)$
Ho fatto i calcoli in questa seconda ipotesi e sono molto facili, anche se è indispensabile la calcolatrice per calcolare le $y$. Non avevo voglia di usarla ed ho fatto il grafico inventandomele; in tutto mi ci sono voluti circa 15 minuti.
Per quanto riguarda i limiti, è proprio il confronto tra infiniti/infinitesimi.
Ciao, mi potresti spiegare la differenza tra la radice cubica e un numero elevato a (2/3) ? Non sono la stessa cosa? Non capisco perchè con una venga una cuspide e l'altra no 
Con base positiva sono la stessa cosa; cambiano però le restrizioni con cui si possono usare i due simboli e può capitare che una delle due cose abbia senso matematico e l'altra no. Sono uguali solo se entrambe hanno senso (vedi anche la nota in fondo).
Per le radici la restrizione è che l'indice di radice sia un numero naturale; se questo indice è pari il radicando deve essere positivo o nullo. Ho visto un autore usare una regola diversa (anche con indice dispari il radicando non deve essere negativo), ma quella che ti ho scritto è la più comune.
Per gli esponenti invece si hanno tre casi:
- con base positiva, l'esponente può essere un qualsiasi reale;
- con base nulla, l'esponente può essere un qualsiasi reale positivo;
- con base negativa, l'esponente può essere solo un numero intero con segno qualsiasi.
Calcolatori e calcolatrici fanno qualche eccezione all'ultima riga allo scopo di facilitare i calcoli.
NOTA
Scriviamo $sqrtx*sqrtx=sqrt(x^2)$ ma i due membri non dicono la stessa cosa: il primo esiste solo per $x>=0$ mentre il secondo esiste sempre. Se però esistono tutte le cose indicate, allora i due membri sono uguali.
Per le radici la restrizione è che l'indice di radice sia un numero naturale; se questo indice è pari il radicando deve essere positivo o nullo. Ho visto un autore usare una regola diversa (anche con indice dispari il radicando non deve essere negativo), ma quella che ti ho scritto è la più comune.
Per gli esponenti invece si hanno tre casi:
- con base positiva, l'esponente può essere un qualsiasi reale;
- con base nulla, l'esponente può essere un qualsiasi reale positivo;
- con base negativa, l'esponente può essere solo un numero intero con segno qualsiasi.
Calcolatori e calcolatrici fanno qualche eccezione all'ultima riga allo scopo di facilitare i calcoli.
NOTA
Scriviamo $sqrtx*sqrtx=sqrt(x^2)$ ma i due membri non dicono la stessa cosa: il primo esiste solo per $x>=0$ mentre il secondo esiste sempre. Se però esistono tutte le cose indicate, allora i due membri sono uguali.
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