Parametro per massimo e minimo relativo
salve a tutti, ho un problema con questo esercizio.
data f(x)=$y=(x+a)/sqrt(x^2-1)$ determinare a affinchè
1) la funzione non ammette nè massimi nè minimi relativi (per $a<=-1; a=0;a>=1$)
2) ammette un massimo o un minimo relativi (M per $0
allora per prima cosa ho calcolato il dominio che risulta essere x<-1 e x>1.
poi ho calcolato la derivata: $(-1-ax)/(sqrt(x^2-1)(x^2-1)$.
ora come si procede?avevo pensato di annullare la derivata
mi aiutate?grazie in anticipo
data f(x)=$y=(x+a)/sqrt(x^2-1)$ determinare a affinchè
1) la funzione non ammette nè massimi nè minimi relativi (per $a<=-1; a=0;a>=1$)
2) ammette un massimo o un minimo relativi (M per $0
allora per prima cosa ho calcolato il dominio che risulta essere x<-1 e x>1.
poi ho calcolato la derivata: $(-1-ax)/(sqrt(x^2-1)(x^2-1)$.
ora come si procede?avevo pensato di annullare la derivata
mi aiutate?grazie in anticipo
Risposte
Osserverei che la derivata si annulla se
$-1-ax=0$
cioè
$x=-1/a$
Ma le limitazioni del dominio mi dicono che $x<-1$ e $x>1$
perciò se la funzione ha un estremo relativo in $-1/a$, questo valore di ascissa dovrà essere
$-1/a<-1$
oppure
$-1/a>1$
La prima restituisce
$0
$-1
Da ciò si può vedere che punti a derivata nulla esistono se il parametro $a$ rispetta quelle condizioni.
Trai le conclusioni
Spero sia tutto giusto,
ciao.
$-1-ax=0$
cioè
$x=-1/a$
Ma le limitazioni del dominio mi dicono che $x<-1$ e $x>1$
perciò se la funzione ha un estremo relativo in $-1/a$, questo valore di ascissa dovrà essere
$-1/a<-1$
oppure
$-1/a>1$
La prima restituisce
$0
$-1
Da ciò si può vedere che punti a derivata nulla esistono se il parametro $a$ rispetta quelle condizioni.
Trai le conclusioni
Spero sia tutto giusto,
ciao.
La derivata si annulla per $x=-1/a$ solo se $a!=0$ ed appartiene al dominio della funzione solo se $-1
$a<=-1$; $-1=1$
Il denominatore della derivata è sempre positivo (per il dominio), quindi per studiare il segno della derivata basta studiare il segno del numeratore. $-1-ax>=0$
Se $a<=-1$ si ottiene $-ax>=1=>x>=-1/a$, ma $-1/a$ è fuori dal dominio quindi la funzione è decrescente per $x<-1$ e crescente per $x>1$, ma non presenta massimi o minimi
Se $-1=-1/a$, la derivata cambia segno in $-1/a$ che appartiene al dominio ed è positivo, quindi la funzione è decrescente per $x<-1$ e per $1-1/a$, presenta un minimo in $-1/a$
Se $a=0$ il numeratore diventa $-1$ ed è sempre negativo, la derivata è sempre negativa, la funzione è decrescente per $x<-1 vv x>1$
Se $0=1=>x<=-1/a$, la derivata cambia segno in $-1/a$ che appartiene al dominio ed è negativo, quindi la funzione è crescente per $x<-1/a$ e decrescente per $-1/a1$, presenta un massimo in $-1/a$
Se $a>=1$ si ottiene $x<=-1/a$, ma $-1/a$ è fuori dal dominio quindi la funzione è crescente per $x<-1$ e decrescente per $x>1$, ma non presenta massimi o minimi
$a<=-1$; $-1
Il denominatore della derivata è sempre positivo (per il dominio), quindi per studiare il segno della derivata basta studiare il segno del numeratore. $-1-ax>=0$
Se $a<=-1$ si ottiene $-ax>=1=>x>=-1/a$, ma $-1/a$ è fuori dal dominio quindi la funzione è decrescente per $x<-1$ e crescente per $x>1$, ma non presenta massimi o minimi
Se $-1
Se $a=0$ il numeratore diventa $-1$ ed è sempre negativo, la derivata è sempre negativa, la funzione è decrescente per $x<-1 vv x>1$
Se $0
Se $a>=1$ si ottiene $x<=-1/a$, ma $-1/a$ è fuori dal dominio quindi la funzione è crescente per $x<-1$ e decrescente per $x>1$, ma non presenta massimi o minimi
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