Parametro e valore assoluto

[melania.att]

Buonasera a tutti!
Stavo cercando di risolvere questo esercizio ma ho problemi con il punto d.

Ho posto:
$ln(|x|/(1+|x|^2))=k$
$ln(|x|/(1+x^2))=k$
Sicuramente $k<0$ perché $f(|x|) è negativa. Da qui in poi non so davvero cosa fare.
Grazie in anticipo per l'aiuto

[gugo82]

Guarda il grafico, altrimenti che l'hai tracciato a fare?

Traccia il grafico:
[asvg]xmin=-6;xmax=6;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("log(x/(1 + x^2))", 0, 7); plot("log(-x/(1 + x^2))", -7, 0);[/asvg]
poi immagina le rette del fascio improprio di equazione $y=k$ (dove $k$ non è quello dell'inizio dell'esercizio, ovviamente, ma un nuovo parametro):

[*:2cazqmby] se $k >= 0$, le rette del fascio passano nel primo e secondo quadrante e non intersecano il grafico di $f(|x|)$, quindi l'equazione $f(|x|)= k$ non ha soluzioni:
[asvg]xmin=-6;xmax=6;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("log(x/(1 + x^2))", 0, 7); plot("log(-x/(1 + x^2))", -7, 0);
stroke="blue"; plot("2.25",-7,7);[/asvg]

[/*:m:2cazqmby]
[*:2cazqmby] allo stesso modo, se $k<0$ e $k> \max f(|x|) = - ln 2$, le rette del fascio -pur passando per il terzo ed il quarto quadrante- non intersecano il grafico di $f(|x|)$, quindi $f(|x|) = k$ non ha soluzioni:
[asvg]xmin=-6;xmax=6;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("log(x/(1 + x^2))", 0, 7); plot("log(-x/(1 + x^2))", -7, 0);
stroke="blue"; plot("-0.3",-7,7);[/asvg]

[/*:m:2cazqmby]
[*:2cazqmby] se $k=-ln 2 ~~-0.693$, la retta $y=k$ interseca il grafico di $f(|x|)$ nei due punti di massimo assoluto, quindi l'equazione $f(|x|) = k$ ha due soluzioni (o quattro, se contate con la loro molteplicità[nota]Ricorda: si dice che $c$ è una soluzione doppia (o di molteplicità $2$) di un'equazione $F(x) = 0$ se e solo se $F(c) = 0$ e $F^{\prime}(c) = 0$ (cioè se $c$ annulla il primo membro e anche la sua derivata).
Allo stesso modo, si dice che $c$ è una soluzione tripla (o di molteplicità $3$) di un'equazione $F(x)=0$ se e solo se $F(c)=0$, $F^{\prime} (c) =0$ e $F'' (c) = 0$. Etc...[/nota]), cioè $x=+- 1$ (le ascisse dei punti di massimo):
[asvg]xmin=-6;xmax=6;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("log(x/(1 + x^2))", 0, 7); plot("log(-x/(1 + x^2))", -7, 0);
stroke="dodgerblue"; plot("-0.693",-7,7);[/asvg]

[/*:m:2cazqmby]
[*:2cazqmby] infine, se $k<-ln 2$, la retta $y=k$ interseca il grafico di $f(|x|)$ in quattro punti distinti, quindi l'equazione $f(|x|) = k$ ha quattro soluzioni distinte (cioè le ascisse dei quattro punti di intersezione):
[asvg]xmin=-6;xmax=6;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("log(x/(1 + x^2))", 0, 7); plot("log(-x/(1 + x^2))", -7, 0);
stroke="cyan"; plot("-1.7",-7,7);[/asvg]
e, se chiami $x_1(k) < x_2(k) < x_3(k) < x_4(k)$ le soluzioni dell'equazione (le quali dipendono ovviamente dalla scelta del parametro $k$), puoi pure dire che $x_1(k) = -x_4(k)$ e $x_2(k) = -x_3(k)$ (per parità) e che:

$lim_(k -> -oo) x_3(k) = 0^+$ e $lim_(k -> -oo) x_4(k) = +oo$

cosicché pure $lim_(k -> -oo) x_2(k) = 0^-$ e $lim_(k -> -oo) x_1(k) = -oo$.[/*:m:2cazqmby][/list:u:2cazqmby]

[giammaria2]

Complimenti a gugo82 per aver capito che "k non è quello dell'inizio dell'esercizio, ovviamente, ma un nuovo parametro"! Io non lo avevo capito, ed allora il problema risultava impossibile. Ma non potevano usare lettere diverse?

[melania.att]

Adesso è chiarissimo. Grazie mille per la spiegazione

[gugo82]

"giammaria":Complimenti a gugo82 per aver capito che "k non è quello dell'inizio dell'esercizio, ovviamente, ma un nuovo parametro"!

Grazie.
Ma doveva per forza essere così, altrimenti la cosa non avrebbe avuto granché senso.

"giammaria":Ma non potevano usare lettere diverse?

A volte taglierei la testa ai revisori delle bozze dei testi... Ma molte volte anche agli autori.