Parallelogrammi e dimostrazioni

[Marco241]

Dimostrare che in un parallelogrammo la diagonale che congiunge i vertici degli angoli acuti è maggiore dell'altra.

DIMOSTRAZIONE:

HP:ABCD è un parallelogrammo

TH:DB>AC

Partendo da A e procedendo verso destra in senso orario traccio il parallelogramma ABCD.

Traccio le diagonali e noto:


$ hat(ACD)
$ hat(BDC)
Sommo membro a membro e dopo una serie di calcoli giungo alla seguente disequazione

$ hat(ADC)+hat(ACD)+hat(BDC)
Insomma dovrei arrivare a dimostrare che BCD è il massimo angolo nel triangolo BDC e che è maggiore di tutti gli angoli nel triangolo ADC...Ma non so se sono sulla strada giusta...

[giannirecanati]

Ciao Marco24. Secondo me sommare gli angoli non è la vera strada da seguire.
Chiamo A e C i vertici degli angoli acuti. Tracciamo quindi le diagonali DB ed AC. Considera il triangolo ABC che ha la diagonale AC che si affaccia all'angolo ottuso in B e il triangolo DAB che ha la diagonale DB. I due triangoli hanno il lato AB in comune e i lati DA e BC congruenti per le proprietà del parallelogramma. Un teorema afferma che se due triangoli hanno due lati rispettivamente congruenti, allora più grande è l'angolo che vede il terzo lato e maggiore è quest'ultimo. Siccome per ipotesi l'angolo A è acuto e l'angolo B è ottuso, necessariamente AC>BD.

[Marco241]

Ciao Gianni.

Lo sai che quel teorema non me lo ricordavo?Avevo notato quel particolare ma non mi ricordavo il teorema.Grazie!