Parabole, dimostrazioni

[Дэвид1]

Salve a tutti.
Prendendo la parabola:
\[
\gamma:\, y=x^2
\]
Disegnamola e troviamo qualche punto di $y$:
\[1, 4, 9, 16...\]
Ho notato come il numero meno il precedente sia sempre dispari (facciamo in $\mathbb{N}$) .
Volevo dimostrarlo.
Allora diciamo quindi che questo significa che:
\[
\left|x^2-(x-1)^2\right|=\text{dispari}\quad\quad\forall x\in \mathbb{N}
\]
Il modulo è per includere 0.
Come potrei dimostrarlo?
Il mio tentativo oggi in classe è stato:
Provo con $0$:
\[
\left|0^2-(0-1)^2\right|=1\rightarrow \text{dispari}
\]
Provo con $1$:
\[
\left|1^2-(1-1)^2\right|=1\rightarrow \text{dispari}
\]
Provo con $2$:
\[
\left|2^2-(2-1)^2\right|=3\rightarrow \text{dispari}
\]
Sarebbe corretta come induzione? Perchè questo succede?

[axpgn]

Perché la somma dei primi $n$ numeri dispari è $n^2$ ...

$1\ =>\ 1^2=1$
$1+3\ =>\ 2^2=4$
$1+3+5\ =>\ 3^2=9$
$1+3+5+...\ =>\ ...^2=...$

L'hai presa al contrario ...

Cordialmente, Alex

[Palliit]

"Дэвид":Sarebbe corretta come induzione?

no, sono tre esempi.

In alternativa a quanto scritto da axpgn, puoi metterla in questi termini: la differenza tra i quadrati di due numeri naturali consecutivi, $n$ ed $n+1$, vale:

$(n+1)^2-n^2=(n^2+2n+1)-n^2=2n+1$,

che è evidentemente dispari per $forall n in NN$.

[Дэвид1]

Uh simpatico! Grazie mille delle risposte. Mi è molto piaciuta la dimostrazioncina che sviluppa e semplifica
Ho capito, lascio stare l'induzione che l'ho già dimenticata...

[mazzarri1]

In questo caso la risposta di pallit è perfetta, meglio non usare induzione ma dimostrare direttamente
a volte invece per induzione è meglio quindi imparala... sarebbe in due tempi

1) dimostri il tuo teorema per n=0
2) dato per buono per un n qualsiasi... dimostri che il teorema è valido per n+1!!

fatti i due step hai dimostrato che è valido per n=0,1,2,3,4... qualsiasi... quindi è dimostrato

[vict85]

"Дэвид":Uh simpatico! Grazie mille delle risposte. Mi è molto piaciuta la dimostrazioncina che sviluppa e semplifica
Ho capito, lascio stare l'induzione che l'ho già dimenticata...

L'induzione non la devi lasciare stare. Magari per questo problema era più difficile, ma la dimostrazione per induzione è qualcosa che è importante da conoscere e sapere usare bene. E siccome hai dimostrato di non averla capita a fondo, è qualcosa su cui dovresti lavorare.

Il caso base \(\displaystyle n = 0 \) l'hai dimostrato: \(\displaystyle \lvert 0 - 1\rvert = 1 \)

Ora supponi che la proprietà valga fino a \(\displaystyle n \). Per usare l'induzione dovresti cercare di scrivere \(\displaystyle \lvert (n+1)^2 - n^2 \rvert \) come somma di \(\displaystyle \lvert n^2 - (n - 1)^2 \rvert \) con un numero pari. Non è troppo difficile:
\(\displaystyle \lvert n^2 + 2n + 1 - n^2\rvert = \lvert n^2 - (n^2 - 2n + 1) +2 \rvert = \lvert n^2 - (n-1)^2 +2 \rvert \)
Nota che essendo \(\displaystyle n>0 \) puoi omettere il valore assoluto (il caso \(\displaystyle n<0 \) lo ricavi per simmetria).

[axpgn]

Premesso che formalmente quello che ha dimostrato Pallit è qualcosa di leggermente diverso da quello che ho postato io ... , vorrei solo aggiungere che questo è un classico come esempio per l'uso del principio di induzione (e vict85 fa molto bene a rimarcarne l'importanza)

... tra i tanti modi per dimostrarlo uno è il seguente ...