Parabole che si intersecano
Date le due parabole generiche , ad assi perpendicolari,di
equazioni:
y=ax^2+bx+c
x=my^2+ny+p
dimostrare che esse s'intersecano (in generale) in 4 punti
che sono conciclici.
karl.
equazioni:
y=ax^2+bx+c
x=my^2+ny+p
dimostrare che esse s'intersecano (in generale) in 4 punti
che sono conciclici.
karl.
Risposte
citazione:
DUE CONICHE,AD ASSI PERPENDICOLARI E A COEFFICIENTI
QUALUNQUE,S'INTERSECANO SEMPRE IN 4 PUNTI CHE APPARTENGONO
AD UNA STESSA CIRCONFERENZA.
"IN GENERALE" NON VUOL DIRE,COME PENSI TU,A COEFFICIENTI
COMPLESSI,MA CHE IN QUALCHE CASO I PUNTI D'INTERSEZIONE
POSSONO ESSERE MENO DI 4!
Due parabole con assi perpendicolari possono non intersecarsi, come nell'esempio di Pachito. Il problema è che la circonferenza nel tuo fascio di coniche può avere raggio immaginario se i coefficienti soddisfano una certa disuguaglianza. In quei casi la "circonferenza" in realtà è l'insieme vuoto, quindi le parabole non hanno punti in comune. E non si tratta di "qualche caso", ma di un sottoinsieme "sostanzioso" dello spazio dei parametri (un insieme di ipervolume infinito se si considerano a,b,c,m,n e p come coordinate).
In ogni caso, bel problema e bella soluzione

Amen!
Ringrazio Abell per l'apprezzamento,tuttavia
faccio ancora riferimento al termine "IN GENERALE"
perche' anche io mi ero posto il problema della
realta' o meno del raggio della circonferenza in questione
(o della sua nullita').E' noto a tutti che le condizioni perche'
un'equazione di secondo grado ,in due incognite,rappresenti
una circonferenza sono due:una eguaglianza ed una diseguaglianza.
Avevo semplificato la cosa usando quel termine che
non ripeto piu' per non annoiarvi ancora.
Saluti da karl.
faccio ancora riferimento al termine "IN GENERALE"
perche' anche io mi ero posto il problema della
realta' o meno del raggio della circonferenza in questione
(o della sua nullita').E' noto a tutti che le condizioni perche'
un'equazione di secondo grado ,in due incognite,rappresenti
una circonferenza sono due:una eguaglianza ed una diseguaglianza.
Avevo semplificato la cosa usando quel termine che
non ripeto piu' per non annoiarvi ancora.
Saluti da karl.
Credo che ci sia stato solo un fraintendimento di parole.
Ciao
Ciao
*quote:
Date le due parabole generiche , ad assi perpendicolari,di
equazioni:
y=ax^2+bx+c
x=my^2+ny+p
dimostrare che esse s'intersecano (in generale) in 4 punti
che sono conciclici.
mi ero distratto con gli scherzi e avevo dimenticato il problema.
ecco, in ritardo, un mio sintetico punto di vista che non so quanto sia valido.
senza sacrificare la generalità consideriamo due parabole con assi
coincidenti con gli assi cartesiani, cioè quelle di equazione:
2
y = a*x + b [1]
e
2
x = c*y + d [2]
sommandole (dopo averle normalizzate dividendole rispettivamente
per a e per c), abbiamo l'equaz. di una curva che contiene i punti
d'intersezione delle due parabole:
2 2
x - x/c + y - y/a + b/a + d/c = 0 [3]
questa è chiaramente l'equaz. di un cerchio.
q.e.d.
tony
*Edited by - tony on 21/02/2004 01:29:34
Si. E' essenzialmente come quella di Karl che però è più raffinata.
Hai provato a risolvere il quesito che avevo proposto successivamente?
Hai provato a risolvere il quesito che avevo proposto successivamente?
Per Paquito.
Non riesco a trovare il tuo problema:dov'e'?
Ciao.
karl.
Non riesco a trovare il tuo problema:dov'e'?
Ciao.
karl.
A) - forse un vecchio post di Pachito può essere interpretato come richiesta
di discussione sulla realtà del raggio; il raggio del "mio cerchio" mi sembra
sqrt[(a^2+c^2 -4a*b*c^2 -4*a^2*c*d)/(4*a^2*c^2)]
e il radicando negativo corrisponde ai cerchi "inesistenti" lamentati da alcuni in questo topic.
B) - divertente il fatto che le coordin. del centro dei cerchi (risp. 1/2c e 1/2a)
siano sempre al doppio della dist. focale delle parabole, indipendentemente
dal fatto che i raggi siano reali.
C) - karl, non dici se la mia rozza dimostraz. è valida o no.
tony
*Edited by - tony on 22/02/2004 19:17:41
di discussione sulla realtà del raggio; il raggio del "mio cerchio" mi sembra
sqrt[(a^2+c^2 -4a*b*c^2 -4*a^2*c*d)/(4*a^2*c^2)]
e il radicando negativo corrisponde ai cerchi "inesistenti" lamentati da alcuni in questo topic.
B) - divertente il fatto che le coordin. del centro dei cerchi (risp. 1/2c e 1/2a)
siano sempre al doppio della dist. focale delle parabole, indipendentemente
dal fatto che i raggi siano reali.
C) - karl, non dici se la mia rozza dimostraz. è valida o no.
tony
*Edited by - tony on 22/02/2004 19:17:41
Per Tony.
In matematica,a volte,quello che conta e' il risultato.
Saluti da karl.
In matematica,a volte,quello che conta e' il risultato.
Saluti da karl.
scusa, non l'ho capita.
(ma non ti preoccupare, ci sono abituato)
tony
(ma non ti preoccupare, ci sono abituato)
tony
approfondendo mi accorgo che la discussione sull'esistenza del cerchio è assai
intrigante.
con un po' di schizzi mi son fatto questa sensazione:
fissata una parabola, facendo scorrere l'altra sul suo asse, il cerchio
d'intersezione (il cui centro, come dicevo, rimane fisso) "svanisce" all'uscita della
seconda parabola, di gran lunga prima che il suo raggio diventi immaginario.
man mano che la parabola "uscita" si allontana, il cerchio continua a esistere,
anche se non interseca più le parabole, e il suo raggio diminuisce fino a zero;
solo dopo questo punto (e le parabole sono ormai lontane) diventa immaginario.
che cosa significa, geometricamente, questo punto?
tony
*Edited by - tony on 23/02/2004 17:41:39
intrigante.
con un po' di schizzi mi son fatto questa sensazione:
fissata una parabola, facendo scorrere l'altra sul suo asse, il cerchio
d'intersezione (il cui centro, come dicevo, rimane fisso) "svanisce" all'uscita della
seconda parabola, di gran lunga prima che il suo raggio diventi immaginario.
man mano che la parabola "uscita" si allontana, il cerchio continua a esistere,
anche se non interseca più le parabole, e il suo raggio diminuisce fino a zero;
solo dopo questo punto (e le parabole sono ormai lontane) diventa immaginario.
che cosa significa, geometricamente, questo punto?
tony
*Edited by - tony on 23/02/2004 17:41:39