Parabola + Sistema com metodo di riduzione
Ciao, sto cercando di risolvere questo sistema a 2 equazioni ma non riesco ad applicare bene il metodo di riduzione. Potete aiutarmi nei passaggi? Grazie.
4a + 2b + c = 0
a + b + c = -1
4a + 2b + c = 0
a + b + c = -1
Risposte
Quel sistema non ammette una terna unica di soluzioni.
Potresti ad esempio sottrarre così come hai scritto, ottenendo
$3a+b=1$, ma a che pro?
Potresti ad esempio sottrarre così come hai scritto, ottenendo
$3a+b=1$, ma a che pro?
Non capisco bene quello ke hai detto forse non è il metodo di risoluzione giusto per il sistema?
Il mio scopo è trovare i valori di a, b e c e sostituirli nell'equazione della parabola ax^2 + bx + c = 0.
Il mio scopo è trovare i valori di a, b e c e sostituirli nell'equazione della parabola ax^2 + bx + c = 0.
Dunque, volevo dire che quel sistema non ti può dare dei valori fissi di $a,b,c$.
Serve un'altra equazione, altrimenti non ne esci.
Sono sicuro che il problema ti dà un'altra informazione che tu non stai sfruttando, e da cui potresti trarre un'altra equazione.
Se vuoi, scrivi pure il testo del problema almeno vediamo un po'.
Ciao.
Serve un'altra equazione, altrimenti non ne esci.
Sono sicuro che il problema ti dà un'altra informazione che tu non stai sfruttando, e da cui potresti trarre un'altra equazione.
Se vuoi, scrivi pure il testo del problema almeno vediamo un po'.
Ciao.
Il testo dell'esercizio è:
"scrivi l'equazione della parabola y= ax^2 + bx + c passante per i punti A(2;0) e B(1;-1) e tangenti alla retta y= -2x +5."
Come prima cosa, ho imposto alla parabola il passaggio per i due punti A e B, sostituendo le coordinate x e y nella parabola.
Le due equazioni che metto a sistema sono quelle ricavate proprio da questa sostituzione. Ora non so come risolvere questo sistema.
PS = Scusami per l'altro messaggio dove ho fatto up, ma non avevo letto il regolamento e ho bisogno di aiuto
"scrivi l'equazione della parabola y= ax^2 + bx + c passante per i punti A(2;0) e B(1;-1) e tangenti alla retta y= -2x +5."
Come prima cosa, ho imposto alla parabola il passaggio per i due punti A e B, sostituendo le coordinate x e y nella parabola.
Le due equazioni che metto a sistema sono quelle ricavate proprio da questa sostituzione. Ora non so come risolvere questo sistema.
PS = Scusami per l'altro messaggio dove ho fatto up, ma non avevo letto il regolamento e ho bisogno di aiuto
Ciao,
nel sistema devi aggiungere una terza equazione che imponga la tangenza con la retta $y=-2x+5$
quindi il tuo sistema sarà:
$4a+2b+c=0$
$a+b+c+1=0$
$b^2+4+4b-4ac+20a=0$
L'equazione di secondo grado non è nient'altro che il DELTA dell'equazione $ax^2+(b+2)x+(c-5)=0$ che si ottiene sostituendo $y=-2x+5$ nell'equazione generica della parabola....questa condizione, ossia porre il DELTA=0, garantisce che la parabola e la retta siano tangenti, cioè che abbiano un contatto almeno del primo ordine in un punto.
nel sistema devi aggiungere una terza equazione che imponga la tangenza con la retta $y=-2x+5$
quindi il tuo sistema sarà:
$4a+2b+c=0$
$a+b+c+1=0$
$b^2+4+4b-4ac+20a=0$
L'equazione di secondo grado non è nient'altro che il DELTA dell'equazione $ax^2+(b+2)x+(c-5)=0$ che si ottiene sostituendo $y=-2x+5$ nell'equazione generica della parabola....questa condizione, ossia porre il DELTA=0, garantisce che la parabola e la retta siano tangenti, cioè che abbiano un contatto almeno del primo ordine in un punto.
Grazie per la risposta. Ma con quale metodo possiamo risolvere il sistema con 3 equazioni?
Beh,
dato che le equazioni non sono tutte lineari, perchè l'ultima è di secondo grado, risolvilo sostituendo.......se ho tempo poi provo a risolverlo e te lo posto.......intanto provaci anche tu!
Ciao
dato che le equazioni non sono tutte lineari, perchè l'ultima è di secondo grado, risolvilo sostituendo.......se ho tempo poi provo a risolverlo e te lo posto.......intanto provaci anche tu!
Ciao
Io ci sto provando ma i calcoli sono lunghissimi e mi stanno uscendo numeri enormi ... quindi penso ci sia qualcosa di sbagliato nel metodo per questo ti chiedo aiuto.
Allora,
dalla prima equazione ricavi $a=-(b/2)-(c/4)$, sostituendo nella seconda ottieni $c=-(4/3)-(2/3)b$
quindi $a=(1/3)-(1/3)b$......
Ora sostituiamo $a$ e $c$, che abbiamo ricavato, nella terza equazione e semplificando otteniamo:
$b^2-32b+112=0$, risolvendo quest'ultima come una normale equazione di secondo grado si hanno due valori di $b$, ossia:
$b_1=4$ e $b_2=28$, sostituendo $b_1$ in $a$ e in $c$ otteniamo $a=-1$ e $c=-4$
Quindi l'equazione della prima parabola sarà: $y=-x^2+4x-4$
Continuamo sostituendo anche $b_2$ in $a$ e $c$ ed otteniamo l'equazione della seconda parabola: $y=-9x^2+28b-20$
Adesso sostituiamo l'equazione della retta tangente nella prima parabola e abbiamo:
$-2x+5=-x^2+4x-4$ che semplificando diventa $-x^2+6x-9=0$, risolvendo otteniamo $x=3$, inserendo il valore trovato di $x$ nell'equazione della retta si ha $y=-1$ quindi la retta è tangente alla prima parabola nel punto $(3,-1)$
Stesso procedimento con l'equazione della seconda parabola ed otteniamo il punto $(10/6, 10/6)$
In conclusione esisteranno 2 parabole entrambe passanti per i punti $A$ e $B$ e tangenti alla retta $y=-2x+5$, la prima sarà tangente nel punto $(3,-1)$, mentre la seconda in $(10/6, 10/6)$.
Spero di non aver commesso errori nella fretta!
Ciao
dalla prima equazione ricavi $a=-(b/2)-(c/4)$, sostituendo nella seconda ottieni $c=-(4/3)-(2/3)b$
quindi $a=(1/3)-(1/3)b$......
Ora sostituiamo $a$ e $c$, che abbiamo ricavato, nella terza equazione e semplificando otteniamo:
$b^2-32b+112=0$, risolvendo quest'ultima come una normale equazione di secondo grado si hanno due valori di $b$, ossia:
$b_1=4$ e $b_2=28$, sostituendo $b_1$ in $a$ e in $c$ otteniamo $a=-1$ e $c=-4$
Quindi l'equazione della prima parabola sarà: $y=-x^2+4x-4$
Continuamo sostituendo anche $b_2$ in $a$ e $c$ ed otteniamo l'equazione della seconda parabola: $y=-9x^2+28b-20$
Adesso sostituiamo l'equazione della retta tangente nella prima parabola e abbiamo:
$-2x+5=-x^2+4x-4$ che semplificando diventa $-x^2+6x-9=0$, risolvendo otteniamo $x=3$, inserendo il valore trovato di $x$ nell'equazione della retta si ha $y=-1$ quindi la retta è tangente alla prima parabola nel punto $(3,-1)$
Stesso procedimento con l'equazione della seconda parabola ed otteniamo il punto $(10/6, 10/6)$
In conclusione esisteranno 2 parabole entrambe passanti per i punti $A$ e $B$ e tangenti alla retta $y=-2x+5$, la prima sarà tangente nel punto $(3,-1)$, mentre la seconda in $(10/6, 10/6)$.
Spero di non aver commesso errori nella fretta!
Ciao
"Alexp":
Ora sostituiamo $a$ e $c$, che abbiamo ricavato, nella terza equazione e semplificando otteniamo:
$b^2-32b+112=0$, risolvendo quest'ultima come una normale equazione di secondo grado si hanno due valori di $b$, ossia:
$b_1=4$ e $b_2=28$ ....
sto facendo tutti i calcoli seguendo la tua spiegazione ma arrivata a questo punto non mi trovo con te.
L'equazione in b mi esce: 1/9 b^2 + 88/9 b - 8/9 .... cosa sbaglio?
Allora,
sostituendo $a$ e $c$ nella terza equazione si ottiene:
$b^2 + 4 + 4b - 4*(-4/9 + 2/9b + 2/9b^2) + 20/3 - 20/3b=0$
Raccogliendo:
$((9-8)/9)b^2 + ((-8-60+36)/9)b + (16+60+36)/9=0$
semplificando:
$b^2/9-32/9b+112/9=0$ ora moltiplicando da entrambe le parti per $9$ si ottiene: $b^2-32b+112=0$
sostituendo $a$ e $c$ nella terza equazione si ottiene:
$b^2 + 4 + 4b - 4*(-4/9 + 2/9b + 2/9b^2) + 20/3 - 20/3b=0$
Raccogliendo:
$((9-8)/9)b^2 + ((-8-60+36)/9)b + (16+60+36)/9=0$
semplificando:
$b^2/9-32/9b+112/9=0$ ora moltiplicando da entrambe le parti per $9$ si ottiene: $b^2-32b+112=0$
Ti torna adesso???
"Alexp":
Allora,
sostituendo $a$ e $c$ nella terza equazione si ottiene:
$b^2 + 4 + 4b - 4*(-4/9 + 2/9b + 2/9b^2) + 20/3 - 20/3b=0$
Raccogliendo:
$((9-8)/9)b^2 + ((-8-60+36)/9)b + (16+60+36)/9=0$
semplificando:
$b^2/9-32/9b+112/9=0$ ora moltiplicando da entrambe le parti per $9$ si ottiene: $b^2-32b+112=0$
Non voglio insistere ma in questo passaggio io mi trovo così:
$b^2 + 4 + 4b - 4*(1/3b - 1/3)*(-4/3 - 2/3b) + 20/3 - 20/3b=0$
$b^2 + 4 + 4b - 4*(-4/9b + 2/9b - 2/9b^2 + 4/9) + 20/3 - 20/3b=0$
da cui:
$b^2 + 4 + 4b - 4*(-2/9b - 2/9b^2 + 4/9) + 20/3 - 20/3b=0$
Sbaglio in qualcosa? Help
$a=1/3 -1/3b$ e $c=-4/3-2/3b$
ora $ac=-4/9-2/9b+4/9b+2/9b^2$ facendo $-2/9b+4/9b$ si ottiene $2/9b$ quindi $ac=-4/9+2/9b+2/9b^2$
Il tuo calcolo è corretto, sbagli a calcolare $a$ e $c$....inverti i segni
Ti è chiaro?
ora $ac=-4/9-2/9b+4/9b+2/9b^2$ facendo $-2/9b+4/9b$ si ottiene $2/9b$ quindi $ac=-4/9+2/9b+2/9b^2$
Il tuo calcolo è corretto, sbagli a calcolare $a$ e $c$....inverti i segni
Ti è chiaro?
Ok grazie, avevo sbagliato i segni dall'inizio... scusami. Adesso vado avanti nei calcoli. Grazie.
Niente nessun problema!!!!
Una curiosità....che classe fai?
Una curiosità....che classe fai?
In realtà ho finito la scuola... 
sto all'università. In questo caso, sto aiutando mia sorella nei compiti e questa parte di geometria non la ricordo proprio... 
ma ne approfitto per ripetere qualcosa 
sto all'università. In questo caso, sto aiutando mia sorella nei compiti e questa parte di geometria non la ricordo proprio... ma ne approfitto per ripetere qualcosa
Ahhhh....in che classe è tua sorella?
Tu che studi stai facendo all'università?
Ti è venuto l'esercizio?
Tu che studi stai facendo all'università?
Ti è venuto l'esercizio?
Mia sorella sta in secondo liceo classico. Io invece studio ingegneria.
Sto completando l'esercizio e intanto calcolo anche altre cose....
Sto completando l'esercizio e intanto calcolo anche altre cose....
Ho concluso l'esercizio ed è tutto ok. Grazie per l'aiuto! Alla prossima! Ciao!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo