Parabola (62366)

[cosimomv94]

Un aiuto:)
l'equazione della parabola è : y=1/4x^2+2x ;
trovare :
a) scrivi l'equazione delle rette r e s tangenti alla parabola nei suoi punti di intersezione A,B con la retta y-5=0;
b) Calcolare l'area del tringolo individuato dalle rette r e s e dalla direttrice della parabola (y+5=0)
c) scrivi l'equazione delle tangenti alle p e q alla parabola mandate dal punto D della direttrice avente ascissa -5/2 e verifica che fra loro sono perpendicolari.
d) Siano O ed E i punti di tangenza delle rette p e q con la parabola. Verifica che il fuoco della parabola e i punti O ed E sono allineati.

Grazie mille ;questi esercizi sono un po difficilotti :)
Grazie Grazie Grazie :)

Aggiunto 5 ore 59 minuti più tardi:

si Fino qui ho capito ... possiamo continuare :)

Aggiunto 25 minuti più tardi:

B(2;5) P1 (-4/3;-5) p2(10;-5)

[BIT5]

Calcoliamo dapprima i punti di intersezione tra parabola e retta:

[math] \{y=5 \\ y= \frac14x^2+2x [/math]

Quindi

[math] 5= \frac14x^2+2x \to x^2+8x-20=0 [/math]

Qui risolvi con somma e prodotto (o con la formula, come vuoi)

[math] (x+10)(x-2)=0 \to x=-10 \cup x=2 [/math]

I punti di intersezione sono dunque

[math] A(-10,5) \ \ \ \ \ \ \ \ B(2,5) [/math]

Ora ti aiuto con il trovare la tangente in A, poi quella in B la trovarai analogamente:

Dal punto A passano infinite rette. L'equazione del fascio di rette di centro A e'

[math] y-y_A=m(x-x_A) \to y-5=m(x+10) \to y=mx+10m+5 [/math]

Metteno a sistema il fascio con la parabola, trovi i generici punti di intersezione (in funzione di m) tra il fascio e la parabola

[math] \{y= \frac14x^2+2x \\ y=mx+10m+5 [/math]

Quindi sostituiamo a y il valore ottenuto dalla seconda, nella prima e avremo

[math] mx+10m+5= \frac14x^2+2x \to \frac14x^2+2x-mx-10m-5=0 \to \\ \\ \\ \to \frac14x^2+x(2-m)-10m-5=0 \to x^2+4x(2-m)-40m-20=0 [/math]

E' un'equazione di secondo grado della forma

[math] ax^2+bx+c=0 [/math]

Con a=1, b=4(2-m), c=-40m-20

Risolvendola, troveremo le soluzioni ovvero le ascisse dei punti di intersezione.
Ma siccome vogliamo che la retta del fascio sia tangente, ci occorrera' che i punti di intersezione non siano due punti distinti, bensi' due punti coincidenti. Affinche' un'equazione di secondo grado abbia un'unica soluzione (ovvero due soluzioni coincidenti) dovra' essere Delta=0

Siccome b=4(2-m) e' pari, possiamo usare Delta/4

[math] \frac{\Delta}{4} = \( \frac{b}{2] \)^2-ac = 0 [/math]

Quindi

[math] (2(2-m))^2-(-40m-20)=0 \to 4(4-4m+m^2)+40m+20=0 \to 16-16m+4m^2+40m+20=0 \to \\ \\ \\ \to 4m^2-24m+36=0 \to m^2-6m+9=0 \to (m-3)^2=0 \to m=3[/math]

Pertanto sostituiamo m=3 al fascio ottenendo

[math] y-5=3(x+10) \to y=3x+35 [/math]

Che e' l'equazione della tangente alla parabola in A

Analogamente trovi l'equazione della tangente in B

2) la direttrice della parabola ha equazione

[math] y= \frac{-1- \Delta}{4a} = \frac{-1-4}{1} = -5 [/math]

Si tratta di trovare i punti di intersezione tra le due rette tangenti e tra ogni tangente e la direttrice.

Siccome la direttrice e' orizzontale, la base sara' il valore assoluto della differenza delle ascisse dei punti di intersezione delle tangenti con la direttrice, e l'altezza la distanza tra il punto di intersezione delle tangenti e la direttrice.

Comunque posta, se hai capito, il punto B da te trovato, e la soluzione di questo secondo punto, o almeno, le coordinate dei vertici del triangolo :)

Poi se è tutto chiaro, continuiamo

Aggiunto 3 ore 29 minuti più tardi:

Ok postami per favore le coordinate di B e i 3 vertici del triangolo, allora ;)

Cosi' continuiamo