Parabola

[Itachi1]

bho

[adaBTTLS1]

A, B sono punti della parabola. per definizione della parabola come luogo geometrico, $AF="dist"(A,d), BF="dist"(B,d)$.
se mandi da A, B le parallele agli assi, si formeranno trapezi e triangoli rettangoli ... se consideri il punto medio di AB, M, e anche da M mandi le parallele agli assi, dalla similitudine delle figure che puoi osservare risulterà che $"dist"(M,d)$ è la media fra $"dist"(A,d)$ e $"dist"(B,d)$, cioè la metà del diametro AB.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.

[piero_1]

"Itachi":Una retta passante per il fuoco interseca la parabola nei punti A e B. Veridica che la circonferenza di diamentro AB è tangente alla direttrice della parbola.

ciao
(1) scrivi il fascio di rette per il fuoco
(2) trova i punti di intersezione A e B tra fascio e parabola (saranno in funzione del parametro m)
(3) il punto medio di AB è il centro della tua circonferenza.
(4) verifica che la distanza tra il centro e la direttrice è uguale al raggio
questo il metodo analitico
per quello geometrico puoi utilizzare la definizione di parabola come luogo dei punti...

edit:
preceduto da ADA

[Itachi1]

bho

[piero_1]

"Itachi":io per trovare i punti A e B prima di fare il procendimento faccio il sistema tra la retta generica passante per il fuoco e la parabola?

esatto

[piero_1]

$y-y_F=m(x-x_F)$
$y-1/16=mx$
$\{(y=mx+1/16),(y=4x^2):}$

[Itachi1]

Oddio mi vengono calcoli assurdi :S

[Itachi1]

bho

[piero_1]

"Itachi":Ho finito di fare i calcoli ma non viene...

Se risolvi il sistema ti trovi

$A((m-sqrt(m^2+1))/8;(2m^2+1-2msqrt(m^2+1))/16)$
$B((m+sqrt(m^2+1))/8;(2m^2+1+2msqrt(m^2+1))/16)$
il punto medio M (centro della circonferenza) in funzione di m è

$M(m/8;(2m^2+1)/16)$
MA=MB=raggio

raggio=$sqrt(((m^2+1)/64+(m^2(m^2+1))/64))=(m^2+1)/8$
Adesso calcoliamo la distanza tra il centro e la direttrice e facciamo vedere che è uguale al raggio
$|y_M+1/16|=|(2m^2+2)/16|=(m^2+1)/8
osservando che il centro della circonferenza coincide col fuoco, possiamo anche stabilire che m=0 dunque il raggio=$1/8$

Per quel che riguarda la dimostrazione geometrica, fai un disegnino e poi opera come suggerito da ADA.

[adaBTTLS1]

osservando che il centro della circonferenza coincide col fuoco...

mi sono persa qualche passaggio?
mi pareva di aver capito che la cosa valesse per ogni retta passante per il fuoco, e non solo per quella parallela all'asse x ...

[piero_1]

"adaBTTLS":mi sono persa qualche passaggio?
mi pareva di aver capito che la cosa valesse per ogni retta passante per il fuoco, e non solo per quella parallela all'asse x ...

no no hai ragione, mi sono fatto prendere dal furore semplificatorio e, rileggendo la domanda, la mia penultima riga è destituita d'ogni fondamento.

[giammaria2]

Per il secondo problema, suggerisco questo metodo: imponi il passaggio per A e B e ricava due delle tre incognite; poi calcola l'area del segmento parabolico (o con l'integrale o col teorema di Archimede) in funzione della terza incognita e ponila uguale al valore dato. Naturalmente devi conoscere l'analisi; in caso contrario forse si può risolvere lo stesso, ma con fatica non indifferente. Ricorda che la parabola può essere sopra o sotto al segmento AB: per questo ci sono due soluzioni.