Parabola
Ecco il testo dell'esercizio col quale sono alle prese:
"Determina la parabola con asse parallelo all'asse $x$, avente fuoco in $F (-1;1)$ e vertice appartenente alla retta di equazione $4x+2y+3=0$".
Quale procedimento adottereste per risolverlo? Posso ricavare $a$ e $b$ basandomi sulle coordinate del fuoco $F$: ma come ottenere $c$, in modo da giungere all'equazione della parabola?
Ovviamente,nel caso crediate si debba procedere in altro modo, o conosciate metodi di risoluzione più brevi, dite pure.
Grazie anticipatamente.
"Determina la parabola con asse parallelo all'asse $x$, avente fuoco in $F (-1;1)$ e vertice appartenente alla retta di equazione $4x+2y+3=0$".
Quale procedimento adottereste per risolverlo? Posso ricavare $a$ e $b$ basandomi sulle coordinate del fuoco $F$: ma come ottenere $c$, in modo da giungere all'equazione della parabola?
Ovviamente,nel caso crediate si debba procedere in altro modo, o conosciate metodi di risoluzione più brevi, dite pure.
Grazie anticipatamente.
Risposte
Pensa alla parabola: fuoco e vertice giacciono sulla medesima retta orizzontale. La retta orizzontale che passa per il fuoco è ovviamente
$y=1$, visto che tutti i punti di una retta verticale hanno la stessa ordinata.
Perciò il vertice lo trovi dall'intersezione di
$y=1$
e
$4x+2y+3=0$
Sai procedere ora?
Ciao.
$y=1$, visto che tutti i punti di una retta verticale hanno la stessa ordinata.
Perciò il vertice lo trovi dall'intersezione di
$y=1$
e
$4x+2y+3=0$
Sai procedere ora?
Ciao.
Per ottenere $c$ puoi sfruttare l'informazione sul vertice. Sai che appartiene:
alla retta di equazione $4x+2y+3=0$
all'asse della parabola di equazione $y=1$ (conosci l'ordinata del fuoco)
quindi ha coordinate $(-\frac 5 4,1)$... e continui per la tua strada
alla retta di equazione $4x+2y+3=0$
all'asse della parabola di equazione $y=1$ (conosci l'ordinata del fuoco)
quindi ha coordinate $(-\frac 5 4,1)$... e continui per la tua strada
Salve 
Ti propongo di risolvere l'esercizio ricorrendo alla definizione di parabola: un punto appartiene alla parabola se e solo se ha la stessa distanza da fuoco e direttrice.
Ora il fuoco è F(-1,1), la direttrice è una retta della forma x=k. La distanza di un punto (x,y) da F è allora $\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}$, e la distanza da d è $|x-k|$. Quando tali due distanze sono uguali otteniamo l'equazione:
$\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=|x-k|$
Essendo i due membri positivi, elevando al quadrato troviamo un'equazione equivalente:
$(x+1)^2+(y-1)^2=(x-k)^2$
Questa è l'equazione della parabola. Ora non resta che determinare k utilizzando l'informazione sul vertice (ricordando che $k ne -1$ perché il fuoco non appartiene alla direttrice).
Ti propongo di risolvere l'esercizio ricorrendo alla definizione di parabola: un punto appartiene alla parabola se e solo se ha la stessa distanza da fuoco e direttrice.
Ora il fuoco è F(-1,1), la direttrice è una retta della forma x=k. La distanza di un punto (x,y) da F è allora $\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}$, e la distanza da d è $|x-k|$. Quando tali due distanze sono uguali otteniamo l'equazione:
$\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=|x-k|$
Essendo i due membri positivi, elevando al quadrato troviamo un'equazione equivalente:
$(x+1)^2+(y-1)^2=(x-k)^2$
Questa è l'equazione della parabola. Ora non resta che determinare k utilizzando l'informazione sul vertice (ricordando che $k ne -1$ perché il fuoco non appartiene alla direttrice).
In primis, grazie a tutti delle risposte.
Ho provato il metodo suggerito da 5InGold, tuttavia mi risulta $a=1$ (giusto) $b=-2$ (giusto) e $c=0$ (il testo richiede come risultato $c=1/4$).
Se ho sbagliato nei calcoli, non riesco a trovare l'errore...
Ho provato il metodo suggerito da 5InGold, tuttavia mi risulta $a=1$ (giusto) $b=-2$ (giusto) e $c=0$ (il testo richiede come risultato $c=1/4$).
Se ho sbagliato nei calcoli, non riesco a trovare l'errore...
Imponendo l'appartenenza del vertice alla parabola ottengo $c=-1/4$
Scusate, ma non riesco proprio a vedere dove diavolo sbaglio... nel mio procedimento $c$ si annulla, nel senso che l'equazione in $c$ risulta impossibile ( $0c=-1/4$ ).
Qualcuno di buona volontà non potrebbe postare il procedimento dell'esercizio, o almeno la parte "incriminata"?
Grazie per la pazienza.
Qualcuno di buona volontà non potrebbe postare il procedimento dell'esercizio, o almeno la parte "incriminata"?
Grazie per la pazienza.
A me il sistema viene
$\{(-b/(2a)=1),((1-b^2+4ac)/(4a)=-1),(-5/4=a+b+c):}$ le prime due equazioni sono le coordinate del fuoco e la terza è l'appartenenza del vertice alla parabola
$\{(-b/(2a)=1),((1-b^2+4ac)/(4a)=-1),(-5/4=a+b+c):}$ le prime due equazioni sono le coordinate del fuoco e la terza è l'appartenenza del vertice alla parabola
"TR0COMI":
Scusate, ma non riesco proprio a vedere dove diavolo sbaglio... nel mio procedimento $c$ si annulla, nel senso che l'equazione in $c$ risulta impossibile ( $0c=-1/4$ ).
Qualcuno di buona volontà non potrebbe postare il procedimento dell'esercizio, o almeno la parte "incriminata"?
Grazie per la pazienza.
attenzione!
$0c=-1/4$ non equivale a $c=0$
bensi' (come dici giustamente in seguito) e' impossibile, cioe' $0c=-1/4$ non e' verificata per alcun valore di c.
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