Orologio antiorario
Ho risolto un problemino di geometria e non solo (o almeno credo)
e sarei felice se qualcuno me ne desse conferma.
In un riferimento cartesiano di centro C, supponiamo un orologio che abbia, per comodità, un moto antiorario ed estremità S per la lancetta delle Ore e P per quella dei Minuti, per cui la traiettoria di ciascun punto, S e M, è un moto circolare.
Domanda: quale è la traiettoria, con centro in C, del Punto M (Minuti) rispetto a S (Ore)?
Mia risposta: poiché \(SM^2=R^2+r^2-2RrcosE \), con E angolo tra le due lancette, essa è una Ellisse! Giusto??
Vedere applet “OROLOGIO ANTIORARIO”: https://www.geogebra.org/m/ArQj3Crf
Grazie, M. Vaglieco (spero di aver fatto tutto per benino)
[xdom="Seneca"]Sposto il thread in Secondaria II grado.[/xdom]
e sarei felice se qualcuno me ne desse conferma.
In un riferimento cartesiano di centro C, supponiamo un orologio che abbia, per comodità, un moto antiorario ed estremità S per la lancetta delle Ore e P per quella dei Minuti, per cui la traiettoria di ciascun punto, S e M, è un moto circolare.
Domanda: quale è la traiettoria, con centro in C, del Punto M (Minuti) rispetto a S (Ore)?
Mia risposta: poiché \(SM^2=R^2+r^2-2RrcosE \), con E angolo tra le due lancette, essa è una Ellisse! Giusto??
Vedere applet “OROLOGIO ANTIORARIO”: https://www.geogebra.org/m/ArQj3Crf
Grazie, M. Vaglieco (spero di aver fatto tutto per benino)
[xdom="Seneca"]Sposto il thread in Secondaria II grado.[/xdom]
Risposte
"MaxVag":
Domanda: quale è la traiettoria, con centro in C, del Punto M (Minuti) rispetto a S (Ore)?
Non riesco a comprendere questa frase: cosa vuol dire con centro in C, se la traiettoria deve essere rispetto a S?
Ciao
In effetti non ha molto senso. Comunque fai attenzione, che te ti sei trovato la distanza in funzione dell'angolo (che devi esplicitare nella variabile del tempo tempo), ma ricorda che la distanza e la traiettoria sono due cose molto differenti.
"orsoulx":
Non riesco a comprendere questa frase: cosa vuol dire con centro in C, se la traiettoria deve essere rispetto a S?Ciao
I valori delle distanze SM ricavati vengono riferiti ad un punto fisso, cioè C. Possiamo anche supporre il punto S fisso ma la soluzione è la stessa. Per questo mi sono permesso di indicare un applet appropriato. Grazie!
"Casio98":Esatto!
In effetti non ha molto senso........ , ma ricorda che la distanza e la traiettoria sono due cose molto differenti.
Ma se ad ogni distanza ci unisco un angolo ho una traiettoria: esempio la circonferenza o l’ellisse.
L’espressione indicata ha una variabile (E) che permette di manipolarla dando una curva, come Keplero insegna.
Attento perché quella innocente espressione cela importanti significati, che mi auguro di vedere assieme, prima però è importante una risposta alla mia domanda. Ciao!
"MaxVag":
Domanda: quale è la traiettoria, con centro in C, del Punto M (Minuti) rispetto a S (Ore)?
Mia risposta: poiché \(SM^2=R^2+r^2-2RrcosE \), con E angolo tra le due lancette, essa è una Ellisse! Giusto??
Vedere applet “OROLOGIO ANTIORARIO”: https://www.geogebra.org/m/ArQj3Crf
infatti \(SM=\sqrt{R^2+r^2-2RrcosE}= \sqrt{(R-r)^2 \cos^2 E/2+(R+r)^2 \sin^2 E/2} \)
dove l'ultima espressione è l'equazione dell' ellisse, ed essendo (R+r) la distanza massima e (R-r) la distanza minima è data rispettivamente come \( A_f \ e\ P_e \), ottenendo:
\( SM=\sqrt{P_e^2 \cos^2 E/2+A_f^2 \sin^2 E/2} = \sqrt { 1/2[P_e^2(1+cos E) + A_f^2(1-cos E)} \)
\(\frac {y}{x}=\tan \beta=\frac{A_f}{P_e} \tan E/2 \qquad\) dove beta è l'angolo al centro dell'ellisse.
Questa è la dimostrazione geometrica!
23/05/2017
a) Chi ci fornisce le formule per manipolare le distanze SM?
Il “Teorema dei Pianeti” con l’enunciato:
«Data una circonferenza, ed un qualunque punto-fisso nello spazio, che non appartenga alla perpendicolare al centro di tale circonferenza, la sua distanza dai punti della circonferenza sono vettori di ellisse, la traiettoria una ellisse e il punto fisso il suo centro.»
Nell’analisi di tale teorema il punto-fisso e la circonferenza sono considerati complanari (per la dimostrazione di questo teorema nello SPAZIO vedi (Geometriaparametrica.it Equazione di Vag nello Spazio Indice Cap III Pag14).
La complanarità è una esemplificazione discorsiva.
b) Possiamo allora costruire una tavola dei valori delle distanze SM che avranno un minimo e un massimo che chiameremo (Perielio) e (Afelio).
c) Possiamo anche costruire la curva ellisse i cui raggi sono le distanze SM a partire da S, considerato centro dell’ellisse secondo il “Teorema dei Pianeti” e posto in un qualunque punto: nell’applet si è scelto il punto C, centro del sistema ortogonale per cui CEll=SM, dove Ell è il punto sull’ellisse corrispondente a M mentre C corrisponde a S.
d) Osserviamo poi che quando il punto M ha percorso 360°(1h) il punto S ne ha percorsi 30°(1h), ma il punto M che si era mosso avendo una distanza minima da S (Perielio) non è ancora alla distanza minima da S, perché il punto S si è anche lui spostato. Pertanto per poter arrivare nuovamente alla distanza minima da S dovrà ancora percorrere 30° + C° gradi perché mentre si muove per percorrere i 30° contemporaneamente il Sole continuerà a muoversi come per Achille e la tartaruga. Vediamo che M sarà alla distanza minima da S quando, sarà in linea con S.
La situazione a questo punto è:
• S e M sono in linea (distanza minima);
• M avrà infine percorsi 360°+30°+C°=360°+30°+3°=393° (vedi applet).
• Ell, punto corrispondente a M sull’ellisse, avrà percorsi 180°;
e) Se nell’applet avessi posto la condizione V=0 il punto S sarebbe risultato fermo e dopo i 360° di M, questi sarebbe risultato in linea con S ed il punto Ell avrebbe percorso 180°; inoltre per V=0 si vede meglio che la Velocità Areale di M sulla circonferenza è doppia di quella di Ell sull’ellisse.
a) Chi ci fornisce le formule per manipolare le distanze SM?
Il “Teorema dei Pianeti” con l’enunciato:
«Data una circonferenza, ed un qualunque punto-fisso nello spazio, che non appartenga alla perpendicolare al centro di tale circonferenza, la sua distanza dai punti della circonferenza sono vettori di ellisse, la traiettoria una ellisse e il punto fisso il suo centro.»
Nell’analisi di tale teorema il punto-fisso e la circonferenza sono considerati complanari (per la dimostrazione di questo teorema nello SPAZIO vedi (Geometriaparametrica.it Equazione di Vag nello Spazio Indice Cap III Pag14).
La complanarità è una esemplificazione discorsiva.
b) Possiamo allora costruire una tavola dei valori delle distanze SM che avranno un minimo e un massimo che chiameremo (Perielio) e (Afelio).
c) Possiamo anche costruire la curva ellisse i cui raggi sono le distanze SM a partire da S, considerato centro dell’ellisse secondo il “Teorema dei Pianeti” e posto in un qualunque punto: nell’applet si è scelto il punto C, centro del sistema ortogonale per cui CEll=SM, dove Ell è il punto sull’ellisse corrispondente a M mentre C corrisponde a S.
d) Osserviamo poi che quando il punto M ha percorso 360°(1h) il punto S ne ha percorsi 30°(1h), ma il punto M che si era mosso avendo una distanza minima da S (Perielio) non è ancora alla distanza minima da S, perché il punto S si è anche lui spostato. Pertanto per poter arrivare nuovamente alla distanza minima da S dovrà ancora percorrere 30° + C° gradi perché mentre si muove per percorrere i 30° contemporaneamente il Sole continuerà a muoversi come per Achille e la tartaruga. Vediamo che M sarà alla distanza minima da S quando, sarà in linea con S.
La situazione a questo punto è:
• S e M sono in linea (distanza minima);
• M avrà infine percorsi 360°+30°+C°=360°+30°+3°=393° (vedi applet).
• Ell, punto corrispondente a M sull’ellisse, avrà percorsi 180°;
e) Se nell’applet avessi posto la condizione V=0 il punto S sarebbe risultato fermo e dopo i 360° di M, questi sarebbe risultato in linea con S ed il punto Ell avrebbe percorso 180°; inoltre per V=0 si vede meglio che la Velocità Areale di M sulla circonferenza è doppia di quella di Ell sull’ellisse.
01/06/2017 CONCLUSIONE.
Costruita una tavola come al punto b) abbiamo i dati delle distanze da un valore massimo ad uno minimo. Al pari della tavola di Tycho B. delle distanze tra Sole e Marte.
Essendo simili Keplero le avrebbe considerate alla stessa stregua e applicato le sue leggi ad entrambe.
Keplero fa due ipotesi: che il punto M (Marte) si muovi secondo una curva ellittica ed il punto S (Sole) doveva essere fisso nel punto fuoco. Non aveva altra possibilità!
Nel nostro caso, nell’orologio, i valori sono dati tramite SM e non abbiamo bisogno di fare ipotesi.
Infatti SM fornisce non soltanto i valori delle distanze, ma esso stesso rappresenta una ellisse, come sappiamo dal “Teorema dei Pianeti” (vedi formule già scritte), e per le sua prerogative si dimostra:
1. Corrispondenza biunivoca tra circonferenza ed ellisse.
2. Velocità Areale (doppia sulla circonferenza che sull’ellisse)
3. Nell’ellisse Aree uguali in tempi uguali.
4. Perimetri uguali tra circonferenza e relativo ellisse:
2Rπ=(Af+Pe)π, (gli archi non sono uguali nei valori intermedi).
Nell’applet la distanza C-Ell traccia una ellisse, data dal solo angolo formato dalle lancette dell’orologio, che non cambia qualunque posizione esse abbiano nello spazio, poichè i punti massa M e S interagiscono tra di loro secondo la loro distanza ellittica su un piano ipotetico, che può prescindere da quello in cui le masse si muovono effettivamente.
Inoltre il “Teorema dei Pianeti” definito in a) esclude la traiettoria ellittica per i punti appartenenti alla perpendicolare nel centro della circonferenza; questo perché nel caso, si avrebbe una traiettoria circolare. Un uomo fermo all’equatore gira secondo una circonferenza e quindi rispetto ad un qualunque punto fermo dello spazio secondo una traiettoria ellittica, ma rispetto al Polo o ad un qualunque punto della perpendicolare al centro dell’equatore, gira secondo una circonferenza.
Quindi la Luna gira secondo una circonferenza con una traiettoria ellittica rispetto alla Terra, ma anche rispetto al Sole e così tutti i Pianeti!
Infine: a Newton non interessa dove stiano i Pianeti, perché calcola la interazione tra i corpi: tuttavia anche Newton conclude con una conica (ellisse) che noi formuliamo, con maggiore precisione e universalità di quella di Keplero.
Avendone data dimostrazione possiamo allora concludere:
“I Pianeti ruotano secondo Orbite Circolari e tutti uno rispetto all’altro, secondo traiettorie Ellittiche.”
Costruita una tavola come al punto b) abbiamo i dati delle distanze da un valore massimo ad uno minimo. Al pari della tavola di Tycho B. delle distanze tra Sole e Marte.
Essendo simili Keplero le avrebbe considerate alla stessa stregua e applicato le sue leggi ad entrambe.
Keplero fa due ipotesi: che il punto M (Marte) si muovi secondo una curva ellittica ed il punto S (Sole) doveva essere fisso nel punto fuoco. Non aveva altra possibilità!
Nel nostro caso, nell’orologio, i valori sono dati tramite SM e non abbiamo bisogno di fare ipotesi.
Infatti SM fornisce non soltanto i valori delle distanze, ma esso stesso rappresenta una ellisse, come sappiamo dal “Teorema dei Pianeti” (vedi formule già scritte), e per le sua prerogative si dimostra:
1. Corrispondenza biunivoca tra circonferenza ed ellisse.
2. Velocità Areale (doppia sulla circonferenza che sull’ellisse)
3. Nell’ellisse Aree uguali in tempi uguali.
4. Perimetri uguali tra circonferenza e relativo ellisse:
2Rπ=(Af+Pe)π, (gli archi non sono uguali nei valori intermedi).
Nell’applet la distanza C-Ell traccia una ellisse, data dal solo angolo formato dalle lancette dell’orologio, che non cambia qualunque posizione esse abbiano nello spazio, poichè i punti massa M e S interagiscono tra di loro secondo la loro distanza ellittica su un piano ipotetico, che può prescindere da quello in cui le masse si muovono effettivamente.
Inoltre il “Teorema dei Pianeti” definito in a) esclude la traiettoria ellittica per i punti appartenenti alla perpendicolare nel centro della circonferenza; questo perché nel caso, si avrebbe una traiettoria circolare. Un uomo fermo all’equatore gira secondo una circonferenza e quindi rispetto ad un qualunque punto fermo dello spazio secondo una traiettoria ellittica, ma rispetto al Polo o ad un qualunque punto della perpendicolare al centro dell’equatore, gira secondo una circonferenza.
Quindi la Luna gira secondo una circonferenza con una traiettoria ellittica rispetto alla Terra, ma anche rispetto al Sole e così tutti i Pianeti!
Infine: a Newton non interessa dove stiano i Pianeti, perché calcola la interazione tra i corpi: tuttavia anche Newton conclude con una conica (ellisse) che noi formuliamo, con maggiore precisione e universalità di quella di Keplero.
Avendone data dimostrazione possiamo allora concludere:
“I Pianeti ruotano secondo Orbite Circolari e tutti uno rispetto all’altro, secondo traiettorie Ellittiche.”
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