Ordine di infinito e zeri di una f(x)

[jitter1]

Un esercizio richiede di trovare il numero di zeri di $f(x) = x^2 - e^(-2x)$.
Siano:
$y = x^2$
$z = e^(-2x)$

Nella soluzione guidata si dice: "y e z non possono incontrarsi per $x < 0$, essendo l'ordine di infinito, per $x -> - oo $ , di $e^(-2x)$ superiore a quello di $x^2$.
Mi potreste aiutare a capire questo passaggio?

Un'altra cosa: se invece di $y = x^2$ avessi $y = x^2 - 4x + 4$, le due curve si intersecherebbero due volte (ho verificato con geogebra), ma l'infinito di z sarebbe comunque superiore a quello di y. Qual è la differenza tra i due casi, rispetto al ragionamento sugli infiniti?

[piero_1]

"jitter":Nella soluzione guidata si dice: "y e z non possono incontrarsi per $x < 0$, essendo l'ordine di infinito, per $x -> - oo $ , di $e^(-2x)$ superiore a quello di $x^2$.
Mi potreste aiutare a capire questo passaggio?

Ti suggerisce che per ascisse negative la parabola va all'infinito più lentamente, rispetto all'esponenziale, perciò l'esponenziale si manterrà internamente rispetto alla parabola e non l'interseca nell'intervallo \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

"jitter":
se invece di $y = x^2$ avessi $y = x^2 - 4x + 4$, le due curve si intersecherebbero due volte (ho verificato con geogebra), ma l'infinito di z sarebbe comunque superiore a quello di y. Qual è la differenza tra i due casi, rispetto al ragionamento sugli infiniti?

Anche nel tuo esempio l'esponenziale si mantiene internamente rispetto alla parabola e non l'interseca, solo che, rispetto a prima, la parabola è traslata. Avrai dunque una soluzione negativa (\(\alpha)\), ma da lì a $-infty$ nessun'altra intersezione. Nessuna inersezione nell'intervallo \(\left( { - \infty ;\alpha} \right)\).

\(x^2-4x+4= e^{-2x}\)
Per la monotonia di z le intersezioni saranno 1 negativa e 2 positive; totale tre soluzioni e non due.

[jitter1]

"piero":Ti suggerisce che per ascisse negative la parabola va all'infinito più lentamente, rispetto all'esponenziale, perciò l'esponenziale si manterrà internamente rispetto alla parabola e non l'interseca nell'intervallo

.

Intuitivamente ok. Quindi, se una funzione continua e monotona $y$ è un infinito maggiore di una funzione continua e monotona $z$ significa che, se $y(x_0)$ > $z(x_0)$, allora le curve non si incontrano per $x > x_0$ perché la loro distanza cresce? E significa anche che se $y(x_1)$ < $z(x_1)$, allora le due curve dovranno incontrarsi perché $y$ dovrà "superare" $z$?

"piero": Anche nel tuo esempio l'esponenziale si mantiene internamente rispetto alla parabola e non l'interseca, solo che, rispetto a prima, la parabola è traslata. Avrai dunque una soluzione negativa

Analogamente al caso precedente, Negativa perché in x = 0 la parabola è maggiore dell'esponenziale, ma deve essere "superata" da questa, poiché l'esponenziale è un infinito maggiore?

Grazie Piero per le spiegazioni e per le mie ulteriori domande!