Ordine di infinitesimo
So che può sembrare una domanda stupida, ma vi sottopongo questo quesito perchè mi è venuto fuori in un argomento di fisica, ma ho le conoscenze di analisi un po' arrugginite.
Considerato tale limite
$lim_(x->oo)(x*|(1/x)-(1/x)|)=0$
allora la funzione in modulo è infinitesimo di ordine superiore a 1? Perchè?
Grazie
Considerato tale limite
$lim_(x->oo)(x*|(1/x)-(1/x)|)=0$
allora la funzione in modulo è infinitesimo di ordine superiore a 1? Perchè?
Grazie
Risposte
Ma la funzione racchiusa nel valore assoluto non è identicamente nulla per ogni $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$?
In generale se tu hai 2 funzioni infinitesime, cioè $f, g$ tali che per $x \to x_0$ si ha $f(x) \to 0$, $g(x) \to 0$, si dice che $f$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $g$ per $x \to x_0$ se
$\lim_{x \to x_0} f(x) / g(x) =0$
In altre parole $f$ va a 0 "più velocemente" di $g$.
Nel tuo caso la funzione dentro al valore assoluto è, come dice Tipper, proprio 0 (non è che ci tende, lo è).
Per cui se fai
$\lim_{x \to + \infty} \frac{1/x - 1/x}{1} = 0$
Paola
$\lim_{x \to x_0} f(x) / g(x) =0$
In altre parole $f$ va a 0 "più velocemente" di $g$.
Nel tuo caso la funzione dentro al valore assoluto è, come dice Tipper, proprio 0 (non è che ci tende, lo è).
Per cui se fai
$\lim_{x \to + \infty} \frac{1/x - 1/x}{1} = 0$
Paola
Ha ragione Tipper.La funzione $|1/x-1/x|$ si riduce alla costante 0 e non è infinitesima per $x rightarrow +oo$
Pertanto,secondo me, il confronto è improponibile.
Ciao
Pertanto,secondo me, il confronto è improponibile.
Ciao
Uhm, secondo me lo è invece.. Dopotutto il suo limite per $x \to \infty$ è 0.
Paola
Paola
Il limite è 0 anche per x->a dove a è un qualsiasi valore reale.Il fatto è ,e su questo penso di non sbagliare ,che la nostra funzione di partenza è f(x)=1/x-1/x=0 e quindi essa non è un infinitesimo ma è definitivamente (oserei eternamente !) nulla.Una cosa è un infinitesimo ed un'altra è una quantità assolutamente nulla.
Ciao
Ciao
Alzo le mani, io non ne ho la certezza!
Grazie del chiarimento!
Paola
Grazie del chiarimento!
Paola
Questi discorsi mi sembrano assai simili alla storia del grado del polinomio nullo. Dei miei due docenti di algebra uno diceva che non si può calcolare mentre l'altro diceva che valeva $-oo$.
Anche qui mi pare la stessa cosa
ed è perfettamente corretto come ragionamento, ma anche dire
"il suo grado di infinitesimo è superiore a quello di qualsiasi altra funzione" oppure
"il suo grado di infinitesimo è $+oo$"
non mi sembra così assurdo, tanto comunque siamo tutti d'accordo che il risultato del limite è 0.
Anche qui mi pare la stessa cosa
Il limite è 0 anche per x->a dove a è un qualsiasi valore reale.Il fatto è ,e su questo penso di non sbagliare ,che la nostra funzione di partenza è f(x)=1/x-1/x=0 e quindi essa non è un infinitesimo ma è definitivamente (oserei eternamente !) nulla.Una cosa è un infinitesimo ed un'altra è una quantità assolutamente nulla.
Ciao
ed è perfettamente corretto come ragionamento, ma anche dire
"il suo grado di infinitesimo è superiore a quello di qualsiasi altra funzione" oppure
"il suo grado di infinitesimo è $+oo$"
non mi sembra così assurdo, tanto comunque siamo tutti d'accordo che il risultato del limite è 0.
Provate a considerare la stessa domanda con la funzione
$|(a/x)-(b/x)|$ con $a,b in RR-{0}$ e $a!=b$
Quindi:
$lim_(x->oo)(x*|(a/x)-(b/x)|)=?$
e focalizzare l'attenzione sull'ordine di infinitesimo della funzione suddetta.
$|(a/x)-(b/x)|$ con $a,b in RR-{0}$ e $a!=b$
Quindi:
$lim_(x->oo)(x*|(a/x)-(b/x)|)=?$
e focalizzare l'attenzione sull'ordine di infinitesimo della funzione suddetta.
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