Ordine di infinitesimo
Buonasera a tutti...sto facendo qualche esercizio riguardante gli ordini di infinito e di infinitesimo.
Ho questo semplice e vorrei una mano a capire se ho fatto bene:
provare che $ x-ln(x^2+1) $ per $ xrarr 0 $
sia un infinitesimo di ordine 2
Allora io ho fatto: $ lim_(xrarr 0)x-ln(x^2+1) $
che è $ =0 $ e quindi è un infinitesimo.
poi ho fatto:
infinitesimo campione $ varphi (x)=x $
occorre determinare $ alpha >0 $
in modo che
$ lim_(xrarr 0)[x-ln(x^2 +1)]/x^2 $ sia finito e $ != 0 $
per $ alpha =2 $
il limite mi viene $ -1 $
e quindi è provato.
Dove sbaglio.
Ringrazio anticipatamente per ogni eventuale chiarimento
Ho questo semplice e vorrei una mano a capire se ho fatto bene:
provare che $ x-ln(x^2+1) $ per $ xrarr 0 $
sia un infinitesimo di ordine 2
Allora io ho fatto: $ lim_(xrarr 0)x-ln(x^2+1) $
che è $ =0 $ e quindi è un infinitesimo.
poi ho fatto:
infinitesimo campione $ varphi (x)=x $
occorre determinare $ alpha >0 $
in modo che
$ lim_(xrarr 0)[x-ln(x^2 +1)]/x^2 $ sia finito e $ != 0 $
per $ alpha =2 $
il limite mi viene $ -1 $
e quindi è provato.
Dove sbaglio.
Ringrazio anticipatamente per ogni eventuale chiarimento
Risposte
scusate....ho sbagliato in quanto il limite è $ oo $
Pertanto non capisco più niente....qualcuno può spiegarmi gentilmente gli ordini di infinito e d'infinitesimo
Grazie
Pertanto non capisco più niente....qualcuno può spiegarmi gentilmente gli ordini di infinito e d'infinitesimo
Grazie
Io sapevo che date due funzioni f e g infinitesime/infinite per $x\rightarrowx_0$, se $EE
a\inRR_0^+:lim_(x ->x_0 ) f(x)/(g(x)^a)=l!=0$ allora f é un infinitesimo/infinito di ordine $a$ rispetto all infinitesimo/infinito campione g.
Però credo che questo lo sai già. Non so, a me quello che hai fatto sembra corretto ma non sono affidabile
aspettiamo qualcuno più esperto.
a\inRR_0^+:lim_(x ->x_0 ) f(x)/(g(x)^a)=l!=0$ allora f é un infinitesimo/infinito di ordine $a$ rispetto all infinitesimo/infinito campione g.
Però credo che questo lo sai già. Non so, a me quello che hai fatto sembra corretto ma non sono affidabile
aspettiamo qualcuno più esperto.
ok...grazie comunque
vado con un altro:
$ f(x)=x^2-ln(x+1) $
il problema vuole sapere se è un infinitesimo di ordine 2
Allora, intanto per vedere se è un infinitesimo faccio
$ lim_(xrarr 0)x^2-ln(x+1)=0 $ e quindi essendo = 0 è un infinitesimo.
Per provare se è di ordine 2 faccio
$ lim_(xrarr 0)(x^2-ln(x+1))/x^2 =-oo $ e pertanto anche questo non è di ordine 2.
Ho fatto bene??
E per sapere di che ordine è come devo fare??
$ f(x)=x^2-ln(x+1) $
il problema vuole sapere se è un infinitesimo di ordine 2
Allora, intanto per vedere se è un infinitesimo faccio
$ lim_(xrarr 0)x^2-ln(x+1)=0 $ e quindi essendo = 0 è un infinitesimo.
Per provare se è di ordine 2 faccio
$ lim_(xrarr 0)(x^2-ln(x+1))/x^2 =-oo $ e pertanto anche questo non è di ordine 2.
Ho fatto bene??
E per sapere di che ordine è come devo fare??
Ne ho un altro che mi chiede:
$ f(x)=x^(1/3) *log (1+x) $ dove $ x^(1/3) $ è la radice cubica di x.
E' un infinitesimo di ordine > 2 per $ xrarr 0 $ ??
Allora:
è un infinitesimo perché $ lim_(xrarr 0)x^(1/3)*log (1+x)=0 $
Ma per provare se è un infinitesimo >2 come devo procedere??
Grazie sempre.
$ f(x)=x^(1/3) *log (1+x) $ dove $ x^(1/3) $ è la radice cubica di x.
E' un infinitesimo di ordine > 2 per $ xrarr 0 $ ??
Allora:
è un infinitesimo perché $ lim_(xrarr 0)x^(1/3)*log (1+x)=0 $
Ma per provare se è un infinitesimo >2 come devo procedere??
Grazie sempre.
Non vorrei aver postato nella sezione sbagliata. Nel caso come posso spostare l'intera discussione in un'altra sezione???
Scusami @melia, in qualità di moderatore, riusciresti a spostare questa mia discussione nella sezione "Università - analisi di matematica di base" perché penso, come ho detto sopra, di aver postato nella sezione sbagliata e magari lì qualcuno potrebbe rispondermi, più che altro per sapere gli errori che faccio e se ciò che ho svolto ha, invece, qualcosa di buono.
Grazie.
Grazie.
Provo a svolgere l'ultimo esercizio:
$ lim_(xrarr 0)x^((1/3)*log(1+x))/x^alpha $
a seguire però molto probabilmente sbaglio:
$ lim_(xrarr 0)(x^((1/3))*x^(1/3)*log(1-x))/[(x^alpha)*x^(1/3)] $
$ lim_(xrarr 0)x*lim_(xrarr 0)log(1+x)/x^(alpha +1/3 $
ma se non ho sbagliato come devo procedere successivamente per dimostrare che è un infinitesimo di ordine > 2??
$ lim_(xrarr 0)x^((1/3)*log(1+x))/x^alpha $
a seguire però molto probabilmente sbaglio:
$ lim_(xrarr 0)(x^((1/3))*x^(1/3)*log(1-x))/[(x^alpha)*x^(1/3)] $
$ lim_(xrarr 0)x*lim_(xrarr 0)log(1+x)/x^(alpha +1/3 $
ma se non ho sbagliato come devo procedere successivamente per dimostrare che è un infinitesimo di ordine > 2??
Ovviamente il log non è all'esponente.
"rollitata":
Provo a svolgere l'ultimo esercizio:
$ lim_(xrarr 0)x^((1/3)*log(1+x))/x^alpha $
a seguire però molto probabilmente sbaglio:
$ lim_(xrarr 0)(x^((1/3))*x^(1/3)*log(1-x))/[(x^alpha)*x^(1/3)] $
$ lim_(xrarr 0)x*lim_(xrarr 0)log(1+x)/x^(alpha +1/3 $
ma se non ho sbagliato come devo procedere successivamente per dimostrare che è un infinitesimo di ordine > 2??
riscrivo il limite per vedere se ciò che considero è corretto:
$lim_(x->0) (root(3)x * log(1+x))/x^(alpha)$ e vuoi che sia finito.
dobbiamo solo usare lo sviluppo asintotico (o limite notevole) del logaritmo, ovvero $log(1+x) ~~ x$ oppure, che è la stessa cosa $(log(1+x)) / x ~~ 1$ quando $x->0$
questo è proprio ciò che succede nel nostro caso. dunque applicando quanto detto sopra (non riscrivo il simbolo del limite ma andrebbe fatto), ottengo che il limite diventa $(root(3)x*x)/x^(alpha)$ che con le proprietà delle potenze puoi riscrivere come $1/(x^(alpha -4/3))$
sapresti continuare?
EDIT: mi sono accorto ora che non è quello che volevi. a me però sembra che quello sia un infinitesimo di ordine <2
Grazie cooper...però penso di aver fatto confuzione io e ti ho portato in confusione anche a te.
la funzione per $ xrarr 0 $ dell'esercizio è questa: $ x^(1/3)*log(1+x) $ dove $ x^(1/3) $ è la radice cubica di x (ma non so come si scrive).
Poi il "pezzo" che hai messo era come lo stavo svolgendo...ma non so se era giusto fino a lì...
la funzione per $ xrarr 0 $ dell'esercizio è questa: $ x^(1/3)*log(1+x) $ dove $ x^(1/3) $ è la radice cubica di x (ma non so come si scrive).
Poi il "pezzo" che hai messo era come lo stavo svolgendo...ma non so se era giusto fino a lì...
Se però è giusto allora per avere un valore finito diverso da 0 devo avere $ alpha > 4/3 $ ???
Approfitto della tua bontà e disponibilità chiedendoti di dare un'occhiata anche ai precedenti perché anche lì penso di essere andata fuori strada.
se così fosse avresti $1/x$ che non è definito per $x->0$.
perchè faccia un valore finito deve essere: $alpha <= 4/3$. così l'esponente sale ed il limite fa 0.
due cose ora mi lasciano perplesso:
1. il limite non farà mai una costante non nulla mi sembra
2. sicuramente per $alpha > 2$ il limite diverge o non esiste (più il secondo se non è $0^(+-)$)
quindi in realtà non saprei come risolvere l'esercizio.
il filo logico di porre $f(x)/x^(alpha)$ mi sembrava corretto, i conti che hai fatto invece non li ho capiti.
cita il mio messaggio dove risolvo il limite che capisci come l'ho scritta.
adesso un secondo e guardo anche il primo.
perchè faccia un valore finito deve essere: $alpha <= 4/3$. così l'esponente sale ed il limite fa 0.
due cose ora mi lasciano perplesso:
1. il limite non farà mai una costante non nulla mi sembra
2. sicuramente per $alpha > 2$ il limite diverge o non esiste (più il secondo se non è $0^(+-)$)
quindi in realtà non saprei come risolvere l'esercizio.
"rollitata":
.ma non so se era giusto fino a lì...
il filo logico di porre $f(x)/x^(alpha)$ mi sembrava corretto, i conti che hai fatto invece non li ho capiti.
"rollitata":
è la radice cubica di x (ma non so come si scrive)
cita il mio messaggio dove risolvo il limite che capisci come l'ho scritta.
adesso un secondo e guardo anche il primo.
bha mi sembra che i tuoi svolgimenti siano corretti e quindi non sono infinitesimi di ordine 2.
sei sicura che l'infinito campione sia x e non magari $sqrtx$?
comunque per svolgere questi esercizi devi prendere la tua funzione e dividerla per l'infinito campione elevato all'ordine di infinitesimo richiesto. se questo limite (per $x->x_0$) risulta finito e non nullo, allora hai dimostrato che la tua funzione rispetto all'infinitesimo campione è di ordine $alpha$ (esponente a cui hai elevato il denominatore). ciò vuol dire che il limite non deve venire l'ordine di infinitesimo. quindi se il tuo primo limite fosse venuto davvero -1 allora avevi concluso l'esercizio.
sei sicura che l'infinito campione sia x e non magari $sqrtx$?
comunque per svolgere questi esercizi devi prendere la tua funzione e dividerla per l'infinito campione elevato all'ordine di infinitesimo richiesto. se questo limite (per $x->x_0$) risulta finito e non nullo, allora hai dimostrato che la tua funzione rispetto all'infinitesimo campione è di ordine $alpha$ (esponente a cui hai elevato il denominatore). ciò vuol dire che il limite non deve venire l'ordine di infinitesimo. quindi se il tuo primo limite fosse venuto davvero -1 allora avevi concluso l'esercizio.
Allora la risoluzione dell'ultimo esercizio è come hai fatto tu??
per quanto riguarda gli altri sono tutti con x che tende a 0 e per me l'infinitesimo campione è uguale a x.
Quindi nell'ultimo esercizio (lasciando stare i miei calcoli) $ alpha <=4/3 $ ??
E allora non sarebbe di ordine > 2.
Ho capito bene?
per quanto riguarda gli altri sono tutti con x che tende a 0 e per me l'infinitesimo campione è uguale a x.
Quindi nell'ultimo esercizio (lasciando stare i miei calcoli) $ alpha <=4/3 $ ??
E allora non sarebbe di ordine > 2.
Ho capito bene?
Insomma in teoria (grazie soprattutto al tuo aiuto cooper) qualcosa ho capito, però ancora ho difficoltà con gli esercizi.
A quanto capisco i primi 2 dovrebbero essere corretti (pertanto non sono di ordine 2) mentre l'ultimo non ho capito.
scusami....
A quanto capisco i primi 2 dovrebbero essere corretti (pertanto non sono di ordine 2) mentre l'ultimo non ho capito.
scusami....
"rollitata":
Allora la risoluzione dell'ultimo esercizio è come hai fatto tu??
per quanto riguarda gli altri sono tutti con x che tende a 0 e per me l'infinitesimo campione è uguale a x.
Quindi nell'ultimo esercizio (lasciando stare i miei calcoli) $ alpha <=4/3 $ ??
E allora non sarebbe di ordine > 2.
Ho capito bene?
hai capito bene tutto.
"rollitata":
l'ultimo non ho capito.
scusami....
don't worry
allora, siamo arrivati ad avere $1/(x^(alpha -4/3))$
perchè si abbia un qualche ordine di infinitesimo il limite deve essere finito. studiamo quel limite al variare del parametro:
1. se $alpha =4/3$ l'esponente fa 0 e dunque ottieni $1/x^0=1$
2. se $alpha > 4/3$ l'esponente è positivo e quindi la x resta al denominatore, ovvero hai qualcosa che va (al di là dell'esponente) come $1/x$ che non esiste o comunque non è finito
3. se $alpha < 4/3$ l'esponente è negativo e dato che è al denominatore, per la proprietà delle potenze, è come se avessi $x$. dunque il limite fa 0
[/list:u:3sp5v33o]
quindi possiamo concludere che l'ordine di infinitesimo è $4/3$ (perchè è l'unico valore del limite che è finito e non nullo - vedi la definizione che ti hanno dato all'inizio).
P.S. svolgendolo ho dipanato le mie perplessità.
(almeno in parte)in conclusione a me sembra che la risposta sia: ordine di infinitesimo di $4/3 $ che però è $<2$.
Grazie tante cooper....sei stato veramente gentile:
Quindi ricapitolando vediamo se va bene:
1) nel primo esercizio l'ordine di infinitesimo non è uguale a 2
2) stessa cosa nel secondo ovvero non è nemmeno uguale a 2;
3) l'ordine di infinitesimo del terzo esercizio è 4/3 e quindi non è > 2
Giusto??
Quindi ricapitolando vediamo se va bene:
1) nel primo esercizio l'ordine di infinitesimo non è uguale a 2
2) stessa cosa nel secondo ovvero non è nemmeno uguale a 2;
3) l'ordine di infinitesimo del terzo esercizio è 4/3 e quindi non è > 2
Giusto??
io direi di si
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