Onda e studio di funzione (Maturità)
Allora ragazzi io nella mia tesina per l'esame di maturità orale ho inserito lo studio di funzione di un onda come argomento, e vorrei, se è possibile, un aiuto da voi.. Sono principiante di questo forum ma se gentilmente potreste aiutarmi ne sarei molto grato..
Vorrei iniziare la mia tesina dicendo questo:
"
In matematica le onde sono descritte da funzioni sinusoidali. La sinusoide è la curva che rappresenta la funzione y =sin(x) nel piano cartesiano. Si chiamano funzioni sinusoidali, invece, quelle funzioni che si possono ottenere dalla funzione y=sin(x) con trasformazioni elementari. "
E poi svolgere lo studio di una funzione seno.. è corretto secondo voi?? Grazie mille!!
Vorrei iniziare la mia tesina dicendo questo:
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In matematica le onde sono descritte da funzioni sinusoidali. La sinusoide è la curva che rappresenta la funzione y =sin(x) nel piano cartesiano. Si chiamano funzioni sinusoidali, invece, quelle funzioni che si possono ottenere dalla funzione y=sin(x) con trasformazioni elementari. "
E poi svolgere lo studio di una funzione seno.. è corretto secondo voi?? Grazie mille!!
Risposte
Benvenuto nel forum. Quello che dici è corretto ma toglierei l'invece perché anche la sinusoide è una funzione sinusoidale; inoltre non mi soffermerei a lungo sullo studio della funzione seno perché un po' banale. Invece puoi insistere sulle onde e far notare che il grafico è sinusoidale in funzione sia del tempo che della posizione.
Grazie mille giammaria!!! Il fatto è che io nella mappa concettuale che ho consegnato ho scritto già come argomento studio di funzione di un onda... secondo voi quale funzione posso scegliere da studiare?
Che ne pensate se faccio così? In una slide metto il grafico della funzione y=sin(x) e spiego la funzione sinusoidale poi la slide successiva metto il grafico che sarebbe questo:
e spiego che questa è una funzione sinusoidale che varia a seconda delle sue variabili A, Periodo e lunghezza d'onda...
anche perché la mia esposizione deve durare 15 minuti con tutte le materie.. secondo voi va bene?? Grazie mille....
e spiego che questa è una funzione sinusoidale che varia a seconda delle sue variabili A, Periodo e lunghezza d'onda...
anche perché la mia esposizione deve durare 15 minuti con tutte le materie.. secondo voi va bene?? Grazie mille....
"Realscorpion":
Vorrei iniziare la mia tesina dicendo questo:
"
In matematica le onde sono descritte da funzioni sinusoidali [....]"
Ma questo non è vero, come dovrebbe sapere bene qualunque studente di un tecnico industriale e quindi, a maggior ragione, uno studente del liceo.
Un fenomeno ondulatorio è un fenomeno fisico che si può descrivere usando un'opportuna funzione periodica (per lo più continua, ma non è strettamente necessario).
Ad esempio, questo:
[asvg]xmin=0;xmax=10; ymin=-5; ymax=5;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-1,-2],[1,2]); line([1,2],[3,-2]); line([3,-2],[5,2]); line([5,2],[7,-2]); line([7,-2],[9,2]); line([9,2],[11,-2]);[/asvg]
è il grafico di un'onda triangolare di ampiezza \(2\) e periodo \(4\); mentre questo:
[asvg]xmin=0;xmax=10; ymin=-5; ymax=5;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-1,-1],[0,-1]); line([0,1],[1,1]); line([1,-1],[2,-1]); line([2,1],[3,1]); line([3,-1],[4,-1]); line([4,1],[5,1]); line([5,-1],[6,-1]); line([6,1],[7,1]); line([7,-1],[8,-1]); line([8,1],[9,1]); line([9,-1],[10,-1]); line([10,1],[11,1]);[/asvg]
è quella che di solito si chiama un'onda quadra di ampiezza \(1\) e periodo \(2\) (il nome deriva dal fatto che il "mattoncino" fondamentale con cui si costruisce la forma d'onda è un quadratino di lato unitario).
Queste forme d'onda, per quanto strane siano, sono oltremodo importanti in tutte le applicazioni ingegneristiche della Matematica... E, beh, sono ben lontane dall'essere delle onde sinusoidali!
Quindi le onde sinusoidali sono un tipo particolarissimo, e molto semplice, di onde; ma non rappresentano affatto tutte le onde, come hai implicitamente affermato nell'incipit della tua tesina.
***
Inoltre, una nota a latere sul grafico che hai postato.
"Realscorpion":
Che ne pensate se faccio così? In una slide metto il grafico della funzione y=sin(x) e spiego la funzione sinusoidale poi la slide successiva metto il grafico che sarebbe questo:
e spiego che questa è una funzione sinusoidale che varia a seconda delle sue variabili A, Periodo e lunghezza d'onda...
anche perché la mia esposizione deve durare 15 minuti con tutte le materie.. secondo voi va bene?? Grazie mille....
La distanza tra le due creste, nel tuo grafico, non rappresenta la lunghezza d'onda \(\lambda\), ma il periodo \(T\) dell'onda.
Infatti, sulle ascisse tu hai rappresentato un tempo (che si misura in secondi), mentre la lunghezza d'onda è una lunghezza (che si misura in metri)... Quindi la grandezza variabile sulle ascisse (cioé il tempo) non può essere usata per misurare quella che indichi con il trattino giallo (la lunghezza d'onda), perché esse hanno unità di misura differenti e sono fisicamente mooolto differenti.
Tuttavia, se assumi che l'onda si propaghi con velocità costante \(v\) (ma questa è un'ipotesi che devi fare di tua spontanea volontà, non è detto che accada realmente nel fenomeno che vuoi descrivere), allora \(\lambda\) e \(T\) sono legate dalla relazione:
\[
\frac{\lambda}{T}=v\; ,
\]
che esprime il fatto che la velocità del fronte d'onda è uguale (con tutte le approssimazioni del caso...) al rapporto tra lo spazio percorso, cioé la lunghezza d'onda \(\lambda\), ed il tempo impiegato, cioé il periodo \(T\).
La relazione precedente è, in via definitiva, una relazione di proporzionalità diretta, perché si riscrive:
\[
\lambda = v\ T
\]
o equivalentemente:
\[
T=\frac{1}{v}\ \lambda\; .
\]
Quindi, è solo sotto l'ipotesi forte di uniformità del moto dei fronti d'onda (cioé \(v=\text{costante}\)) che la quantità \(T\) (misurata in giallo sul tuo grafico) può essere "identificata" con \(\lambda\); ma tale identificazione non è mai diretta, in quanto è sempre mediata dalla presenza fattore di proporzionalità (cioé la velocità costante \(v\)).
Grazie mille per il tuo intervento!!!!
Quindi è giusto se scrivo questo??
Un fenomeno ondulatorio è un fenomeno fisico che si può descrivere usando un'opportuna funzione periodica (possiamo avere onda quadrata, onda triangolare)
Ma In matematica, le onde, possono essere anche descritte da funzioni sinusoidali. La sinusoide è la curva che rappresenta la funzione y =sin(x) nel piano cartesiano. Si chiamano funzioni sinusoidali, quelle funzioni che si possono ottenere dalla funzione y=sin(x) con trasformazioni elementari.
Prendiamo in considerazione un’onda periodica in particolare di tipo armonico; si dice periodica quando ogni elemento del mezzo materiale ripete lo stesso movimento a intervalli di tempo regolari.
E’ caratterizzata dalle seguenti grandezze:
1) Periodo T: è il più piccolo intervallo di tempo (quello di un’oscillazione completa) dopo il quale il moto riassume le stesse caratteristiche in ogni punto del mezzo in cui si propaga l’onda.
2) Frequenza v: rappresenta il numero di vibrazioni complete che avvengono in un secondo.
La relazione tra periodo e frequenza è v=1/T
L’unità di misura della frequenza, rappresentata da un oscillazione al secondo, si chiama Hertz.
3) Lunghezza d’onda λ: è la distanza percorsa dall’onda in un periodo o anche la distanza minima tra due punti in cui lo spostamento dalla configurazione di equilibrio assume lo stesso valore.
4) Ampiezza: rappresenta il massimo spostamento dalla posizione di equilibrio ed è uguale sia per gli spostamenti positivi sia per quelli negativi.
Nel grafico seguente si nota lo spostamento dalla posizione di equilibrio di un punto qualsiasi del mezzo elastico in funzione del tempo.
Se come abbiamo supposto l’onda è armonica si ottiene una sinusoide che rappresenta il diagramma orario del moto.
Dalla figura sottostante si vede chiaramente che lo spostamento è una funzione periodica del tempo di periodo T.
L’equazione dell’onda permette di calcolare in ogni istante lo spostamento dalla posizione di equilibrio di un qualsiasi punto del mezzo. Essa ha la seguente forma:
y=Asin2π(t/T-x/λ)
Quindi è giusto se scrivo questo??
Un fenomeno ondulatorio è un fenomeno fisico che si può descrivere usando un'opportuna funzione periodica (possiamo avere onda quadrata, onda triangolare)
Ma In matematica, le onde, possono essere anche descritte da funzioni sinusoidali. La sinusoide è la curva che rappresenta la funzione y =sin(x) nel piano cartesiano. Si chiamano funzioni sinusoidali, quelle funzioni che si possono ottenere dalla funzione y=sin(x) con trasformazioni elementari.
Prendiamo in considerazione un’onda periodica in particolare di tipo armonico; si dice periodica quando ogni elemento del mezzo materiale ripete lo stesso movimento a intervalli di tempo regolari.
E’ caratterizzata dalle seguenti grandezze:
1) Periodo T: è il più piccolo intervallo di tempo (quello di un’oscillazione completa) dopo il quale il moto riassume le stesse caratteristiche in ogni punto del mezzo in cui si propaga l’onda.
2) Frequenza v: rappresenta il numero di vibrazioni complete che avvengono in un secondo.
La relazione tra periodo e frequenza è v=1/T
L’unità di misura della frequenza, rappresentata da un oscillazione al secondo, si chiama Hertz.
3) Lunghezza d’onda λ: è la distanza percorsa dall’onda in un periodo o anche la distanza minima tra due punti in cui lo spostamento dalla configurazione di equilibrio assume lo stesso valore.
4) Ampiezza: rappresenta il massimo spostamento dalla posizione di equilibrio ed è uguale sia per gli spostamenti positivi sia per quelli negativi.
Nel grafico seguente si nota lo spostamento dalla posizione di equilibrio di un punto qualsiasi del mezzo elastico in funzione del tempo.
Se come abbiamo supposto l’onda è armonica si ottiene una sinusoide che rappresenta il diagramma orario del moto.
Dalla figura sottostante si vede chiaramente che lo spostamento è una funzione periodica del tempo di periodo T.
L’equazione dell’onda permette di calcolare in ogni istante lo spostamento dalla posizione di equilibrio di un qualsiasi punto del mezzo. Essa ha la seguente forma:
y=Asin2π(t/T-x/λ)
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