Oh mamma, i numeri complessi!!!

[Marko.19]

Dovrei rappresentare geometricamente i punti del piano di Gauss nei quali il diagramma di questa funzione interseca l'asse reale. La funzione è:

(z^2) + (z * z coniugato) + i - 2

Come si fa??????? Aspetto con ansia i vostri suggerimenti :hi

[ciampax]

Allora, quello che devi fare è risolvere un sistema di equazioni. Per prima cosa riscrivo la funzione complessa:

[math]z^2+z\cdot\bar{z}+i-2[/math]

Tale funzuione interseca l'asse reale quando il numero complesso che essa rappresenta risulta un numero reale: infatti, per definizione un numero complesso si individua tramite una coppia di punti

[math](a,b)[/math]

nel piano cartesiano che danno luogo al numero complesso

[math]a+i b[/math]

. Esso risulta giacere sull'asse reale quando la coordinata

[math]b=0[/math]

(e quindi il numero è della forma

[math]a+i 0=(a,0)[/math]

, che è appunto un punto dell'asse reale).

Procediamo con l'esercizio: indichiamo

[math]z=x+i y[/math]

il numero complesso

[math]z[/math]

. Allora

[math]z^2=(x+i y)^2=x^2+2i xy+(i y)^2=x^2+2i xy-y^2[/math]

[math]z\cdot\bar{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-(iy)^2=x^2+y^2[/math]

e quindi

[math]z^2+z\cdot\bar{z}+i-2=x^2+2i xy-y^2+x^2+y^2+i-2=(2x^2-2)+i(2xy+1)[/math]

Dobbiamo allora imporre che

[math]2xy+1=0[/math]

e quindi si ha la funzione

[math]y=-\frac{1}{2x}[/math]

che rappresenta una iperbole. Tutti i suoi punti danno luogo a numeri complessi per cui la funzione precedente risulta reale e quindi la risposta che cercavi.


P.S.: mi fa piacere che ti piaccia questo forum, ma in futuro ti pregherei di leggere queste due discussioni

https://forum.skuola.net/matematica-fisica/regolamento-sezione-importante-da-leggere-17550.html

https://forum.skuola.net/matematica-fisica/guida-per-scrivere-formule-matematiche-1844.html

e di comportarti conformemente alle regole della sezione.

Inoltre, dal momento che sei uno studente universitario, gradirei che quando postassi le tue richieste abbozzassi anche tu un minimo di procedimento e non aspettassi la manna dal cielo. Non per criticare, ma visto che probabilmente devi studiare analisi, sarebbe meglio che tu cercassi di risolvere da te prima di chiedere! E te lo dice un docente universitario di matematica! :lol

[Marko.19]

Grazie mille Ciampax, non hai idea di come il tuo aiuto sia importante in questo momento! comunque è ovvio che io abbia provato a risolvere prima da solo, non hai idea di quanto ci abbia sbattuto la testa! però in certi casi non avendo la minima idea di come fare, dovendo studiare sempre da solo, e stando a pochi giorni dalla prova ho cercato aiuto qui...e l'ho trovato alla grande! infatti molti altri esercizi li ho risolti da me (vari studi di diagrammi, equazioni differenziali,ecc..).
Ho letto il regolamento ai link che mi hai postato. Userò un linguaggio più consono e titoli delle discussioni più appropriati. Inoltre come avrai notato nei nuovi post ho abbozzato i miei ragionamenti, come mi hai consigliato.
Grazie ancora di tutto!! Sei un mito!!!

[ciampax]

Prego, mi fa piacere essere d'aiuto.