Nuovo metodo per risolvere un limite per x->infinito ?
Ciao a tutti, mi sono appena registrato, e premetto che ciò che sto per scrivervi potrebbe essere sbagliato, ma credo di aver trovato un metodo rapido per risolvere un limite per x che tende a infinito...
L'altro giorno ero in classe e mi sono trovato di fronte un'equazione del genere:
$\lim_{x \to \infty}(x^2-5x+1-xsqrt(x^2-1))/(sqrt(x^2-1))$
Il professore ha iniziato a tentare diversi metodi come la razionalizzazione, ma senza risultati soddisfacenti... ci è riuscito solo dopo lunghi calcoli con un metodo che ha detto che impareremo in seguito, del quale non ricordo il nome (Scusate in anticipo per l'ignoranza, dello studio di funzioni abbiamo studiato solo i limiti e come trovare asintoti verticali, orizzontali ed obliqui).
Io, dato che con la razionalizzazione non riuscivo a trovare il limite, e non ero a conoscenza del nuovo metodo, ho provato a giungere alla soluzione con una mia strada. Il ragionamento che ho fatto è stato questo:
al numeratore abbiamo $x^2-5x+1-xsqrt(x^2-1)$ sostituendo l'infinito alla x otteniamo: un infinito di secondo ordine, meno 5 volte un infinito di primo ordine. Il +1 non influisce sul calcolo, in quanto infinito +1 resta sempre infinito, e poi un meno infinito di primo ordine che moltiplica una radice di un infinito di secondo ordine meno uno (Che può essere tolto in quanto non influisce sul calcolo). Avremo quindi al numeratore: $oo^2-5oo-oo(sqrt(oo^2))$
al denominatore avremo invece radice di infinito di secondo ordine meno uno (Che può essere eliminato in quanto non influisce sul calcolo). scrivendo quindi l'intera equazione, dopo la sostituzione avremo: $(oo^2-5oo-oo(sqrt(oo^2)))/(sqrt(oo^2))$.
Sempre secondo il mio ragionamento $sqrt(oo^2)=oo$, da cui: $(oo^2-5oo-oo(oo))/(oo)$ e quindi $(oo^2-5oo-oo^2)/(oo)$ poi al numeratore $oo^2-oo^2$ si annullano e resta $(-5oo)/(oo)$ i due infiniti si semplificano e resta -5, risultato al quale è giunto il mio professore solo dopo aver riempito di calcoli due lavagne. Ho provato anche con altri limiti, e devo dire che il sistema ha sempre funzionato.
Ci tengo a sottolineare che un metodo per vedere con maggior chiarezza il risultato è continuare a ridurre di ordine i vari infiniti fino ad avere davanti agli occhi la soluzione. Mi spiego meglio:
$\lim_{x \to \infty}((x+3)/(x^2+4x+4))$
Nonostante sia possibile osservare che l'infinito è di ordine superiore al denominatore, e quindi il rapporto tenderà a zero, voglio mostrare come con il mio metodo sia possibile raggiungere ugualmente la soluzione.
Sostituiamo infinito ad x:
$\lim_{x \to \infty}((oo+3)/(oo^2+4oo+4))$
Come detto i termini noti non influiscono sul calcolo, in quanto infinito più o meno una quantità inferiore all'infinito stesso resta sempre infinito. Per cui abbiamo:
$\lim_{x \to \infty}(oo/(oo^2+4oo))$
Un passaggio che si può effettuare per individuare rapidamente il risultato (Ed applicabile anche al primo limite mostrato nella discussione) è quallo di ridurre di un ordine tutti gli infiniti. Scriviamo:
$\lim_{x \to \infty}(1/(oo+4))$
Il 4 non influisce sul calcolo e possiamo eliminarlo. Scriviamo:
$\lim_{x \to \infty}(1/(oo))$
Che dà come risultato proprio lo zero.
In questo caso il calcolo è stato più lungo, e sarebbe bastato guardare gli ordini degli infiniti, ma in altri casi è possibile abbreviare di molto i calcoli.
Volendo fare un altro esempio:
$\lim_{x \to \infty}((3x^2-x+24)/(15+sqrt(x^5+38)))$
sostituiamo gli infiniti ed eliminiamo i termini noti:
$\lim_{x \to \infty}((3oo^2-oo)/(sqrt(oo^5)))$
Portiamo fuori radice ciò che è possibile:
$\lim_{x \to \infty}((3oo^2-oo)/(oo^2sqrt(oo)))$
riduciamo di un ordine gli infiniti:
$\lim_{x \to \infty}((3oo-1)/(oosqrt(oo)))$
eliminiamo i termini noti:
$\lim_{x \to \infty}((3oo)/(oosqrt(oo)))$
riduciamo di un altro ordine:
$\lim_{x \to \infty}((3)/(sqrt(oo)))$
Il risultato è proprio zero. Il metodo può sembrare lungo in quanto illustro e spiego ogni passaggio, ma in molti casi potrebbe risultare utile e velocizzare i calcoli. Ovviamente lascio a voi esperti esprimere un parere, io ho solo cercato di trovare una strada alternativa
Premetto che il metodo proposto non altererebbe i risultati, in quanto tiene conto dei tre parametri fondamentali: ordine dell'infinito, segno e coefficiente.
Voi cosa ne pensate? È soltanto un caso fortuito o credete che in qualche modo possa realmente contribuire a semplificare i calcoli?
Ringrazio in anticipo per ogni parere, positivo o negativo.
Andrea.
L'altro giorno ero in classe e mi sono trovato di fronte un'equazione del genere:
$\lim_{x \to \infty}(x^2-5x+1-xsqrt(x^2-1))/(sqrt(x^2-1))$
Il professore ha iniziato a tentare diversi metodi come la razionalizzazione, ma senza risultati soddisfacenti... ci è riuscito solo dopo lunghi calcoli con un metodo che ha detto che impareremo in seguito, del quale non ricordo il nome (Scusate in anticipo per l'ignoranza, dello studio di funzioni abbiamo studiato solo i limiti e come trovare asintoti verticali, orizzontali ed obliqui).
Io, dato che con la razionalizzazione non riuscivo a trovare il limite, e non ero a conoscenza del nuovo metodo, ho provato a giungere alla soluzione con una mia strada. Il ragionamento che ho fatto è stato questo:
al numeratore abbiamo $x^2-5x+1-xsqrt(x^2-1)$ sostituendo l'infinito alla x otteniamo: un infinito di secondo ordine, meno 5 volte un infinito di primo ordine. Il +1 non influisce sul calcolo, in quanto infinito +1 resta sempre infinito, e poi un meno infinito di primo ordine che moltiplica una radice di un infinito di secondo ordine meno uno (Che può essere tolto in quanto non influisce sul calcolo). Avremo quindi al numeratore: $oo^2-5oo-oo(sqrt(oo^2))$
al denominatore avremo invece radice di infinito di secondo ordine meno uno (Che può essere eliminato in quanto non influisce sul calcolo). scrivendo quindi l'intera equazione, dopo la sostituzione avremo: $(oo^2-5oo-oo(sqrt(oo^2)))/(sqrt(oo^2))$.
Sempre secondo il mio ragionamento $sqrt(oo^2)=oo$, da cui: $(oo^2-5oo-oo(oo))/(oo)$ e quindi $(oo^2-5oo-oo^2)/(oo)$ poi al numeratore $oo^2-oo^2$ si annullano e resta $(-5oo)/(oo)$ i due infiniti si semplificano e resta -5, risultato al quale è giunto il mio professore solo dopo aver riempito di calcoli due lavagne. Ho provato anche con altri limiti, e devo dire che il sistema ha sempre funzionato.
Ci tengo a sottolineare che un metodo per vedere con maggior chiarezza il risultato è continuare a ridurre di ordine i vari infiniti fino ad avere davanti agli occhi la soluzione. Mi spiego meglio:
$\lim_{x \to \infty}((x+3)/(x^2+4x+4))$
Nonostante sia possibile osservare che l'infinito è di ordine superiore al denominatore, e quindi il rapporto tenderà a zero, voglio mostrare come con il mio metodo sia possibile raggiungere ugualmente la soluzione.
Sostituiamo infinito ad x:
$\lim_{x \to \infty}((oo+3)/(oo^2+4oo+4))$
Come detto i termini noti non influiscono sul calcolo, in quanto infinito più o meno una quantità inferiore all'infinito stesso resta sempre infinito. Per cui abbiamo:
$\lim_{x \to \infty}(oo/(oo^2+4oo))$
Un passaggio che si può effettuare per individuare rapidamente il risultato (Ed applicabile anche al primo limite mostrato nella discussione) è quallo di ridurre di un ordine tutti gli infiniti. Scriviamo:
$\lim_{x \to \infty}(1/(oo+4))$
Il 4 non influisce sul calcolo e possiamo eliminarlo. Scriviamo:
$\lim_{x \to \infty}(1/(oo))$
Che dà come risultato proprio lo zero.
In questo caso il calcolo è stato più lungo, e sarebbe bastato guardare gli ordini degli infiniti, ma in altri casi è possibile abbreviare di molto i calcoli.
Volendo fare un altro esempio:
$\lim_{x \to \infty}((3x^2-x+24)/(15+sqrt(x^5+38)))$
sostituiamo gli infiniti ed eliminiamo i termini noti:
$\lim_{x \to \infty}((3oo^2-oo)/(sqrt(oo^5)))$
Portiamo fuori radice ciò che è possibile:
$\lim_{x \to \infty}((3oo^2-oo)/(oo^2sqrt(oo)))$
riduciamo di un ordine gli infiniti:
$\lim_{x \to \infty}((3oo-1)/(oosqrt(oo)))$
eliminiamo i termini noti:
$\lim_{x \to \infty}((3oo)/(oosqrt(oo)))$
riduciamo di un altro ordine:
$\lim_{x \to \infty}((3)/(sqrt(oo)))$
Il risultato è proprio zero. Il metodo può sembrare lungo in quanto illustro e spiego ogni passaggio, ma in molti casi potrebbe risultare utile e velocizzare i calcoli. Ovviamente lascio a voi esperti esprimere un parere, io ho solo cercato di trovare una strada alternativa
Premetto che il metodo proposto non altererebbe i risultati, in quanto tiene conto dei tre parametri fondamentali: ordine dell'infinito, segno e coefficiente.
Voi cosa ne pensate? È soltanto un caso fortuito o credete che in qualche modo possa realmente contribuire a semplificare i calcoli?
Ringrazio in anticipo per ogni parere, positivo o negativo.
Andrea.
Risposte
Esistono dei teoremi riguardanti la trascurabilità degli ordini di infinito e di funzioni limitate.
In sostanza tu stai applicando il principio di sostituzione degli infiniti, il cui enunciato si può dare nella seguente forma:
TH: Se il rapporto di due infiniti $(\alpha(x))/(\beta(x))$ ha limite, questo rimane lo stesso per il rapporto di ogni coppia d'infiniti $bar{\alpha(x)}/(bar{\beta(x)})$ tali che $bar{\alpha(x)}/(alpha(x)) -> 1$, $bar{\beta(x)}/(beta(x)) -> 1$.
ATTENZIONE! L'infinito $oo$ è un simbolo; usarlo come l'hai usato tu ora, è scorretto.
Un infinito è semplicemente una funzione che tende all'infinito per $x -> x_0$.
In sostanza tu stai applicando il principio di sostituzione degli infiniti, il cui enunciato si può dare nella seguente forma:
TH: Se il rapporto di due infiniti $(\alpha(x))/(\beta(x))$ ha limite, questo rimane lo stesso per il rapporto di ogni coppia d'infiniti $bar{\alpha(x)}/(bar{\beta(x)})$ tali che $bar{\alpha(x)}/(alpha(x)) -> 1$, $bar{\beta(x)}/(beta(x)) -> 1$.
ATTENZIONE! L'infinito $oo$ è un simbolo; usarlo come l'hai usato tu ora, è scorretto.
Un infinito è semplicemente una funzione che tende all'infinito per $x -> x_0$.
"Neokratos":
L'altro giorno ero in classe e mi sono trovato di fronte un'equazione del genere:
$\lim_{x \to \infty}(x^2-5x+1-xsqrt(x^2-1))/(sqrt(x^2-1))$
Questa non è un'equazione: ti sei trovato di fronte un limite.
"Neokratos":
Scusate in anticipo per l'ignoranza, dello studio di funzioni abbiamo studiato solo i limiti e come trovare asintoti verticali, orizzontali ed obliqui
Se aveste davvero fatto questo, quel metodo ve lo avrebbe dovuto spiegare come parte integrante di una lezione: diciamo che avete fatto una parte preliminare dello studio dei limiti.
"Neokratos":
al numeratore abbiamo $x^2-5x+1-xsqrt(x^2-1)$ sostituendo l'infinito alla x otteniamo: un infinito di secondo ordine ... Avremo quindi al numeratore: $oo^2-5oo-oo(sqrt(oo^2))$ ... al denominatore avremo invece radice di infinito ... scrivendo quindi l'intera equazione, dopo la sostituzione avremo: $(oo^2-5oo-oo(sqrt(oo^2)))/(sqrt(oo^2))$.
E chi dice che si possa sotituire il simbolo [tex]\infty[/tex] alla [tex]x[/tex] così, senza "colpo ferire"! Chi dice che il simbolo [tex]\infty[/tex] possa essere elevato a potenza e addirittura essere messo sotto radice!
"Neokratos":
Sempre secondo il mio ragionamento $sqrt(oo^2)=oo$, da cui: $(oo^2-5oo-oo(oo))/(oo)$ e quindi $(oo^2-5oo-oo^2)/(oo)$ poi al numeratore $oo^2-oo^2$ si annullano e resta $(-5oo)/(oo)$ i due infiniti si semplificano e resta -5, risultato al quale è giunto il mio professore solo dopo aver riempito di calcoli due lavagne. Ho provato anche con altri limiti, e devo dire che il sistema ha sempre funzionato.
Invero, [tex]\infty - \infty[/tex] è una forma di indecisione, così come è una forma di indecisione [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex], quindi non ha alcun senso dire che [tex]\infty^{2}-\infty^{2}[/tex] si annullano (se ammetti che ciò abbia senso allora devi ammettere che [tex]\infty^{2}-\infty^{2}=(\infty-\infty)(\infty+\infty)[/tex], ma, come detto, una delle due parentesi non ha senso).
Il problema alla base di tutto ciò sta nel fatto che il simbolo [tex]\infty[/tex] è un simbolo chiamato "infinito", aggiunto ad [tex]\mathbb{R}[/tex] per ottenerne la cosidetta "compattificazione" (: è un concetto topologico); con questo infinito è possibilissimo giocare, ma ci sono delle regole precise per giocarci: l'ordinamento di [tex]\mathbb{R}[/tex] può essere esteso ad [tex]\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}[/tex], ma non tutta la struttura algebrica dei reali può essere estesa agli infiniti (che, ripeto, non sono numeri reali).
Il fatto che i conti tornino è dovuto alla tipologia delle funzioni di cui calcoli il limite ed al teorema citato da Seneca, che ben si adatta in modo intutitivo a quel tipo di funzioni.
Comunque quel limite, "a naso" (cioè razionalizzando ed esaminando il risultato), sembrerebbe essere un -5 per x tendente a +inf, e un +inf per x tendente a -inf...
Il numeratore razionalizzato si comporta come una potenza 2, idem il denominatore: rapporto tra i coefficienti =-5.
(salvo errori ed omissioni)
S.
Il numeratore razionalizzato si comporta come una potenza 2, idem il denominatore: rapporto tra i coefficienti =-5.
(salvo errori ed omissioni)
S.
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