Numero misterioso
Sulla lavagna c'è scritto un numero di 17 cifre composto da soli 1 e 2. Paolo entra e riscrive il numero in sequenza inversa, allineandolo sotto il precedente. Gianni entra e scrive sotto ogni colonna la cifra massima che compare in quella colonna. Alberto entra e scrive sotto ogni colonna la cifra minima che compare in quella colonna, poi cancella le prime due righe. Carla entra e trova scritti i numeri 12212212221221221 e 11211111211111211 e le viene spiegato che cosa hanno fatto Paolo, Gianni e Alberto, Quanti sono i diversi numeri che potevano essere scritti sulla lavagna come primo numero?
Ho ragionato così: se le cifre incolonnate dei due numeri lasciati sulla lavagna coincidono, significa che massimo e minimo di quella colonna ( compresi i primi due numeri cancellati) coincidono e quindi conosco le cifre di quella colonna anche per i primi due numeri. A questo punto restano da determinare 8 cifre per i primi due numeri. La soluzione del problema afferma che come primo numero potevano essere scritti 2^4 numeri, perchè ci sono 4 coppie di cifre rimaste. In base a questa affermazione, le cifre rimaste vuote potrebbero essere riempite da soli 1 o soli 2 , ma questo significherebbe inserire anche nel secondo numero, quello della sequenza inversa soli 1 o soli 2; si avrebbero così due cifre uguali nella stessa colonna e il massimo e il minimo dovrebbero coincidere, mentre nel terzo e nel quarto numero considerato per quelle cifre non è così.
Sapete farmi un pò di chiarezza su questa soluzione?
Ho ragionato così: se le cifre incolonnate dei due numeri lasciati sulla lavagna coincidono, significa che massimo e minimo di quella colonna ( compresi i primi due numeri cancellati) coincidono e quindi conosco le cifre di quella colonna anche per i primi due numeri. A questo punto restano da determinare 8 cifre per i primi due numeri. La soluzione del problema afferma che come primo numero potevano essere scritti 2^4 numeri, perchè ci sono 4 coppie di cifre rimaste. In base a questa affermazione, le cifre rimaste vuote potrebbero essere riempite da soli 1 o soli 2 , ma questo significherebbe inserire anche nel secondo numero, quello della sequenza inversa soli 1 o soli 2; si avrebbero così due cifre uguali nella stessa colonna e il massimo e il minimo dovrebbero coincidere, mentre nel terzo e nel quarto numero considerato per quelle cifre non è così.
Sapete farmi un pò di chiarezza su questa soluzione?
Risposte
scusa ma alberto cosa ha fatto e dopo di chi lo ha fatto?
Ho corretto Wizard, chiedo scusa.
Con l'aiuto di carta e calamaio si conoscono sicuramente questi numeri:
1 * 2 1 * * 1 * 2 * 1 * * 1 2 * 1.
Ne mancano 8. Di questi sappiamo che i primi 4 sono opposti agli ultimi 4 ergo $2^4$ possibilità.
1 * 2 1 * * 1 * 2 * 1 * * 1 2 * 1.
Ne mancano 8. Di questi sappiamo che i primi 4 sono opposti agli ultimi 4 ergo $2^4$ possibilità.
e allora...
innanzitutto se alberto entra in classe dopo che è entrato gianni allora gianni non può avere già cancellato il numero iniziale sulla lavagna e il numero di paolo altrimenti alberto non saprebbe quali sono i minimi e i massimi di una colonna...
a parte questo...ecco come l'ho risoltoio...può darsi ti sia di aiuto
allora, immaginiamo che la seguente sia la disposizione dei numeri sulla lavagna
$mbox { numero iniziale di 17 cifre }$
$mbox { numero di paolo in sequenza inversa }$
$12212212221221221$ numero di gianni con i massimi delle colonne per le righe precedenti
$11211111211111211$ numero di alberto con i minimi delle colonne per le righe precedenti
a questo punto carla vede questo
$-$
$-$
$12212212221221221$ numero di gianni con i massimi delle colonne per le righe precedenti
$11211111211111211$ numero di alberto con i minimi delle colonne per le righe precedenti
ora, se in una colonna abbiamo lo stesso numero significa che in quella stessa colonna e in entrambe le righe il numero è lo stesso
$1-21--1-2-1--12-1$ numero iniziale
$1-21--1-2-1--12-1$ numero in sequenza inversa
$12212212221221221$ numero di gianni con i massimi delle colonne per le righe precedenti
$11211111211111211$ numero di alberto con i minimi delle colonne per le righe precedenti
ora, poichè i primi due numeri sono scritti al contrario, significa che il numero della prima riga e prima colonna (da sinistra a destra) va nella seconda riga e ultima colonna, cioè i due numeri sono simmetrici rispetto al $2$ centrale: i numeri di una stessa colonna costituiscono una coppia e le coppie di sinistra determinano quelle di destra; a sinistra ci sono da riempire $4$ posti vuoti, le possibili coppie sono due (la coppia $(2,1)$ e la coppia $(1,2)$), ogni coppia può ripetersi sino a un massimo si $4$ volte, le disposizioni con ripetizione sono $2^4$
innanzitutto se alberto entra in classe dopo che è entrato gianni allora gianni non può avere già cancellato il numero iniziale sulla lavagna e il numero di paolo altrimenti alberto non saprebbe quali sono i minimi e i massimi di una colonna...
a parte questo...ecco come l'ho risoltoio...può darsi ti sia di aiuto
allora, immaginiamo che la seguente sia la disposizione dei numeri sulla lavagna
$mbox { numero iniziale di 17 cifre }$
$mbox { numero di paolo in sequenza inversa }$
$12212212221221221$ numero di gianni con i massimi delle colonne per le righe precedenti
$11211111211111211$ numero di alberto con i minimi delle colonne per le righe precedenti
a questo punto carla vede questo
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$12212212221221221$ numero di gianni con i massimi delle colonne per le righe precedenti
$11211111211111211$ numero di alberto con i minimi delle colonne per le righe precedenti
ora, se in una colonna abbiamo lo stesso numero significa che in quella stessa colonna e in entrambe le righe il numero è lo stesso
$1-21--1-2-1--12-1$ numero iniziale
$1-21--1-2-1--12-1$ numero in sequenza inversa
$12212212221221221$ numero di gianni con i massimi delle colonne per le righe precedenti
$11211111211111211$ numero di alberto con i minimi delle colonne per le righe precedenti
ora, poichè i primi due numeri sono scritti al contrario, significa che il numero della prima riga e prima colonna (da sinistra a destra) va nella seconda riga e ultima colonna, cioè i due numeri sono simmetrici rispetto al $2$ centrale: i numeri di una stessa colonna costituiscono una coppia e le coppie di sinistra determinano quelle di destra; a sinistra ci sono da riempire $4$ posti vuoti, le possibili coppie sono due (la coppia $(2,1)$ e la coppia $(1,2)$), ogni coppia può ripetersi sino a un massimo si $4$ volte, le disposizioni con ripetizione sono $2^4$
"WiZaRd":
e allora...
innanzitutto se alberto entra in classe dopo che è entrato gianni allora gianni non può avere già cancellato il numero iniziale sulla lavagna e il numero di paolo altrimenti alberto non saprebbe quali sono i minimi e i massimi di una colonna...
a parte questo...ecco come l'ho risoltoio...può darsi ti sia di aiuto
allora, immaginiamo che la seguente sia la disposizione dei numeri sulla lavagna
$mbox { numero iniziale di 17 cifre }$
$mbox { numero di paolo in sequenza inversa }$
$12212212221221221$ numero di gianni con i massimi delle colonne per le righe precedenti
$11211111211111211$ numero di alberto con i minimi delle colonne per le righe precedenti
a questo punto carla vede questo
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$12212212221221221$ numero di gianni con i massimi delle colonne per le righe precedenti
$11211111211111211$ numero di alberto con i minimi delle colonne per le righe precedenti
ora, se in una colonna abbiamo lo stesso numero significa che in quella stessa colonna e in entrambe le righe il numero è lo stesso
$1-21--1-2-1--12-1$ numero iniziale
$1-21--1-2-1--12-1$ numero in sequenza inversa
$12212212221221221$ numero di gianni con i massimi delle colonne per le righe precedenti
$11211111211111211$ numero di alberto con i minimi delle colonne per le righe precedenti
ora, poichè i primi due numeri sono scritti al contrario, significa che il numero della prima riga e prima colonna (da sinistra a destra) va nella seconda riga e ultima colonna, cioè i due numeri sono simmetrici rispetto al $2$ centrale: i numeri di una stessa colonna costituiscono una coppia e le coppie di sinistra determinano quelle di destra; a sinistra ci sono da riempire $4$ posti vuoti, le possibili coppie sono due (la coppia $(2,1)$ e la coppia $(1,2)$), ogni coppia può ripetersi sino a un massimo si $4$ volte, le disposizioni con ripetizione sono $2^4$
Hai usato molto più calamaio...ma il risultato è proprio quello
fortuna che esiste l'edit...
scusa non volevo sovrapporre il mio risultato al tuo ma è che quando ho iniziato a scriverlo il tuo post ancora non c'era e la lunghezza del mio "papiello" ha fatto il resto
"WiZaRd":
scusa non volevo sovrapporre il mio risultato al tuo ma è che quando ho iniziato a scriverlo il tuo post ancora non c'era e la lunghezza del mio "papiello" ha fatto il resto
Scusa? Hai fatto stra-bene, adesso è molto più chiaro!
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