Numero elevato a 0
1) Ogni numero diverso da 0,elevato a 0,è uguale a 1.
Questa definizione il libro la riconduce alle proprietà delle potenze,dimostrando come appunto si arriva a quest'affermazione considerando il rapporto tra due potenze con basi ed esponenti uguali.
Fino a qui ci sono...ma come si coniuga tutto ciò con la definizione di potenza?
2) Si definisce potenza di base $ a $ ed esponente $ m $, il prodotto di $ m $ fattori uguali ad $ a $.
Volendo considerare $ 3^0 $,seguendo la definizione di potenza sopracitata,al massimo sarei portato a scrivere $ 3^0 $=$ 0 $ ...( $ m=0 $ ,considero 0 fattori uguali a $ 3 $ ).
Come si sposano tra loro le definizioni 1) e 2)?
Questa definizione il libro la riconduce alle proprietà delle potenze,dimostrando come appunto si arriva a quest'affermazione considerando il rapporto tra due potenze con basi ed esponenti uguali.
Fino a qui ci sono...ma come si coniuga tutto ciò con la definizione di potenza?
2) Si definisce potenza di base $ a $ ed esponente $ m $, il prodotto di $ m $ fattori uguali ad $ a $.
Volendo considerare $ 3^0 $,seguendo la definizione di potenza sopracitata,al massimo sarei portato a scrivere $ 3^0 $=$ 0 $ ...( $ m=0 $ ,considero 0 fattori uguali a $ 3 $ ).
Come si sposano tra loro le definizioni 1) e 2)?
Risposte
Secondo la 2) , la scrittura $3^0$ non è definita (il prodotto di "zero" fattori non è pari a zero, semplicemente non è definito).
Allora i matematici, che sono furbi, hanno definito $3^0$ nel modo che gli faceva più comodo e che fosse coerente con tutto il resto.
Cordialmente, Alex
Allora i matematici, che sono furbi, hanno definito $3^0$ nel modo che gli faceva più comodo e che fosse coerente con tutto il resto.
Cordialmente, Alex
Veramente
"Ogni numero diverso da 0, elevato a 0, è uguale a 1". È una definizione, quello che segue non è una dimostrazione (una definizione non si può dimostrare), ma una "verifica di coerenze" di questa definizione con il concetto di potenza e le sue proprietà.
Come allo stesso modo trovi la definizione "$a^1=a$" e anche questa è di solito seguita dalla verifica di coerenza.
"Ogni numero diverso da 0, elevato a 0, è uguale a 1". È una definizione, quello che segue non è una dimostrazione (una definizione non si può dimostrare), ma una "verifica di coerenze" di questa definizione con il concetto di potenza e le sue proprietà.
Come allo stesso modo trovi la definizione "$a^1=a$" e anche questa è di solito seguita dalla verifica di coerenza.
Il fatto che non sia definito cosa vuol dire più specificatamente? La definizione di potenza non si applica a $ 3^0 $?
La definizione di potenza che tu hai dato non si applica al caso $a^0$ perché in essa si parla di $m$ fattori e perché una moltiplicazione esista ne occorrono almeno due (difatti come evidenziato da @melia anche $a^1$ non rientra in quella definizione).
Questo però non è un grande problema perché basta fare "un'aggiunta" alla definizione, ovviamente coerente con tutto il resto.
Questo però non è un grande problema perché basta fare "un'aggiunta" alla definizione, ovviamente coerente con tutto il resto.
"axpgn":
La definizione di potenza che tu hai dato non si applica al caso $a^0$ perché in essa si parla di $m$ fattori e perché una moltiplicazione esista ne occorrono almeno due (difatti come evidenziato da @melia anche $a^1$ non rientra in quella definizione).
Questo però non è un grande problema perché basta fare "un'aggiunta" alla definizione, ovviamente coerente con tutto il resto.
Ok...ma se non si applica la definizione di potenza, $ x^0 $ preso singolarmente, cosa significa?
Niente.
Se qualcosa non è definita, non è niente.
In questo caso, comunque, la definizione c'è: la definizione 2) che hai dato va completata con le due aggiunte di cui si è detto.
Se qualcosa non è definita, non è niente.
In questo caso, comunque, la definizione c'è: la definizione 2) che hai dato va completata con le due aggiunte di cui si è detto.
"axpgn":
Niente.
Se qualcosa non è definita, non è niente.
In questo caso, comunque, la definizione c'è: la definizione 2) che hai dato va completata con le due aggiunte di cui si è detto.
Ma come fa è essere valida una definizione che dice che qualcosa di indefinito è uguale a $ 1 $ ?
Nel momento in cui DO una definizione di $x^0$ allora $x^0$ È DEFINITO!
Ovvero la prima definizione (la tua 2) lasciava indefiniti alcuni casi ma i matematici hanno ampliato quella definizione aggiungendo delle regole che contemplano i casi precedentemente esclusi, regole tali da non confliggere con il resto della Matematica.
Non sempre questo è possibile, vedi per esempio il caso $0^0$, per il quale, che io sappia, non esiste una definizione accettabile o accettata dalla maggioranza.
Ok,grazie Alex.
"zaser123":
2) Si definisce potenza di base $ a $ ed esponente $ m $, il prodotto di $ m $ fattori uguali ad $ a $.
Volendo considerare $ 3^0 $,seguendo la definizione di potenza sopracitata,al massimo sarei portato a scrivere $ 3^0 $=$ 0 $ ...( $ m=0 $ ,considero 0 fattori uguali a $ 3 $ ).
Come si sposano tra loro le definizioni 1) e 2)?
"axpgn":
Secondo la 2) , la scrittura $3^0$ non è definita (il prodotto di "zero" fattori non è pari a zero, semplicemente non è definito).
In realtà anche con la seconda definizione la scrittura \( x^0 \) ha significato. Il prodotto di nessun fattore si chiama prodotto vuoto ed è uguale a \(1\) per definizione. Ovvero se vuoi definire il prodotto di zero fattori l'unica scelta sensata che hai è quella di dire che è uguale ad 1.
Se vuoi capire il motivo per cui \(1\) è l'unica scelta sensata intuitivamente:
Prendi il prodotto di un certo numero di fattori, prendiamo ad esempio il prodotto di 3
\[ a \cdot b \cdot c \]
ora vogliamo "togliere" un fattore, diciamo il fattore \(c\), come facciamo? Moltiplichiamo per \( \frac{1}{c} \).
E otteniamo in questo modo il prodotto di 2 fattori che è uguale
\[ a \cdot b = a \cdot b \cdot c \cdot \frac{1}{c} \]
ora togliamo ancora un fattore, diciamo \(b\), e otteniamo il prodotto di un solo fattore.
\[ a = a \cdot b \cdot \frac{1}{b} \]
ora togliendo l'ultimo fattore rimaniamo senza fattori, quindi un prodotto con zero fattori. E questo porta esattamente al elemento neutro della moltiplicazione
\[ 1 = \text{prodotto con zero fattori} = a \cdot \frac{1}{a} \]
Più formalmente invece:
Il prodotto di \(n\) fattori è definito nel seguente modo: Sia data \(a_1, a_2, \ldots , a_n, \ldots \) una sequenza di numeri, il prodotto dei primi \(n \) fattori è definita come
\[ P_n = a_1 \cdot \ldots \cdot a_n \]
Dalla definizione risulta chiaro che si ha la proprietà seguente
\[P_n = P_{n-1} \cdot a_n = (a_1 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}) \cdot a_n \]
per ogni \(n=2,3,\ldots \).
Se vuoi estendere anche \(n=1\) questa proprietà devi definire \(P_0\), ovvero il prodotto vuoto (prodotto di zero fattori). Quale scelta fare? Supponi di averlo definito un attimo, vuoi essere consistente con la tua definizione precedente e con la proprietà base quindi
\[ P_1 = P_0 \cdot a_1 = a_1 \]
quindi l'unica scelta sensata è:
\[ P_0 := 1 \]
Esattamente come quando non sommi niente (la somma vuota) ottieni lo \(0\) ovvero l'elemento neutro della somma. Con il prodotto quando non moltiplichi niente ottieni l' \(1\) ovvero l'elemento neutro della moltiplicazione.
Dalla definizione risulta chiaro che
Quindi venendo alle potenze
\[ a^n = \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m-\text{volte}} \]
ovvero il prodotto di \(n\) fattori uguali, segue che
\[ a^0 = \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{0-\text{volte}} =1 \]
Edit:
Probabilmente l'errore d'intuizione è dovuto al fatto che uno confonde il prodotto di zero fattori con il prodotto di fattori che sono uguale a zero, perché probabilmente con la somma (operazione più semplice del prodotto) questo ragionamento funziona nel risultato nonostante sia fallace nella logica del ragionamento stesso.
Supponi che 3m0o e axpgn ed entrambi non abbiamo soldi.
Se moltiplichiamo i nostri soldi otteniamo 0, e non 1 euro... purtroppo
Perché? Perché abbiamo effettivamente un prodotto di due fattori, ovvero \(0 \cdot 0 \) e non un prodotto di zero fattori.
"3m0o":
In realtà anche con la seconda definizione la scrittura \( x^0 \) ha significato. Il prodotto di nessun fattore si chiama prodotto vuoto ed è uguale a \(1\).
Alle Superiori? Quando mai l'hai visto? In quello definizione $m$ non è mai zero (e neppure uno peraltro ...), quello che stai affermando non discende da quella definizione ma da altro ... bada bene che non sto dicendo che stai dicendo qualcosa di errato (non sono certo in grado di dirlo) ma più semplicemente che con quella definizione di potenza non si definisce né $x^0$ né $x^1$.
Inoltre questo
"3m0o":
\[ 1 = \text{prodotto con zero fattori} = a \cdot \frac{1}{a} \]
non mi pare affatto un prodotto senza fattori ... io ne conto due, a meno che tu mi dia una diversa definizione di "fattori"
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Inoltre questo [quote="3m0o"] \[ 1 = \text{prodotto con zero fattori} = a \cdot \frac{1}{a} \]
non mi pare affatto un prodotto senza fattori ... io ne conto due, a meno che tu mi dia una diversa definizione di "fattori"
Cordialmente, Alex[/quote]
È una definizione che il prodotto di zero fattori è uguali ad 1, magari non trattata alle superiori, ma semplicemente è definibile. Quello è un ragionamento che porta a creare l'intuito del perché è sensato definire in questo modo il prodotto di zero fattori. Comunque devi leggere quelle uguaglianze in questo modo
\[ \text{ il numero } 1 = \text{ prodotto con zero fattori } = \text{ il prodotto di un fattore con il suo inverso moltiplicativo} \]
Ho scritto il prodotto con zero fattori come il prodotto di due fattori ben precisi e non due fattori arbitrari. È diverso dal dire che è un prodotto con due fattori.
Certamente non è un ragionamento formale. Ma "togliere" un fattore puoi vederlo intuitivamente e non formalmente come moltiplicare per l'inverso. In realtà è l'aggiungere un fattore che significa moltiplicare per il fattore che vuoi aggiungere (tautologico no?) e quindi è necessaria la definizione di prodotto vuoto perché devi partire da qualche parte, hai bisogno di una sorta di passo base d'induzione. Un ragionamento più formale è prima definire il prodotto vuoto come
\[ P_0 := 1 \]
e poi avendo il prodotto di \(n \) fattori puoi definire il prodotto di \(n+1 \) fattori come
\[ P_{n+1} = P_n \cdot a_{n+1} \]
Ma volevo semplicemente mostrare come una definizione nasce da ciò che è in realtà intuitivo e solo in seguito si formalizza anche se le cose vengono presentate al contrario, ovvero ti viene prima presentata la formalizzazione e poi si crea l'intuizione che c'è dietro alla formalizzazione.
\[ P_0 := 1 \]
e poi avendo il prodotto di \(n \) fattori puoi definire il prodotto di \(n+1 \) fattori come
\[ P_{n+1} = P_n \cdot a_{n+1} \]
Ma volevo semplicemente mostrare come una definizione nasce da ciò che è in realtà intuitivo e solo in seguito si formalizza anche se le cose vengono presentate al contrario, ovvero ti viene prima presentata la formalizzazione e poi si crea l'intuizione che c'è dietro alla formalizzazione.
"3m0o":
È una definizione che il prodotto di zero fattori è uguali ad 1, ...
Si vede che non leggi con attenzione i thread
L'ho già detto e ridetto questo
La definizione 2) che l'OP ha dato NON è sufficiente per definire $x^0$ e $x^1$ MA i matematici, che non sono stupidi
, hanno fatto due aggiunte a quella definizione così da comprendere i casi prima esclusi senza "incasinare" il resto della Matematica.Rileggi
"3m0o":
Ho scritto il prodotto con zero fattori come il prodotto di due fattori ben precisi e non due fattori arbitrari. È diverso dal dire che è un prodotto con due fattori.
Vabbè, se ti piace chiamarlo così fai pure, ma sempre due fattori sono non zero
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Si vede che non leggi con attenzione i thread
L'ho già detto e ridetto questo
La definizione 2) che l'OP ha dato NON è sufficiente per definire $x^0$ e $x^1$ MA i matematici, che non sono stupidi
Rileggi
Io sto parlando di definizione di prodotto vuoto e non di \(x^0\) o \(x^1 \). Il prodotto vuoto lo devi definire se vuoi parlare di prodotto di \(n\) fattori. Secondo la definizione 2) \(x^0 \) è il prodotto di \(x\) 0 volte, che è un prodotto vuoto già definito in precedenza.
edit: e più che a te era per rispondere all'affermazione dell' OP che diceva che il prodotto di zero fattori diceva essere uguale a \(0\). Gli ho risposto che il prodotto vuoto lo può definire e l'unica scelta sensata è definirlo essere uguale ad \(1\). Il prodotto vuoto non \(x^0 \) e grazie al prodotto vuoto puoi parlare di \(x^0 \) anche nel contesto della definizione 2)
"3m0o":
Ma volevo semplicemente mostrare come una definizione nasce da ciò che è in realtà intuitivo e solo in seguito si formalizza ...
Sinceramente non mi sembra l'esempio più calzante perché qui di intuitivo c'è ben poco
$x^0$ non nasce come "prodotto vuoto" ma più banalmente dalla proprietà delle potenze (o meglio dalla voglia di "salvare" le proprietà delle potenze, tipo $1=(a*a*a)/(a*a*a)=a^3/a^3=a^(3-3)=a^0$ )
Poi sarà arrivato qualcuno che avuto quella bella pensata del "prodotto vuoto" che è uguale a $1$ (ma non proprio vuoto, quasi
... e non si dica che è il prodotto di due fattori ma di un numero e del suo reciproco 
)Cordialmente, Alex
"3m0o":
Il prodotto vuoto lo devi definire se vuoi parlare di prodotto di \(n\) fattori.
NO, non è necessario. Per niente. La 2) basta e avanza.
[ot]Io capisco che si possa rivedere/rimodulare/ri-esprimere la Matematica su concetti diversi/basi diverse/visioni diverse da quelle più antiche ma ciò non implica affatto che quelle "versioni" non siano più valide o utili o addirittura rinnegate come "errate" e mai esistite.[/ot]
Cordialmente, Alex
Qua quello pignolo sei stato te sta volta. Io volevo solo mostrare come il prodotto vuoto è definibile come \(1\) e volevo dare un intuito. Rispondendo a questo
Ovvero che il prodotto di \(0\) fattori uguali a \(3\) è uguale ad \(1\). Tutto qui.
Poi avrò sbagliato ad esprimermi o avrò detto delle cose non totalmente corrette (tipo che è necessario).
Ciao
"zaser123":
al massimo sarei portato a scrivere $ 3^0 $=$ 0 $ ...( $ m=0 $ ,considero 0 fattori uguali a $ 3 $ ).
Ovvero che il prodotto di \(0\) fattori uguali a \(3\) è uguale ad \(1\). Tutto qui.
Poi avrò sbagliato ad esprimermi o avrò detto delle cose non totalmente corrette (tipo che è necessario).
Ciao
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