Numero di soluzioni equazione trascendente (per maturandi )

[Camillo]

Sia $ f(x) = (x^2/(x-1))e^(1/x) $ .
Al variare del parametro reale $ k $, indicare il numero di soluzioni distinte dell'equazione $f(x) = k $ .
N.B. Non si richiede di determinare le soluzioni, ma solo il loro numero !!!!

[alvinlee881]

Carino l'esercizio, forza maturandi!

[nox89]

E' tutto il giorno che faccio matematica, non ho proprio la forza per fare anche questo quesito...dimmi solo se l'idea è giusta: prima traccio il grafico della funzione $y=((x^2)/(x-1))e^(1/x)$ e poi vedo come lo intersecano le rette parallele all'asse delle ascisse $y=k$ dove k è parametro che varia. In poche parole il numero di soluzioni per ogni k lo desumo vedendo quante volte la retta interseca la curva. Ovviamente poi vedendo le "rette limite" potrò capire il numero di soluzioni al variare di k.

[mancusiello]

Oh my God! Che cosa è???

Scusa non ho capito: $f(x)=k$ è una retta orizzontale? Non basta il metodo grafico per trovare il numero delle radici?

[nox89]

sei un copione: è quello che ho proposto di fare io

[Camillo]

"nox89":E' tutto il giorno che faccio matematica, non ho proprio la forza per fare anche questo quesito...dimmi solo se l'idea è giusta: prima traccio il grafico della funzione $y=((x^2)/(x-1))e^(1/x)$ e poi vedo come lo intersecano le rette parallele all'asse delle ascisse $y=k$ dove k è parametro che varia. In poche parole il numero di soluzioni per ogni k lo desumo vedendo quante volte la retta interseca la curva. Ovviamente poi vedendo le "rette limite" potrò capire il numero di soluzioni al variare di k.

Perfetto : il metodo è esatto
Non è proprio banale lo studio di funzione : l'esercizio si riduce a questo una volta fatte le osservazioni che hai fatto .

[Camillo]

"Gregor":Oh my God! Che cosa è???

Scusa non ho capito: $f(x)=k$ è una retta orizzontale? Non basta il metodo grafico per trovare il numero delle radici?

$ f(x) = k $ oppure il che è lo stesso $ f(x)-k = 0 $ è una equazione .
$ y= k $ rappresenta una retta orizzontale.

[adaBTTLS1]

lasciamo lo svolgimento ai maturandi... volevo solo chiedere se qualcuno, dopo aver dato la soluzione, potesse scrivere i passaggi per trovare in maniera rigorosa il $lim_(x->0^+)\f(x)=?=-oo$ grazie.
aggiungerei che la risposta è articolabile in sei parti distinte (con x che assume valori "puntuali" o in intervalli finiti od infiniti) con risposte variabili da 0 a 3.
ciao.

[Camillo]

Soluzione

1)Studio della funzione $y= (x^2/(x-1))e^(1/x)$.

*Dominio : $(-oo,0)U(0,1)U(1,+oo)$.
*Limiti agli estremi dell'insieme di definizione

$lim_(x rarr +-oo)f(x) =+-oo $
$lim_(x rarr 0^(+))f(x) = -oo $ (*)
$lim_(x rarr 0^(-) ) f(x)= 0^(-) $
$lim_(x rarr 1^(+-))f(x)=+-oo$

*Asintoti obliqui

$m=lim_(x rarr +-oo)f(x)/x = 1 $
$q= lim_(x rarr +-oo)[f(x)-x]= 2 $
Asintoto obliquo di equazione $y=x+2$.

*Derivata prima $f'(x)=((e^(1/x))*(x^2-3x+1))/(x-1)^2 $
Si trova che $x = (3+sqrt(5))/2 $ è punto di minimo relativo e che

$x=(3-sqrt(5))/2 $ è punto di massimo relativo

*Derivata seconda $f''(x) =(e^(1/x)(5x^2-4x+1))/(x^2(x-1)^3) $ da cui si deduce che

f è convessa per $x > 1$ , concava per $x<0 ; 0
2.Determinazione del numero di soluzioni dell'equazione $ f(x) = k $ .
Pongo per semplicità $ alpha = f((3+sqrt(5))/2) ; beta =f((3-sqrt(5))/2)$.
Si ottiene
$k< beta $ :3 soluzioni
$k=beta $ : 2 soluzioni
$beta $0<=k $k=alpha $ 1 soluzione
$k > alpha $ 2 soluzioni


N.B.(*) per calcolare questo limite notiamo che il denominatore tende a $-1 $; l'indeterminazione è nel numeratore
che riscrivo come $e^(1/x)/(1/x^2) $ in modo che sia del tipo $[oo/oo]$ e quindi gestibile con la regola
di De L'Hopital da applicarsi 2 volte fino ad arrivare a $e^(1/x)/2$ che tende a $+oo$ per $ x rarr 0^(+)$.
Ricordando ora che il denominatore tendeva a $-1 $ si ha il risultato finale del limite cercato $-oo$.

[Camillo]

Grafico ( non è un granchè.. )

[adaBTTLS1]

grazie per aver risposto anche alla mia particolare richiesta (anche se, forse, avresti risposto ugualmente...). mi sento a questo punto di scrivere i due valori particolari che avevo trovato:
$alpha=(2+sqrt(5))*e^((3-sqrt(5))/2)$ circa = 6,2
$beta=(2-sqrt(5))*e^((3+sqrt(5))/2)$ circa = - 3,2
ciao.

[nato_pigro1]

"Camillo":

2.Determinazione del numero di soluzioni dell'equazione $ f(x) = k $ .
Pongo per semplicità $ alpha = f((3+sqrt(5))/2) ; beta =f((3-sqrt(5))/2)$.
Si ottiene
$k< beta $ :3 soluzioni
$k=beta $ : 2 soluzioni
$beta $0<=k $k=alpha $ 1 soluzione
$k > alpha $ 2 soluzioni

ma per dire questo è sufficiente una giustificazione grafica?

[Camillo]

Assolutamente sì : sposti la retta $y=k $ parallelamente e vedi in quanti punti taglia il grafico della funzione $f(x) $ .
Una soluzione analitica è impensabile .

Mi interessa una tua ( e di altri ) valutazione : come considerate l'esercizio ? facile ,medio, difficile...

[nato_pigro1]

"Camillo":Assolutamente sì : sposti la retta $y=k $ parallelamente e vedi in quanti punti taglia la funzione $f(x) $ .
Una soluzione analitica è impensabile se non con metodo numerici.

Mi interessa una tua ( e di altri ) valutazione : come considerate l'esercizio ? facile ,medio, difficile...

io sono uno che sbaglia calcoli e si dimentica i meno, quindi facendolo ora ho sbagliato. Il procedimento ce l'avevo (ho visto quiesiti simili ma con funzioni più semplici).

Ma questo era un problema o un quesito? se è un quesito è mooolto difficile, non lo avrei mai fatto, se è un problema allora è comunque medio-difficile, c'è uno studio di limite non banale ed è possibile che uno non capisca bene cosa chiede il testo, sapere che come risposta devi dare degli intervalli o lo sai perchè hai fatto un'esercizio simile o non lo sai e non lo fai o non lo sai e provi a chiederlo...

[Camillo]

L'ho inserito in quanto so che non tutti hanno familiarità con questo tipo di esercizi : chissà che domani possa essere utile...
è ben più di un semplice quesito

[nato_pigro1]

hai fatto bene

[Steven11]

"Camillo":
Mi interessa una tua ( e di altri ) valutazione : come considerate l'esercizio ? facile ,medio, difficile...

Standard, direi.
Si tratta di studiare la funzione alla fine, attività che non mi entusiasma molto a dire il vero.

[kekko989]

magari camillo è quello che ha fatto i temi al ministero...

[kekko989]

magari camillo è quello che ha fatto i temi al ministero...

[Camillo]

Lo scoprirete domani....

[nato_pigro1]

se c'è questa funzione ti bacio in bocca...

comunque i fantomatici "creatori di temi" sono riusciti a sbagliare un traccia di italiano per la seconda volta consecutiva (quest'anno montale e l'anno scorso dante...)