Numeri reali $a$ e $b$
Dimostrare che, presi due numeri reali $a$ e $b$, si ha sempre:
$a^4+b^4>=a^3*b$
[Nel caso in cui $a$ e $b$ siano discordi, la disuguaglianza è sicuramente verificata (1° membro sempre positivo, 2° membro negativo). Nel caso in cui $a$ e $b$ siano concordi, ho provato sfruttare una disuguaglianza sempre verificata, come $(a+b)^4>=0$ oppure $(a-b)^4>=0$ e poi attraverso opportune somme e sottrazioni arrivare alla mia dimostrazione, ma non ho ottenuto nulla... Come fare?]
$a^4+b^4>=a^3*b$
[Nel caso in cui $a$ e $b$ siano discordi, la disuguaglianza è sicuramente verificata (1° membro sempre positivo, 2° membro negativo). Nel caso in cui $a$ e $b$ siano concordi, ho provato sfruttare una disuguaglianza sempre verificata, come $(a+b)^4>=0$ oppure $(a-b)^4>=0$ e poi attraverso opportune somme e sottrazioni arrivare alla mia dimostrazione, ma non ho ottenuto nulla... Come fare?]
Risposte
SNS, non ricordo di quale anno...
Tre diverse soluzioni puoi trovarle qua
https://www.matematicamente.it/forum/2-v ... c&start=10
Guardati gli ultimi due post, e il quinto post della pagina successiva.
Mi sa che ti conviene mettere questi topic in "Giochi matematici", hanno più visibilità, credo.
Ciao!
Tre diverse soluzioni puoi trovarle qua
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Mi sa che ti conviene mettere questi topic in "Giochi matematici", hanno più visibilità, credo.
Ciao!
Trovo:
$a^4+b^4>=a^3b$
$a^4+b^4-a^3b>=0$
$a^3(a-b)+b^4>=0$
Se $a = b$ è verificata.
Se $a>b$ è verificata.
Se $a
$a^3(k)+(a+k)^4>=0$
ed è ugualmente verificata.
$a^4+b^4>=a^3b$
$a^4+b^4-a^3b>=0$
$a^3(a-b)+b^4>=0$
Se $a = b$ è verificata.
Se $a>b$ è verificata.
Se $a
$a^3(k)+(a+k)^4>=0$
ed è ugualmente verificata.
Guarda che i numeri sono reali qualsiasi.
Giustifica i passaggi.
Ciao.
Giustifica i passaggi.
Ciao.
ciao 
allora forse è un po' laboriosa però dovrebbe essere corretta;
$ a^4 + b^4 geq a^3 * b $
se a e b sono discordi, è dimostrato per quanto detto da elios
supponiamo quindi a e b concordi
supponiamo $ |a| > |b|$, con $a, b geq 0$.
avremo
$ a^4/b + b^ 3 geq a ^ 3 $ ed essendo $ |a| > |b| $, allora $a^4/b geq a ^ 3$, ed essendo $b^3 geq 0$, la relazione è dimostrata
supponiamo sempre $ |a| > |b|$, con $a, b leq 0$.
avremo
$ a^4/b + b^ 3 leq a ^ 3 $ ed essendo $ |a| > |b| $, allora $|a^4/b| geq |a ^ 3|$, ed essendo $a, b leq 0$, avremo che $a^4/b leq a^3$. essendo inoltre $b^3 leq 0$, la relazione è dimostrata
supponiamo ora $|b| > |a|$, con $a, b geq 0$
avremo
$ a^4/b + b^ 3 geq a ^ 3 $ ed essendo $ |b| > |a| $, allora $b^3 > a ^ 3$, ed essendo $a^4/b geq 0$, la relazione è dimostrata
supponiamo sempre $|b| > |a|$, con $a, b leq 0$
avremo
$ a^4/b + b^ 3 leq a ^ 3 $ dividiamo per $a^3 ( < 0 )$
$a/b + b^3 / a^3 geq 1$ ed essendo $|b| > |a|$, sarà $b^3 /a^3 geq 1$, ed essendo $a/b geq 0$, la relazione è dimostrata
corretto?
allora forse è un po' laboriosa però dovrebbe essere corretta;
$ a^4 + b^4 geq a^3 * b $
se a e b sono discordi, è dimostrato per quanto detto da elios
supponiamo quindi a e b concordi
supponiamo $ |a| > |b|$, con $a, b geq 0$.
avremo
$ a^4/b + b^ 3 geq a ^ 3 $ ed essendo $ |a| > |b| $, allora $a^4/b geq a ^ 3$, ed essendo $b^3 geq 0$, la relazione è dimostrata
supponiamo sempre $ |a| > |b|$, con $a, b leq 0$.
avremo
$ a^4/b + b^ 3 leq a ^ 3 $ ed essendo $ |a| > |b| $, allora $|a^4/b| geq |a ^ 3|$, ed essendo $a, b leq 0$, avremo che $a^4/b leq a^3$. essendo inoltre $b^3 leq 0$, la relazione è dimostrata
supponiamo ora $|b| > |a|$, con $a, b geq 0$
avremo
$ a^4/b + b^ 3 geq a ^ 3 $ ed essendo $ |b| > |a| $, allora $b^3 > a ^ 3$, ed essendo $a^4/b geq 0$, la relazione è dimostrata
supponiamo sempre $|b| > |a|$, con $a, b leq 0$
avremo
$ a^4/b + b^ 3 leq a ^ 3 $ dividiamo per $a^3 ( < 0 )$
$a/b + b^3 / a^3 geq 1$ ed essendo $|b| > |a|$, sarà $b^3 /a^3 geq 1$, ed essendo $a/b geq 0$, la relazione è dimostrata
corretto?
ma è tutto molto più semplice! Se $|a|\ge|b|$ allora $a^4+b^4\ge a^4=|a^3||a|\ge |a^3b|\ge a^3b$.
Se $|a|\le|b|$ allora $a^4+b^4\ge b^4=|b|^3|b|\ge |a|^3|b|=|a^3b|\ge a^3b$.
Fine
Se $|a|\le|b|$ allora $a^4+b^4\ge b^4=|b|^3|b|\ge |a|^3|b|=|a^3b|\ge a^3b$.
Fine
Ho trovato un'altra soluzione anche se è un po' più lunga.
La disuguaglianza è certamente vera se $a$ e $b$ sono numeri reali discordi ($ab<0$), quindi la provo nel caso in cui $a$ e $b$ siano numeri reali concordi ($ab>=0$).
$a^4+b^4>=a^4+b^4-ab^3+a^3b-a^3b=a^3(a-b)-b^3(a-b)+a^3b=(a-b)(a^3-b^3)+a^3b=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)+a^3b>=a^3b$
da cui segue che,
$a^4+b^4>=a^3b$
La disuguaglianza è certamente vera se $a$ e $b$ sono numeri reali discordi ($ab<0$), quindi la provo nel caso in cui $a$ e $b$ siano numeri reali concordi ($ab>=0$).
$a^4+b^4>=a^4+b^4-ab^3+a^3b-a^3b=a^3(a-b)-b^3(a-b)+a^3b=(a-b)(a^3-b^3)+a^3b=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)+a^3b>=a^3b$
da cui segue che,
$a^4+b^4>=a^3b$
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