Numeri reali

[fabri66]

Ho letto su un libro di testo che i numeri, sia razionali che irrazionali, possono essere individuati da una coppia di classi numeriche che siano separate e contigue.
p.es.: il numero 1,41421 può essere individuato da
classe A1) 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142
e
classe A2) 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143

Conseguentemente, le operazioni di somma e sottrazione dei numeri reali possono essere effettuate considerando le relative coppie di classi che le individuano.
p.es: sia  = 3,25 individuato da :

classe A1) 3; 3,2; 3,24; 3,249; 3,2499
e
classe A2) 4; 3,3; 3,26; 3,251; 3,2501

e sia = 1,41421 individuato da

classe B1) 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142
e
classe B2) 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143

per cui, per effettuare la somma si avrà:

 +  equivalente a A1+B1 ; A2+B2

mentre per effettuare la differenza si avrà:

 -  equivalente a A1-B2 ; A2-B1.

Vorrei sapere se esiste una dimostrazione matematica che spieghi le operazioni sopra esposte. Se per la somma di  +  risulta intuitivo che equivale a A1+B1 ; A2+B2, meno intuitiva risulta la differenza  -  tale che sia A1-B2 ; A2-B1.

[eugenio.amitrano]

Non ricordo bene.
Se non sbaglio dovrebbe essere una conseguenza di uno dei seguenti Teoremi:
Teorema di Rolle, Teorema di Lagrance, Teorema della Media.
Molto probabilmente mi sbaglio.