Numeri periodici
Non mi riesce dimostrare che una frazione il cui denominatore non presenta nella compososizione divisori della base genera un numero periodico semplice... 
Ovviamente ci si accontenta del caso particolare in base dieci.
Ma come bip si fa? (sempre se esiste una dimostrazione semplice: accessibile in 1° per intendersi)
P.s. Ho provato a vedere se il tema era stato già trattato nel forum ma è impresa titanica. Altrove non ho trovato nulla.
Grazie
Ovviamente ci si accontenta del caso particolare in base dieci.Ma come bip si fa? (sempre se esiste una dimostrazione semplice: accessibile in 1° per intendersi)
P.s. Ho provato a vedere se il tema era stato già trattato nel forum ma è impresa titanica. Altrove non ho trovato nulla.
Grazie
Risposte
La generazione dei numeri periodici deriva dalle Progressioni Geometriche (quelle in cui, dato il termine iniziale, si ottiene il successivo moltiplicandolo per un numero costante, detto Ragione ed indicato con la lettera "q"). Se $a_0$ è il primo termine, il successivo è, quindi: $a_1=a_0*q$, quello dopo sarà $a_2=a_1*q$ e cos' via. Fermandosi al termine n, la successione sarà: $S=a_0+a_1+a_2+...+a_n$
Se si scrivono i termini così come sono stati ottenuti, si ha:
$S=a_0,\ a_0*q,\ a_0*q^2,\ a_0*q^3,...,\ a_0*q^(n-1)$
In questo modo, dato il termine iniziale e la Ragione q, è possibile trovare il termine generico k-esimo con la relazione: $a_k\ =\ a_0*q^(k-1)$
Inoltre, è possibile trovare la Ragione q conoscendo due termini consecutivi: siano $a_k\ =\ 2sqrt(3)$ e $a_(k+1)\ =\ 14$, la Ragione q risulta: $q\ =\ a_(k+1)/a_k\ =\ 14/(2sqrt(3))\ =\ (7sqrt(3))/3$
Per sommare i termini della Successione si ricorre a Huygens con la seguente: sia $S=\ a_0+\ a_0*q+\ a_0*q^2+\ a_0*q^3+...+\ a_0*q^(n-1)$, moltiplicando tutti i termini per $q$ si ottiene: $qS=a_0*q+\ a_0*q^2+\ a_0*q^3+\ a_0*q^4+...+\ a_0*q^n$, come ci mostrò Huygens, se sottraiamo membro a membro la seconda dalla prima ed elimindano i termini opposti, si ha: $S-qS=a_0-a_0*q^n$ e con semplici passaggi algebrici si ricava: $S(1-q)=a_0(1-q^n)$ da cui: $S=a_0*((1-q^n)/(1-q))$ che può essere scritta: $S=a_0*(1/(1-q)-(q^n)/(1-q))$.
I casi in cui $q>=1$ non sono interessanti; il caso più "fertile" (se si lascia passare il termine...) è quando $q<1$; in tal caso, per $n->oo$, il termine $q^n/(1-q)->0$, ovvero si annulla e la Somma si riduce al termine $(1)\ S=1/(1-q)$
Per venire ad un caso simile al tuo, ad esempio il periodico $0,bar(3)=0,33333333...3$ notiamo che sostituendo il numero con il suo Polinomio, otteniamo: $P_(n)=(0,3)*(1/1+1/(10)+1/(100)+1/(1000)+...+1/(10^n))$, cioè una Progressione in cui il primo termine è $0,3$ e la Ragione è: $1/(10)/1=1/(100)/1/(10)=...=1/(10)$. Se sostituiamo nella $(1)$ otteniamo:
$S=0,3*(1/(1-1/(10)))=0,3*10/9=0,bar(3)$ che è proprio il periodico cercato. Queste frazioni sono dette Frazioni Generatrici.
Se si scrivono i termini così come sono stati ottenuti, si ha:
$S=a_0,\ a_0*q,\ a_0*q^2,\ a_0*q^3,...,\ a_0*q^(n-1)$
In questo modo, dato il termine iniziale e la Ragione q, è possibile trovare il termine generico k-esimo con la relazione: $a_k\ =\ a_0*q^(k-1)$
Inoltre, è possibile trovare la Ragione q conoscendo due termini consecutivi: siano $a_k\ =\ 2sqrt(3)$ e $a_(k+1)\ =\ 14$, la Ragione q risulta: $q\ =\ a_(k+1)/a_k\ =\ 14/(2sqrt(3))\ =\ (7sqrt(3))/3$
Per sommare i termini della Successione si ricorre a Huygens con la seguente: sia $S=\ a_0+\ a_0*q+\ a_0*q^2+\ a_0*q^3+...+\ a_0*q^(n-1)$, moltiplicando tutti i termini per $q$ si ottiene: $qS=a_0*q+\ a_0*q^2+\ a_0*q^3+\ a_0*q^4+...+\ a_0*q^n$, come ci mostrò Huygens, se sottraiamo membro a membro la seconda dalla prima ed elimindano i termini opposti, si ha: $S-qS=a_0-a_0*q^n$ e con semplici passaggi algebrici si ricava: $S(1-q)=a_0(1-q^n)$ da cui: $S=a_0*((1-q^n)/(1-q))$ che può essere scritta: $S=a_0*(1/(1-q)-(q^n)/(1-q))$.
I casi in cui $q>=1$ non sono interessanti; il caso più "fertile" (se si lascia passare il termine...) è quando $q<1$; in tal caso, per $n->oo$, il termine $q^n/(1-q)->0$, ovvero si annulla e la Somma si riduce al termine $(1)\ S=1/(1-q)$
Per venire ad un caso simile al tuo, ad esempio il periodico $0,bar(3)=0,33333333...3$ notiamo che sostituendo il numero con il suo Polinomio, otteniamo: $P_(n)=(0,3)*(1/1+1/(10)+1/(100)+1/(1000)+...+1/(10^n))$, cioè una Progressione in cui il primo termine è $0,3$ e la Ragione è: $1/(10)/1=1/(100)/1/(10)=...=1/(10)$. Se sostituiamo nella $(1)$ otteniamo:
$S=0,3*(1/(1-1/(10)))=0,3*10/9=0,bar(3)$ che è proprio il periodico cercato. Queste frazioni sono dette Frazioni Generatrici.
Grazie IvanTerr. Gentilissimo.
Credo di aver capito: $10^n*(1-1/10^n)$ non può contenere come fattori divisori della base.
Grazie ancora
Credo di aver capito: $10^n*(1-1/10^n)$ non può contenere come fattori divisori della base.
Grazie ancora
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