Numeri immaginari
Ciao, perchè $i^2 = -1$ se $i^2 = \sqrt(-1) * \sqrt(-1) = \sqrt(-1 * -1) = \sqrt(1) = 1$ ?
grazie
grazie
Risposte
Ciao, non puoi ragionare così. $i$ è un numero immaginario ed è definito come quell'entità che elevata al quadrato fa $-1$. Parlare di "radice di $-1$" non ha senso nei numeri reali e quindi non ha senso fare l'operazione di prodotto che hai fatto tu, poichè appena scrivi $\sqrt{-1}$ hai già scritto una cosa assurda e tutto il resto lo è di conseguenza. E' più che altro una definizione "operativa", cioè si dà questa definizione e poi la si usa per dire, ad esempio che $\sqrt{-4} = 2i$.
Spero di essere stato chiaro.
Spero di essere stato chiaro.
Risposta assolutamente corretta. Aggiungerei un altro esempio famoso:
[size=150]$$\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=\sqrt[6]{1}=1$$[/size]
La dimostrazione sembra corretta e adottabile, invece è sbagliata, dato [size=150]$(-1)^{\frac{2}{6}}$[/size] non è definito in $RR$.
Per essere un po' più precisi e rigorosi comunque, quando fai la radice quadrata di un numero positivo, stai facendo la radice quadrata principale, che ti dà solo il risultato positivo (cioè $sqrt(4)=2$, non $sqrt(4)=pm2$). Quando invece fai la radice quadrata di un numero negativa, stai facendo la radice quadrata complessa, che ti da come risultato $i$ moltiplicato per la radice quadrata principale dell'opposto del numero iniziale (cioè $sqrt(-4)=2i$, anche qui non è $sqrt(-4)=pm2i$).
Quindi il tuo esempio è sbagliato in quanto la proprietà $sqrt(a)\cdot\sqrt(b)=\sqrt(ab)$ è valida solo per $a,b\geq0$. Infatti:
$$\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=i\cdot i=i^2=-1$$
[size=150]$$\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=\sqrt[6]{1}=1$$[/size]
La dimostrazione sembra corretta e adottabile, invece è sbagliata, dato [size=150]$(-1)^{\frac{2}{6}}$[/size] non è definito in $RR$.
Per essere un po' più precisi e rigorosi comunque, quando fai la radice quadrata di un numero positivo, stai facendo la radice quadrata principale, che ti dà solo il risultato positivo (cioè $sqrt(4)=2$, non $sqrt(4)=pm2$). Quando invece fai la radice quadrata di un numero negativa, stai facendo la radice quadrata complessa, che ti da come risultato $i$ moltiplicato per la radice quadrata principale dell'opposto del numero iniziale (cioè $sqrt(-4)=2i$, anche qui non è $sqrt(-4)=pm2i$).
Quindi il tuo esempio è sbagliato in quanto la proprietà $sqrt(a)\cdot\sqrt(b)=\sqrt(ab)$ è valida solo per $a,b\geq0$. Infatti:
$$\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=i\cdot i=i^2=-1$$
"paperino00":
Ciao, perchè $i^2 = -1$ se $i^2 = \sqrt(-1) * \sqrt(-1) = \sqrt(-1 * -1) = \sqrt(1) = 1$ ?
grazie
Ho fatto questo "giochetto" a un prof. universitario che, dopo averci pensato non so quanto se l'è cavata dicendo che "le potenze e gli esponenziali sono definiti per base non negativa e le loro proprietà valgono per base non negativa".
In pratica "c'ha messo 'na pezza"...
In generale vale quanto ha detto Pianoth a cui vanno i complimenti per l'esauriente risposta!
"Pianoth":
Per essere un po' più precisi e rigorosi comunque, quando fai la radice quadrata di un numero positivo, stai facendo la radice quadrata principale, che ti da solo il risultato positivo (cioè $sqrt(4)=2$, non $sqrt(4)=pm2$).
E su questo sono d'accordo in quanto lavorando in $RR$ la radice quadrata dà un risultato unico.
Invece non lo sono in questo:
"Pianoth":
Quando invece fai la radice quadrata di un numero negativo, stai facendo la radice quadrata complessa, che ti da come risultato $i$ moltiplicato per la radice quadrata principale dell'opposto del numero iniziale (cioè $sqrt(-4)=2i$, anche qui non è $sqrt(-4)=pm2i$).
In $CC$ la radice n-esima ammette $n$ soluzioni, perciò se la radice è quadrata le soluzioni sono 2, $sqrt(-4)= +-2i$
Giusto. Niente da aggiungere
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