Numeri complessi....di nome e di fatto :)

[giowommy]

ciao ragazzi, ho cercato un bel pò online tra esercizi svolti prima di postare..ma non ho trovato questo specifico esercizio che proprio non capisco. $ (z-2)^3 = -i $ . Io avevo pensato di sviluppare il cubo...ma forse avrei peggiorato le cose.... quindi ho posto entrambi i membri sotto radice cubica così da ottenere $ z -2 = root(3)(-i) $ . A questo punto avrei la mia z e potrei trovare $\rho$ e $\theta$ per sviluppare l'esercizio.

il problema è che questo esercizio viene dagli appunti di un compagno presi a lezione.... e a lui $\rho$ non capisco come faccia a venire 1... idem $\theta$ =3/2 $\pi$.....

voi sapreste spiegarmi il perchè?

[@melia]

Prova a disegnare sul piano di Gauss $-i$

[giowommy]

l ho disegnato... infatti $ $\theta$ = 3/2 $\pi$ $ ....però non capisco perchè il -2 non viene considerato come "a" ( considerando la formula z =a+ ib) ...ma ad essere considerato "a" è 0...

[@melia]

Scusa, ma tu devi fare la $root3(-i)$ e poi ai 3 risultati e solo ad essi devi aggiungere il 2 che non è sotto radice

[giowommy]

ok!!! ho $ z-2= $root(3)(-i)$ $..... allora come prima cosa ho scritto $ (z')^3= -i$ ...usando il -1 come "b" per trovare $\rho$ .... i miei 3 risultati sono z1= i ; z2= -1/2 ( $sqrt (3)$ + i) ...a questi 3 devo aggiungere il 2 iniziale?? purtroppo non ho nessun esempio a riguardo..vado un po alla cieca.... grazie in anticipo melia...

[giowommy]

la z3 è : $(1/2)* ($ $sqrt(3)$ -i$) $

[@melia]

$z'_1=i$ su questo siamo d'accordo, ma $z'_2$ ha lo stesso raggio e argomento $pi/2+(2pi)/3=4/3 pi$, parti dall'angolo della soluzione e aggiungi $1/3$ di giro perché stiamo parlando di radici terze, aggiungi un altro terzo di giro e hai l'argomento di $z'_3$ quindi $z'_2=-sqrt3/2-1/2i$ e $z'_3=sqrt3/2-1/2i$, perciò
$z_1=2+i$, $z_2=2-sqrt3/2-1/2i$ e $z_3=2+sqrt3/2-1/2i$

[giowommy]

perfetto i risultati combaciano!!! con la sola differenza che la prof non aveva aggiunto i 2 !!!! chissà perchè....

comunque io volevo subito portare il 2 dall'altro lato dell'equazione perchè qui davanti a me ho un compito d'esame svolto ... :

$ 2*(z)^4 + 1 + i* $sqrt(3)$ =0$

e il primo passaggio che fa è portare l'1 e i * $sqrt(3)$ a destra dell'equazione....è sbagliato?

[@melia]

No che non è sbagliato, qui la potenza è solo su $z$, nell'altro esercizio era su $z-2$.
In pratica devi isolare il termine elevato a potenza $n$, estrarre le $n$ radici ennesime, poi, se il termine elevato a potenza non è $z$, ricavare $z$.

[giowommy]

ok melia tutto chiarissimo grazie