Numeri complessi goniometria e trigonometria

[SebastianoC]

Buon pomeriggio.
Abbiamo appena iniziato di matematica un nuovo argomento: i numeri complessi, però abbinati anche in forma goniometrica e trigonometrica.
Abbiamo iniziato a fare degli esercizi.
Fatti tutti tranne tre che non riesco proprio a fare e non so come farli.
Mi potreste aiutare? E' importante.
Gli esercizi sono:
1) radice quinta di -i
2) i elevato alla -41
3) z alla sesta - i z alla quarta + z alla seconda - i = 0.
Grazie mille.

[@melia]

$root(5) (-i)$ per prima cosa bisogna scrivere $-i$ in forma goniometrica, $-i = cos(- pi/2) + i sin(-pi/2)$, (al posto di $-pi/2$ avresti potuto usare anche $3/2 pi$), le 5 radici quinte di $-i$ sono quelle che si ottengono dalla formula
$root(5) (-i)= cos((- pi/2+2kpi)/5) + i sin((- pi/2+2kpi)/5)$ con $k= 0, 1, 2, 3, 4$ adesso basta sostituire i valori a k per ottenere le 5 soluzioni.

$(i)^(-41)= (i^(-1))^41= (1/i)^41$ qui puoi procedere in più modi, io preferisco ricordare che $i^4=1$, quindi
$(1/i)^41=1/((i^4)^10*i)=1/(1^10*i)=1/i *i/i=i/(-1)=-i$

Nell'ultimo esercizio puoi iniziare con un raccoglimento a fattor parziale.

[SebastianoC]

Grazie mille davvero per l'aiuto e la risposta.
Per quanto riguarda l'ultimo esercizio (il terzo) non l'ho capito molto bene cosa fare.
Mi potrebbe spiegare bene con passaggi anche l'ultimo.
Grazie mille.

[@melia]

$z^6 - i z^4 + z^2 - i = 0$
Facendo un raccoglimento a fattor parziale si ottiene
$z^4(z^2-i) +1(z^2-i)=0$
$(z^2-i)(z^4+1)=0$ adesso basta annullare ciascun fattore

$z^2-i=0$ che diventa $z^2=i$ da qui basta ricavare le due radici quadrate di $i$ con i procedimento visto nell'esercizio 1

$z^4+1=0$ che diventa $z^4= -1$ da qui basta ricavare le 4 radici quarte di $-1$ con i procedimento visto nel primo esercizio