Numeri complessi
Su un libro ho trovato la seguente asserzione: radice di (3+4i)=2+i
Non avendo ancora avuto occasione di studiare i numeri complessi, se non in maniera marginale (ah, beata elettrotecnica), mi chiedevo se qualcuno di voi potesse tentare di spiegarmi la suddetta affermazione, sempre che la cosa possa essere fattibile, considerando tutti i limiti della, è il caso di dirlo, tele-comunicazione.
Non avendo ancora avuto occasione di studiare i numeri complessi, se non in maniera marginale (ah, beata elettrotecnica), mi chiedevo se qualcuno di voi potesse tentare di spiegarmi la suddetta affermazione, sempre che la cosa possa essere fattibile, considerando tutti i limiti della, è il caso di dirlo, tele-comunicazione.
Risposte
Dice che $(2+i)^2=4-1+4i=3+4i$.
Il valore di $i^2$ è -1
quindi esegui l'equazione elevando al quadrato e hai:
$3+4i=4+i^2+4i$
ma poichè come ho precisato $i^2$ è uguale a -1, sottraendo ottieni l'identità:
$3+4i=3+4i$
ciao!
quindi esegui l'equazione elevando al quadrato e hai:
$3+4i=4+i^2+4i$
ma poichè come ho precisato $i^2$ è uguale a -1, sottraendo ottieni l'identità:
$3+4i=3+4i$
ciao!
Grazie a tutti per aver risposto.
In realtà, mi sono male espresso.
Nel libro non è posta come equazione - avevo capito la relazione -, ma come semplice espressione: radice di (3+4i)=.
In seguito è indicato come la soluzione sia 2+i.
In realtà, mi sono male espresso.
Nel libro non è posta come equazione - avevo capito la relazione -, ma come semplice espressione: radice di (3+4i)=.
In seguito è indicato come la soluzione sia 2+i.
eh non è proprio giustissimo.... se tu estrai la radice ennesima di un numero complesso trovi esattamnte n radici, lo dice il teorema di de moivre se non sbaglio.
ok...
tu vuoi sapere come ricavare quella soluzione, giusto?
c'e' una regoletta semplice semplice che sfrutta l'espressione trigonometrica di un numero complesso, ma, per rimanere all' "a, b, c" dei numeri complessi, puoi risolvere il problema come segue:
Trovare quella radice quadrata significa risolvere la seguente equazione in z (con z=a+ib)
z^2=3+4i
da cui
a^2-b^2+2abi = 3+4i
quindi basta impostare il seguente sistemino
a^2-b^2=3
2ab = 4
(ottenuto osservando che se 2 numeri complessi sono uguali, allora devono avere la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria)
dalla seconda equazione del sistema si trova
b=2/a
sostituisci nella prima, fai i conti e troverai
a = 2 (e quindi b = 1, da cui z = 2+i)
o
a = -2 (e quindi b = -1, da cui z = -2-i)
ti torna?
ciao,
Giuseppe
tu vuoi sapere come ricavare quella soluzione, giusto?
c'e' una regoletta semplice semplice che sfrutta l'espressione trigonometrica di un numero complesso, ma, per rimanere all' "a, b, c" dei numeri complessi, puoi risolvere il problema come segue:
Trovare quella radice quadrata significa risolvere la seguente equazione in z (con z=a+ib)
z^2=3+4i
da cui
a^2-b^2+2abi = 3+4i
quindi basta impostare il seguente sistemino
a^2-b^2=3
2ab = 4
(ottenuto osservando che se 2 numeri complessi sono uguali, allora devono avere la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria)
dalla seconda equazione del sistema si trova
b=2/a
sostituisci nella prima, fai i conti e troverai
a = 2 (e quindi b = 1, da cui z = 2+i)
o
a = -2 (e quindi b = -1, da cui z = -2-i)
ti torna?
ciao,
Giuseppe
Grandissimo Giuseppe, spiegazione chiara ed esauriente.
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