Numeri complessi
Volevo chiedere alcune informazioni sui numeri complessi che sto studiando ora: come si dimostra che la forma algebrica di un numero complesso è equivalente alla foma esponenziale, ovvero da $z = a+ib$ come si arriva a $z = re^(itheta)$. Poi nel mio libro che è un test di qurata liceo dellazanichelli non si parla di funzione esponenziale, logaritmo e funzioni goniometriche nell'insieme dei complessi e non si parla neanche di disequazioni coi numeri complessi. Come mai?
Risposte
Ti ringrazio tantissimo per questa spiegazione dettagliata, anche se ancora non ho perfettamente chiaro il concetto di sviluppo in serie, riesco a intuire come funziona la dimostrazione, per quanto riguarda tutte le info sui numeri complessi non presenti nel libro di testo, dove posso cercare, e soprattutto cosa, oltre a equazioni e disequazioni?
Soprattutto non cercare disequazioni ...
Se mi dici così mi incuriosisci di più. Come mai?
"TeM":
(...)
Una dimostrazione alternativa e abbastanza carina consiste nel considerare la funzione \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) di legge: \[ f(\theta) := \frac{\cos\theta + \text{i}\,\sin\theta}{e^{\text{i}\,\theta}}\,, \] la quale presentando le seguenti caratteristiche: \[ f'(\theta) = 0 \; \; \forall\,\theta \in \mathbb{R}\,, \; \; \; \; \; \; f(0) = 1 \] segue che \(f\) è una funzione costantemente pari a \(1\), quindi numeratore e denominatore coincidono per ogni \(\theta\).
Bhé questo lo dici tu, con il "senno di poi" che hai maturato con i tuoi studi. Un liceale non sa che \[e^z=1+\sum_{j=1}^\infty \frac{z^j}{j!} \quad \text{per ogni $z \in \mathbb C$} ,\] non sa cos'è una derivata, non sa ancora la logica che ci sta dietro, cose che tu invece sai. Difatti chi ha aperto la discussione ha storto il naso:
"olegfresi":
(...)
nel mio libro che è un testo di quarta liceo non si parla di funzione esponenziale, logaritmo e funzioni goniometriche nell'insieme dei complessi (...)
Dubbio più che lecito e coraggioso vista l'età di olegfresi. Che significa elevare ad esponente complesso? O meglio: come è definita l'esponenziazione a numeri complessi? Idem per $\log$ e le funzioni goniometriche. Boom. I libri liquidano l'esponenziazione dicendo "tra le righe"
$e^{i\alpha}$ è un modo più semplice di dire $\cos\alpha+i\sin\alpha$.
Per carità, gli autori hanno le proprie ragioni, ovvio...
Non ce l'ho con te mica... 
Però quella via alternativa mi ha colpito.
Toranando alla richiesta di olegfresi, io rispondo come si dice avere fatto Euclide al faraone che chiedeva dell'esistenza di un'altra via oltre a quella degli Elementi
Nel tuo caso: o aspetti (che fai dopo il liceo?) oppure ti prendi un libro di analisi dall'inizio e ci arrivi con molta pazienza (e, se serve, fatica).
Tra l'altro, l'anno prossimo dovresti fare qualcosina... prenditi il libro di quinta e vedi di anticipare i tuoi compagni di classe, per cominciare un po' più soft.
Però quella via alternativa mi ha colpito.Toranando alla richiesta di olegfresi, io rispondo come si dice avere fatto Euclide al faraone che chiedeva dell'esistenza di un'altra via oltre a quella degli Elementi
Non esistono vie privilegiate per i prìncipi, più semplici o più corte nello studio della geometria
Nel tuo caso: o aspetti (che fai dopo il liceo?) oppure ti prendi un libro di analisi dall'inizio e ci arrivi con molta pazienza (e, se serve, fatica).
Tra l'altro, l'anno prossimo dovresti fare qualcosina... prenditi il libro di quinta e vedi di anticipare i tuoi compagni di classe, per cominciare un po' più soft.
"TeM":
... evitando di rispondere con un classico "lascia perdere" ...
Secondo me, era meglio ...
"Indrjo Dedej":
... prenditi il libro di quinta e vedi di anticipare i tuoi compagni di classe, per cominciare un po' più soft.
È quello che già fa (anzi credo sia già andato oltre ...) ma non mi pare che sia il metodo più adatto a lui ...
In risposta a TeM e Indrjo Dedej: si, sto già studiando gli argomenti di quarta, e ho dato uno sguardo a quelli di quinta, ma senza approfondire, siccome il programma di quinta è una versione ridotta del programma di analisi 1 universitario, sto valtnado l'idea di acquistare un libro appunto di anlisi 1, che credo sia abbstanza standard in tutte le facoltà nelle quali c'è quel esame. Ma ho anche letto che in analisi 1 non si approfondisce più di tanto l'argomento numeri complessi, e che quindi bisogna studiare analisi complessa. Quindi, comprando un testo di anlisi complessa è sicuro che l'argomento numeri compessi è completo, oppure mi dovrò riferire anche ad altri libri? Dopo il liceo avrei intenzione di studiare ingegneria informatica, visto che le mie passioni sono mate, fisica e informatica. Avreste qualche libro da consigliarmi? Infine ho gradito molto le vostre risposte, e il dibattito in generale.
In risposta ad axpgn: quest'anno ho fatto la terza liceo, purtroopo non ho avuto un ottimo insegnante di matematica(che insegnava anche fisica) visto che era un ingegnere, non proveniente dal liceo scientifico, dunque non era in grado di spiegare, e quindi spiegava leggendo le informazioni dal libro. Gli esercizi più difficilini li liquidava e gli altri li faceva risolvere a me, che ero l'unico a passare le giornate a casa a studiare(non ho mai chiesto ripetizioni), il che non mi dispicaeva poichè appasionato alla materia, comunque mi sarebbe piaciuto un insegnante più preparato, magari laureato in matematica o fisica, e non uno che confonde la risoluzione di una disequazione fratta e un sistema di disequazioni(intendo nel momento che si arriva al grafico dei segni). Ovviamente ho trovato difficoltà in alcuni esercizi e allora facevo riferimento a questo forum, sempre disponibile e gentile, e credimi che se davvero non mi piacesse quel che faccio, non starei in casa con 37° sui libri, visto che abito anche a pochi chilometri dal mare. Il fatto che quando mostro dubbi e difficoltà abbstanza banali, è dovuto a delle lacune che ho nella geometria di base. In quanto al lasciar perdere, quando si ha davanti un qualcosa più grande di quel che sembra, lo ritengo sbagliato, perchè la mia filosofia di studio della matematica e della fisica, è sapere cosa c'è dietro ad un ragionamento o una formula (come per la formula di Eulero, che non capivo come saltava fuuori).
In risposta ad axpgn: quest'anno ho fatto la terza liceo, purtroopo non ho avuto un ottimo insegnante di matematica(che insegnava anche fisica) visto che era un ingegnere, non proveniente dal liceo scientifico, dunque non era in grado di spiegare, e quindi spiegava leggendo le informazioni dal libro. Gli esercizi più difficilini li liquidava e gli altri li faceva risolvere a me, che ero l'unico a passare le giornate a casa a studiare(non ho mai chiesto ripetizioni), il che non mi dispicaeva poichè appasionato alla materia, comunque mi sarebbe piaciuto un insegnante più preparato, magari laureato in matematica o fisica, e non uno che confonde la risoluzione di una disequazione fratta e un sistema di disequazioni(intendo nel momento che si arriva al grafico dei segni). Ovviamente ho trovato difficoltà in alcuni esercizi e allora facevo riferimento a questo forum, sempre disponibile e gentile, e credimi che se davvero non mi piacesse quel che faccio, non starei in casa con 37° sui libri, visto che abito anche a pochi chilometri dal mare. Il fatto che quando mostro dubbi e difficoltà abbstanza banali, è dovuto a delle lacune che ho nella geometria di base. In quanto al lasciar perdere, quando si ha davanti un qualcosa più grande di quel che sembra, lo ritengo sbagliato, perchè la mia filosofia di studio della matematica e della fisica, è sapere cosa c'è dietro ad un ragionamento o una formula (come per la formula di Eulero, che non capivo come saltava fuuori).
Il problema, caro olegfresi, non è il "voler sapere" ma il modo con cui lo fai: "ingurgitare" libri non è il metodo migliore, meglio capire quello che si legge, riflettendoci sopra ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Vista la tua situazione, segui il consiglio di axpgn. Capisci a fondo quello che hai fatto o quello che avresti dovuto fare durante l'anno. Poi puoi osare.
Beh, io quando studio, capisco quel che sto studiando ma, ci sono esercizi in cui inizio a perdermi, come quello che posterò adesso.
@ TeM grazie mille per le dispense!
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