Non riesco a capire un limite
Salve a tutti,
vorrei chiedervi come mai il $lim_(dx->0) f(x) = f(x)$
vorrei chiedervi come mai il $lim_(dx->0) f(x) = f(x)$
Risposte
Il senso della tua domanda non è chiaro e faresti meglio a precisarne il contesto. Mi sembra di poterti rispondere che $f(x)$ non dipende da $dx$ e quindi è una costante al variare di quest'ultimo; sai certo che il limite di una costante è la costante stessa.
Ma forse la tua domanda era un'altra.
Ma forse la tua domanda era un'altra.
Ciao Giammaria,
in realtà la domanda proviene dalle equazioni differenziali, l'avevo postata gia di la ma nessuno mi ha risposto.
ma in realtà è applicabile a qualsiasi concetto del tipo:
$lim_(dt->0) (N(t+\Deltat)-N(t))/(\Deltat) = lim_(dt->0)\lambdaN(t)=$
$=N'(t)=\lambdaN(t)$
sul primo membro sono d'accordo sul secondo non saprei...
in realtà la domanda proviene dalle equazioni differenziali, l'avevo postata gia di la ma nessuno mi ha risposto.
ma in realtà è applicabile a qualsiasi concetto del tipo:
$lim_(dt->0) (N(t+\Deltat)-N(t))/(\Deltat) = lim_(dt->0)\lambdaN(t)=$
$=N'(t)=\lambdaN(t)$
sul primo membro sono d'accordo sul secondo non saprei...
Se ben capisco, nel risolvere un'equazione differenziale (che, per inciso, non è argomento di secondaria) ottieni la formula
$(N(t+Deltat)-N(t))/(Deltat)=lambda N(t)$
Ora passi al limite per $Deltat->0$ ed a primo membro hai la definizione delle derivata; il tuo problema si pone a secondo membro. Ma pensa di far variare $Deltat$, lasciando fisso $t$: il secondo membro resta sempre lo stesso ed è quindi uguale al suo limite. La formula precedente diventa quindi
$N'(t)=lambdaN(t)$
$(N(t+Deltat)-N(t))/(Deltat)=lambda N(t)$
Ora passi al limite per $Deltat->0$ ed a primo membro hai la definizione delle derivata; il tuo problema si pone a secondo membro. Ma pensa di far variare $Deltat$, lasciando fisso $t$: il secondo membro resta sempre lo stesso ed è quindi uguale al suo limite. La formula precedente diventa quindi
$N'(t)=lambdaN(t)$
ho pensato anche io cosi, come mi stai dicendo tu...
ma quello che non capisco è che cosa devo immaginarmi:
forse... $\lambdaN(\Deltat)$ quindi devo sostituire $t$ con $\Deltat$ ?
oppure cosa devo immaginarmi ?
magari $\lambdaN(t+\Deltat)$ ?
nel caso fosse cosi il limite non andrebbe scritto in questa maniera: $lim_(dt->0) \lambdaN(t+\Deltat)$ ?
cioe io non capisco dove devo mettere $\Deltat$ per poi iniziare il ragionamento.
e poi a livello di parole, cosa significa quel limite?
esempio, se ci fosse: $lim_(t->2) \lambdaN(t)$
a parole per me significa:
cosa tende la funzione$N(t)$ per $t$ che tende a $2$
ma in questo caso non riesco proprio neanche a scriverlo a parole quel limite...
si lo so che non è argomento da secondaria, ma il limite in questione penso di si...
ma quello che non capisco è che cosa devo immaginarmi:
forse... $\lambdaN(\Deltat)$ quindi devo sostituire $t$ con $\Deltat$ ?
oppure cosa devo immaginarmi ?
magari $\lambdaN(t+\Deltat)$ ?
nel caso fosse cosi il limite non andrebbe scritto in questa maniera: $lim_(dt->0) \lambdaN(t+\Deltat)$ ?
cioe io non capisco dove devo mettere $\Deltat$ per poi iniziare il ragionamento.
e poi a livello di parole, cosa significa quel limite?
esempio, se ci fosse: $lim_(t->2) \lambdaN(t)$
a parole per me significa:
cosa tende la funzione$N(t)$ per $t$ che tende a $2$
ma in questo caso non riesco proprio neanche a scriverlo a parole quel limite...
si lo so che non è argomento da secondaria, ma il limite in questione penso di si...
Quello che sto cercando di spiegarti è che $N(t)$ non dipende da $Deltat$. Provo in altro modo.
Come sai, $Deltat$ è l'intervallo di tempo fra l'istante iniziale $t=t_1$ e quello finale $t_2$; in formula, $Deltat=t_2-t_1$. Usando le $t_k$, la formula diventa
$lim_(t_2->t_1)(N(t_2)-N(t_1))/(t_2-t_1)=lim_(t_2->t_1)lambdaN(t_1)$
Quando calcoli questi limiti, noti che il secondo membro non dipende da $t_2$: quindi è una costante ed il suo limite è $lambdaN(t_1)$.
Forse il tuo dubbio deriva dal fatto che in quell'intervallo di tempo $N(t)$ cambia: è vero, ma lo fa in modo infinitesimo e gli infinitesimi sono trascurabili rispetto ai valori finiti. Del resto, anche se a secondo membro tu avessi scritto $lim_(t_2->t_1)lambdaN(t_2)$ il risultato sarebbe comunque stato $lambdaN(t_1)$.
Come sai, $Deltat$ è l'intervallo di tempo fra l'istante iniziale $t=t_1$ e quello finale $t_2$; in formula, $Deltat=t_2-t_1$. Usando le $t_k$, la formula diventa
$lim_(t_2->t_1)(N(t_2)-N(t_1))/(t_2-t_1)=lim_(t_2->t_1)lambdaN(t_1)$
Quando calcoli questi limiti, noti che il secondo membro non dipende da $t_2$: quindi è una costante ed il suo limite è $lambdaN(t_1)$.
Forse il tuo dubbio deriva dal fatto che in quell'intervallo di tempo $N(t)$ cambia: è vero, ma lo fa in modo infinitesimo e gli infinitesimi sono trascurabili rispetto ai valori finiti. Del resto, anche se a secondo membro tu avessi scritto $lim_(t_2->t_1)lambdaN(t_2)$ il risultato sarebbe comunque stato $lambdaN(t_1)$.
perfetto grazie mille,
cosi vedo meglio la soluzione.
in poche parole $t_2$ non ha niente a che fare sul secondo membro è quindi ciò che è presente nel limite è una costante a tutti gli effetti proprio perche non dipende da $t$.
in sintesi se avessi un limite del tipo: $lim_(t->0) x$ il risultato è $x$ perchè $x$ non dipende da $t$ e quindi è una costante. il limite di una costante è la costante stessa, ecco perche si possono tirare fuori dal limite.
spero di aver capito bene, mi puoi dare conferma?
grazie
cosi vedo meglio la soluzione.
in poche parole $t_2$ non ha niente a che fare sul secondo membro è quindi ciò che è presente nel limite è una costante a tutti gli effetti proprio perche non dipende da $t$.
in sintesi se avessi un limite del tipo: $lim_(t->0) x$ il risultato è $x$ perchè $x$ non dipende da $t$ e quindi è una costante. il limite di una costante è la costante stessa, ecco perche si possono tirare fuori dal limite.
spero di aver capito bene, mi puoi dare conferma?
grazie
Esatto.
ok, grazie mille.
[OT]
giammaria lo sai che mi stanno appassionando le equazioni differenziali? peccato che ho il corso in tedesco e quindi non riesco proprio a capire tutto perfettamente; però sono potenti perchè riesci a vedere il processo di una determinata cosa. L'ultimo che ho fatto è quello del raffreddamento di una tazzina del caffè messa a temperatura ambiente. Troppo interessante
fine [OT]
[OT]
giammaria lo sai che mi stanno appassionando le equazioni differenziali? peccato che ho il corso in tedesco e quindi non riesco proprio a capire tutto perfettamente; però sono potenti perchè riesci a vedere il processo di una determinata cosa. L'ultimo che ho fatto è quello del raffreddamento di una tazzina del caffè messa a temperatura ambiente. Troppo interessante
fine [OT]
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