Non c'e' 2 senza 3 (ovvero altri quesiti per maturandi)
1Determinare ,senza l'uso delle derivate,il massimo ed il minimo
assoluti della funzione cosi' definita:
$f(x)=5sinx+12cosx$
2)Con un procedimento di limite dimostrare che la lunghezza della
circonferenza di raggio r e' $2 pi r$ e l'area del cerchio e' $pi r^2$
3)Stabilire che l'equazione: $5x^5+7x-a^2=0$ ha 4 radici complesse
4)Quanto vale l'espressione $cos^2(arctgx)+cos^2(arc cotx)$ ?
5)Calcolare il seguente limite:
$lim_(x->0)(int_(5x)^(6x)e^(sint)dt-x)/(1-cosx)$
6)Dimostrare che la curva di equazione:
$y=(x^2-3x+1)/(x-2)$
ha due soli punti a coordinate intere e calcolare l'area della regione (finita)
di piano delimitata dalla curva,dall'asse x e dalla retta che unisce tali
punti.
karl
assoluti della funzione cosi' definita:
$f(x)=5sinx+12cosx$
2)Con un procedimento di limite dimostrare che la lunghezza della
circonferenza di raggio r e' $2 pi r$ e l'area del cerchio e' $pi r^2$
3)Stabilire che l'equazione: $5x^5+7x-a^2=0$ ha 4 radici complesse
4)Quanto vale l'espressione $cos^2(arctgx)+cos^2(arc cotx)$ ?
5)Calcolare il seguente limite:
$lim_(x->0)(int_(5x)^(6x)e^(sint)dt-x)/(1-cosx)$
6)Dimostrare che la curva di equazione:
$y=(x^2-3x+1)/(x-2)$
ha due soli punti a coordinate intere e calcolare l'area della regione (finita)
di piano delimitata dalla curva,dall'asse x e dalla retta che unisce tali
punti.
karl
Risposte
karl non credo che a scuola si facciano i numeri complessi...
Perlomeno io non li ho fatti.
Perlomeno io non li ho fatti.
io si
5) Applicando De L'Hopital e - subito dopo - i limiti notevoli si ha:
$lim_(x->0) (6e^(sin6x)-5e^(sin5x)-1)/sinx=
$=lim_(x->0) (6e^(6x)-5e^(5x)-1)/x =
$=lim_(x->0) (6+36x-5-25x-1)/x = 11
$lim_(x->0) (6e^(sin6x)-5e^(sin5x)-1)/sinx=
$=lim_(x->0) (6e^(6x)-5e^(5x)-1)/x =
$=lim_(x->0) (6+36x-5-25x-1)/x = 11
4) $cos^2(arctanx)+cos^2(arctan(1/x))=1/(1+x^2)+x^2/(1+x^2)=1$
Da notare che $cos^2(arc cotx)=cos^2(arctan(1/x))=sin^2(arctanx)
Da notare che $cos^2(arc cotx)=cos^2(arctan(1/x))=sin^2(arctanx)
Per l'es. N°3 i numeri complessi c'entrano poco.
karl
karl
1) Sia $m$ il minimo/massimo che stiamo cercando.
Risolvendo il sistema:
${(5sinx+12cosx=m),(sin^2x+cos^2x=1):}
si ottengono due soluzioni, ma ne basta
una sola per lo scopo dell'esercizio.
Una soluzione è ${(cosx=(5sqrt(169-m^2)+12m)/169),(sinx=(5m-12sqrt(169-m^2))/169):}
Affinché tutto ciò sia valido bisogna che sia:
$-1<=(5sqrt(169-m^2)+12m)/169<=1$
$-1<=(5m-12sqrt(169-m^2))/169<=1$
Entrambe le disequazioni sono soddisfatte
per $-13<=m<=13$, infatti queste sono proprio
le condizioni di esistenza del radicale $sqrt(169-m^2)$,
per cui il massimo e il minimo sono rispettivamente 13 e -13.
Risolvendo il sistema:
${(5sinx+12cosx=m),(sin^2x+cos^2x=1):}
si ottengono due soluzioni, ma ne basta
una sola per lo scopo dell'esercizio.
Una soluzione è ${(cosx=(5sqrt(169-m^2)+12m)/169),(sinx=(5m-12sqrt(169-m^2))/169):}
Affinché tutto ciò sia valido bisogna che sia:
$-1<=(5sqrt(169-m^2)+12m)/169<=1$
$-1<=(5m-12sqrt(169-m^2))/169<=1$
Entrambe le disequazioni sono soddisfatte
per $-13<=m<=13$, infatti queste sono proprio
le condizioni di esistenza del radicale $sqrt(169-m^2)$,
per cui il massimo e il minimo sono rispettivamente 13 e -13.
Buona soluzione quella di Fire.
L'alternativa potrebbe essere la seguente.
Scriviamo la f(x) cosi':
$f(x)=5(sinx+(12)/5cosx)$ e poniamo $tanalpha=(12)/5$
Pertanto:
$sinalpha=(12)/(13),cosalpha=5/(13)$
$f(x)=13sin(x+alpha)$
Da qui si vede che il minimo ed il massimo di f(x) sono appunto -13 e +13
assunti dei punti $x=-(pi)/2-alpha,x=(pi)/2-alpha$ rispettivamente con $alpha=atan((12)/5)$
karl
L'alternativa potrebbe essere la seguente.
Scriviamo la f(x) cosi':
$f(x)=5(sinx+(12)/5cosx)$ e poniamo $tanalpha=(12)/5$
Pertanto:
$sinalpha=(12)/(13),cosalpha=5/(13)$
$f(x)=13sin(x+alpha)$
Da qui si vede che il minimo ed il massimo di f(x) sono appunto -13 e +13
assunti dei punti $x=-(pi)/2-alpha,x=(pi)/2-alpha$ rispettivamente con $alpha=atan((12)/5)$
karl
Ecco, ero sicuro che esistesse una soluzione moolto meno macchinosa della mia! 
2) Si consideri un poligono regolare di $n$ lati inscritto in una circonferenza di raggio $r$ e lo si divida in $n$ triangoli aventi per lati un lato del poligono e due raggi della circonferenza.
Il lato $l$ del triangolo è dato da
$l/2=rsin(pi/n)$ poichè l'angolo al centro è $(2pi)/n$
$l=2rsin(pi/n)$
Il perimetro del poligono sarà dato da $P(n)=2nrsin(pi/n)$
La misura della circonferenza sarà il limite che il perimetro $P(n)$ del poligono assume quando $n$ tende all'infinito, dunque
$C=lim_(ntoinfty)2nrsin(pi/n)=2rlim_(ntoinfty)nsin(pi/n)=2rlim_(ntoinfty)sin(pi/2)/(1/n)=2rlim_(ntoinfty)(pi/n^2cos(pi/n))/(1/n^2)=2pir$
Allo stesso modo l'area di ogni singolo triangolo è data da $A(n)=1/2nr^2sin((2pi)/n)$
La superficie della circonferenza sarà $S=lim_(ntoinfty)1/2nr^2sin((2pi)/n)=pir^2$.
Il lato $l$ del triangolo è dato da
$l/2=rsin(pi/n)$ poichè l'angolo al centro è $(2pi)/n$
$l=2rsin(pi/n)$
Il perimetro del poligono sarà dato da $P(n)=2nrsin(pi/n)$
La misura della circonferenza sarà il limite che il perimetro $P(n)$ del poligono assume quando $n$ tende all'infinito, dunque
$C=lim_(ntoinfty)2nrsin(pi/n)=2rlim_(ntoinfty)nsin(pi/n)=2rlim_(ntoinfty)sin(pi/2)/(1/n)=2rlim_(ntoinfty)(pi/n^2cos(pi/n))/(1/n^2)=2pir$
Allo stesso modo l'area di ogni singolo triangolo è data da $A(n)=1/2nr^2sin((2pi)/n)$
La superficie della circonferenza sarà $S=lim_(ntoinfty)1/2nr^2sin((2pi)/n)=pir^2$.
6) Prima parte
$y=(x^2-3x+1)/(x-2)=(x^2-2x-x+1)/(x-2)=(x(x-2))/(x-2)-(x-1)/(x-2)=x-(x-1-1+1)/(x-2)=x-1+1/(x-2)$
Condizione necessaria e sufficiente affinchè $yinZZ$ è che $x-2|1$ cioè che $x-2=+-1$ da cui $x=3; y=1$ e $x=1; y=1$
$y=(x^2-3x+1)/(x-2)=(x^2-2x-x+1)/(x-2)=(x(x-2))/(x-2)-(x-1)/(x-2)=x-(x-1-1+1)/(x-2)=x-1+1/(x-2)$
Condizione necessaria e sufficiente affinchè $yinZZ$ è che $x-2|1$ cioè che $x-2=+-1$ da cui $x=3; y=1$ e $x=1; y=1$
3) Basta osservare che la funzione $y=5x^5+7x$ ha una sola radice reale $x=0$. Il grafico della funzione $y=5x^5-7x-a^2$ è traslato di $a^2$ unità in basso rispetto al grafico di $y=5x^5+7x$ dunque, poichè quest'ultima funzione non ha punti stazionari, possiamo concludere che anche la funzione $y=5x^5+7x-a^2$ ha una sola radice reale e che per il teorema fondamentale dell'algebra le altre quattro devono essere necessariamente complesse.
Bella Giuseppe la soluzione della prima parte del 6)!!!
Ci avevo provato ed ero quasi arrivato
alla soluzione, solo che avevo fatto
$(x^2-2x+1-x)/(x-2)=(x-1)^2/(x-2)-x/(x-2)$...
Occorreva dunque anche trovare la giusta
scomposizione, perché arrivato qui mi bloccavo!
Forse dovevo fin dall'inizio dividere
numeratore per denominatore, proprio con la divisione tra polinomi!
A questo punto la seconda parte è semplice dal
punto di vista ragionativo, più calcolosa della prima,
ma l'integrale da calcolare è già semplificato
dalla scomposizione della funzione in fratti semplici.
Ci avevo provato ed ero quasi arrivato
alla soluzione, solo che avevo fatto
$(x^2-2x+1-x)/(x-2)=(x-1)^2/(x-2)-x/(x-2)$...
Occorreva dunque anche trovare la giusta
scomposizione, perché arrivato qui mi bloccavo!
Forse dovevo fin dall'inizio dividere
numeratore per denominatore, proprio con la divisione tra polinomi!
A questo punto la seconda parte è semplice dal
punto di vista ragionativo, più calcolosa della prima,
ma l'integrale da calcolare è già semplificato
dalla scomposizione della funzione in fratti semplici.
Ne aggiungo uno io, una "generalizzazione" del 5).
Provare che:
$lim_(x->0) (int_(mx)^(nx)e^sint dt-x)/(1-cosx)=m+n$
se e solo se $m$ ed $n$ sono due interi rispettivamente consecutivi.
Provare che:
$lim_(x->0) (int_(mx)^(nx)e^sint dt-x)/(1-cosx)=m+n$
se e solo se $m$ ed $n$ sono due interi rispettivamente consecutivi.
Bene ragazzi,siete promossi !! (Fireball 2 volte...visto che la maturita' l'ha
gia' fatta) Di giuseppe87x non so.
Vorrei solo aggiungere qualcosa.
a) nel secondo esercizio si puo' fare a meno di ricorrere
all'Hopital visto che ci si puo' ricondurre al celeberrimo
$lim_(x->0)(sinx)/x=1$
Infatti:
$C=lim_(ntoinfty)2nrsin(pi/n)=2rlim_(ntoinfty)nsin(pi/n)=2pirlim_(ntoinfty)sin(pi/n)/((pi/n))=2pir$
b) per l'esercizio 5 direi che una generalizzazione ancora piu' spinta
si puo' ottenere supponendo m ed n reali qualunque aventi differenza 1:
m-n=1
c)non avete ancora risolto l'esercizio sulle due parabole ad assi perpendicolari
nell'altro post.
Una indicazione sufficientemente esplicita l'ho data.
Saluti
karl
gia' fatta) Di giuseppe87x non so.
Vorrei solo aggiungere qualcosa.
a) nel secondo esercizio si puo' fare a meno di ricorrere
all'Hopital visto che ci si puo' ricondurre al celeberrimo
$lim_(x->0)(sinx)/x=1$
Infatti:
$C=lim_(ntoinfty)2nrsin(pi/n)=2rlim_(ntoinfty)nsin(pi/n)=2pirlim_(ntoinfty)sin(pi/n)/((pi/n))=2pir$
b) per l'esercizio 5 direi che una generalizzazione ancora piu' spinta
si puo' ottenere supponendo m ed n reali qualunque aventi differenza 1:
m-n=1
c)non avete ancora risolto l'esercizio sulle due parabole ad assi perpendicolari
nell'altro post.
Una indicazione sufficientemente esplicita l'ho data.
Saluti
karl
"karl":
Bene ragazzi,siete promossi !! (Fireball 2 volte...visto che la maturita' l'ha
gia' fatta) Di giuseppe87x non so.
Vorrei solo aggiungere qualcosa.
a) nel secondo esercizio si puo' fare a meno di ricorrere
all'Hopital visto che ci si puo' ricondurre al celeberrimo
$lim_(x->0)(sinx)/x=1$
Infatti:
$C=lim_(ntoinfty)2nrsin(pi/n)=2rlim_(ntoinfty)nsin(pi/n)=2pirlim_(ntoinfty)sin(pi/n)/((pi/n))=2pir$
b) per l'esercizio 5 direi che una generalizzazione ancora piu' spinta
si puo' ottenere supponendo m ed n reali qualunque aventi differenza 1:
m-n=1
c)non avete ancora risolto l'esercizio sulle due parabole ad assi perpendicolari
nell'altro post.
Una indicazione sufficientemente esplicita l'ho data.
Saluti
karl
Io la maturità ancora non l'ho fatta...la faccio quest'anno. Comunque per l'esercizio delle parabole ci penserò, il fatto è che il libro di terzo anno non ce l'ho e mi devo ricavare da solo l'equazione del fascio...
"giuseppe87x":
Io la maturità ancora non l'ho fatta...la faccio quest'anno. Comunque per l'esercizio delle parabole ci penserò, il fatto è che il libro di terzo anno non ce l'ho e mi devo ricavare da solo l'equazione del fascio...
Si, ma fai attenzione... se continui a risolvere tutti questi problemi di matematica non avrai più tempo per prepararti nelle altre materie
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