Nomenclatura funzioni
Buon pomeriggio a tutti, scrivo perché non riesco a capire cosa significa, per quanto riguarda le funzioni, la scrittura $f(x)=...$. Cioè, $y=f(x)$, se ho capito bene, associa mediante $f$ il valore di x al valore di y. Ma l'altra scrittura cosa diamine significa?
Grazie per l'aiuto!
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Significa la stessa cosa: all'elemento [tex]x[/tex] del dominio viene associato l'elemento [tex]\dots[/tex] del codominio, o l'elemento [tex]x[/tex] viene mandato dalla funzione nell'elemento [tex]\dots[/tex]; di solito si usa quella scrittura quando la legge che definisce la funzione può essere espressa mediante una formula contenente la variabile indipendente [tex]x[/tex].
Esempio
assegna ad ogni numero intero se stesso.
Esempio
assegna ad ogni numero naturale positivo l'elemento [tex]-3[/tex].
Esempio
assegna al numero reale [tex]x\ne0[/tex] il numero [tex](x+1)/x[/tex]: ad esempio assegna a [tex]1[/tex] il numero [tex]2[/tex], a [tex]-1[/tex] il numero [tex]0[/tex], e così via.
Esempio
[tex]f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z},\quad f(x)=x[/tex]
assegna ad ogni numero intero se stesso.
Esempio
[tex]f\colon \mathbb{N}\setminus\{0\}\to\mathbb{Z},\quad f(x)=-3[/tex]
assegna ad ogni numero naturale positivo l'elemento [tex]-3[/tex].
Esempio
[tex]f\colon \mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\frac{x+1}{x}[/tex]
assegna al numero reale [tex]x\ne0[/tex] il numero [tex](x+1)/x[/tex]: ad esempio assegna a [tex]1[/tex] il numero [tex]2[/tex], a [tex]-1[/tex] il numero [tex]0[/tex], e così via.
"Ema2003":
Buon pomeriggio a tutti, scrivo perché non riesco a capire cosa significa, per quanto riguarda le funzioni, la scrittura $f(x)=...$. Cioè, $y=f(x)$, se ho capito bene, associa mediante $f$ il valore di x al valore di y. Ma l'altra scrittura cosa diamine significa?
E' una bella domanda perchè rivela un problema di fondo che abbiamo dovuto affrontare tutti e che crea confuzione, specialmente nel proseguo degli studi.
Comprendo che per motivi "pratici" si usi la notazione, ad es., $y=3x+2$ ma nella realtà è meglio scrivere $y(x)=3x+2$ per enfatizzare che la y è dipendente dalla variabile x (pur mantenendo il legame mentale con l'asse Y che pare essere essenziale chiamarlo così, a scopi didattici, invece di $f(x)$)
Io farei scrivere SEMPRE agli studenti $f(x)=3x+2$ considerando che questa notazione si rivelerà essenziale in futuro quando studieranno funzioni generiche a più variabili del tipo $f(u,v,t)$.
La notazione conta e dice molto.
A me piace la notazione con la freccia
o nella forma breve [tex]x\overset{f}{\longmapsto}f (x)[/tex], ma a quanto pare alle superiori non la usa quasi nessuno...
[tex]\begin{align*}f\colon &A\to B\\ &x\longmapsto f(x)\end{align*}[/tex]
o nella forma breve [tex]x\overset{f}{\longmapsto}f (x)[/tex], ma a quanto pare alle superiori non la usa quasi nessuno...
"413":
A me piace la notazione con la freccia
Beh quella è la notazione più generale possibile a cui si associa un campo generico (e pure una metrica)
Forse è ancora troppo astratta per le superiori
Ringrazio entrambi per le risposte! Dunque, quell'$f(x)$ è come se fosse un $y$? So che può sembrare una cavolata, ma mi aiuterebbe molto espressa così.
Vi ringrazio di nuovo e vi auguro una buona serata
Vi ringrazio di nuovo e vi auguro una buona serata
Scusate, vorrei chiedervi un'altra cosa: in quel tipo di scrittura qual è l'immagine e quale la controimmagine? Scusate se le mie domande sono banali, ma ho letteralmente iniziato oggi a studiare le funzioni. Grazie per l'aiuto!
"Ema2003":
Ringrazio entrambi per le risposte! Dunque, quell'$f(x)$ è come se fosse un $y$?
Chiaro che si!
E impara ad usarla, come ad esempio $(df(x))/dx$ al posto $y'$
Insomma usa le buone notazioni e quelle semplificate quando sai cosa significano.
Beh, ma basta usare $y=f(x)=3x+2$ ... quando serve 
perché non è detto che sia necessario e neppure utile ... dipende dal contesto e cosa si vuole evidenziare, talvolta $f(x)=x^3+2$, talvolta $y=3x+2$ ...
Per esempio, anche per le derivate che cita Bokonon, col tempo ho capito che avere più notazioni non era affatto un male, come pensavo le prime volte che mi capitava, ma a seconda del contesto una può essere più utile o comoda di un'altra ... IMHO
Cordialmente, Alex
perché non è detto che sia necessario e neppure utile ... dipende dal contesto e cosa si vuole evidenziare, talvolta $f(x)=x^3+2$, talvolta $y=3x+2$ ...Per esempio, anche per le derivate che cita Bokonon, col tempo ho capito che avere più notazioni non era affatto un male, come pensavo le prime volte che mi capitava, ma a seconda del contesto una può essere più utile o comoda di un'altra ... IMHO
Cordialmente, Alex
@axpgn
Ma è appunto questo che consiglio.
Meglio usare le notare complete e sensate SEMPRE finchè non è chiaro cosa siano le semplificazioni.
Rende lapalissiano cosa stai facendo in tutte le situazioni.
Ma è appunto questo che consiglio.
Meglio usare le notare complete e sensate SEMPRE finchè non è chiaro cosa siano le semplificazioni.
Rende lapalissiano cosa stai facendo in tutte le situazioni.
Vediamo un esempio semplice. Consideriamo
e la funzione da [tex]A[/tex] (dominio) in [tex]B[/tex] (codominio) che associa ad ogni elemento di [tex]A[/tex] se stesso diminuito di [tex]1[/tex]
Il simbolo [tex]y[/tex], preso a sé stante, sta per un qualunque elemento di [tex]B[/tex], quindi [tex]y[/tex] può essere uno qualunque dei numeri [tex]0,1,2,3,4,5,6,7,8,9[/tex]. Quando scrivi
stai dicendo che a [tex]x[/tex] stai associando l'elemento del codominio [tex]y[/tex] che si scrive come [tex]x-1[/tex], quindi [tex]y[/tex], in questo caso, è uno dei numeri [tex]0,1,2,3,4,5,6,7,8[/tex] (ma NON [tex]9[/tex]).
L'immagine di un elemento [tex]x[/tex] del dominio è l'elemento del codominio che viene associato a [tex]x[/tex], quindi la scrittura
si legge dicendo che [tex]y[/tex] è immagine di qualche [tex]x[/tex]. Ad esempio: [tex]8\in B[/tex] è immagine di [tex]9\in A[/tex], [tex]0\in B[/tex] è immagine di [tex]1\in A[/tex], ma [tex]9\in B[/tex] non è immagine di alcun elemento di [tex]A[/tex], infatti [tex]9[/tex] non si può scrivere come un elemento di [tex]A[/tex] diminuito di [tex]1[/tex].
La preimmagine, detta anche controimmagine o fibra, di un elemento del codominio non è un singolo elemento ma un sottoinsieme del dominio, precisamente la controimmagine di un elemento [tex]y[/tex] è il sottoinsieme di [tex]A[/tex] che contiene gli elementi di [tex]A[/tex] che sono associati a [tex]y[/tex]. Ad esempio la controimmagine di [tex]0\in B[/tex] è il sottoinsieme formato da un solo elemento [tex]\{1\}\subseteq A[/tex], mentre la controimmagine di [tex]9\in B[/tex] è il sottoinsieme che non contiene alcun elemento, vale a dire l'insieme vuoto, perché nessuno elemento di [tex]A[/tex] viene mandato in [tex]9[/tex]. In generale, quindi, la controimmagine di un elemento del codominio può contenere uno, nessuno o più elementi del dominio.
Ad esempio, se prendi la funzione da [tex]A=\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}[/tex] in [tex]B=\{0,1,4,9,16,25,36\}[/tex] con legge
la controimmagine di [tex]0[/tex] è il sottoinsieme di un solo elemento [tex]\{0\}[/tex], la controimmagine di [tex]1\[/tex] è il sottoinsieme di due elementi [tex]\{-1,1\}[/tex], mentre la controimmagine di [tex]36[/tex] è l'insieme vuoto, perché nessun elemento di [tex]A[/tex] moltiplicato per se stesso fa [tex]36[/tex].
Considera la funzione da [tex]A=\{0,1,2,3,4,5\}[/tex] in [tex]B=\{0,1,2,3\}[/tex] che manda ogni elemento di [tex]A[/tex] in [tex]0[/tex]
[tex]A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\},\quad B=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/tex]
e la funzione da [tex]A[/tex] (dominio) in [tex]B[/tex] (codominio) che associa ad ogni elemento di [tex]A[/tex] se stesso diminuito di [tex]1[/tex]
[tex]f(x)=x-1.[/tex]
Il simbolo [tex]y[/tex], preso a sé stante, sta per un qualunque elemento di [tex]B[/tex], quindi [tex]y[/tex] può essere uno qualunque dei numeri [tex]0,1,2,3,4,5,6,7,8,9[/tex]. Quando scrivi
[tex]y=x-1[/tex]
stai dicendo che a [tex]x[/tex] stai associando l'elemento del codominio [tex]y[/tex] che si scrive come [tex]x-1[/tex], quindi [tex]y[/tex], in questo caso, è uno dei numeri [tex]0,1,2,3,4,5,6,7,8[/tex] (ma NON [tex]9[/tex]).
L'immagine di un elemento [tex]x[/tex] del dominio è l'elemento del codominio che viene associato a [tex]x[/tex], quindi la scrittura
[tex]y=x-1[/tex]
si legge dicendo che [tex]y[/tex] è immagine di qualche [tex]x[/tex]. Ad esempio: [tex]8\in B[/tex] è immagine di [tex]9\in A[/tex], [tex]0\in B[/tex] è immagine di [tex]1\in A[/tex], ma [tex]9\in B[/tex] non è immagine di alcun elemento di [tex]A[/tex], infatti [tex]9[/tex] non si può scrivere come un elemento di [tex]A[/tex] diminuito di [tex]1[/tex].
La preimmagine, detta anche controimmagine o fibra, di un elemento del codominio non è un singolo elemento ma un sottoinsieme del dominio, precisamente la controimmagine di un elemento [tex]y[/tex] è il sottoinsieme di [tex]A[/tex] che contiene gli elementi di [tex]A[/tex] che sono associati a [tex]y[/tex]. Ad esempio la controimmagine di [tex]0\in B[/tex] è il sottoinsieme formato da un solo elemento [tex]\{1\}\subseteq A[/tex], mentre la controimmagine di [tex]9\in B[/tex] è il sottoinsieme che non contiene alcun elemento, vale a dire l'insieme vuoto, perché nessuno elemento di [tex]A[/tex] viene mandato in [tex]9[/tex]. In generale, quindi, la controimmagine di un elemento del codominio può contenere uno, nessuno o più elementi del dominio.
Ad esempio, se prendi la funzione da [tex]A=\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}[/tex] in [tex]B=\{0,1,4,9,16,25,36\}[/tex] con legge
[tex]f(x)=x\cdot x[/tex]
la controimmagine di [tex]0[/tex] è il sottoinsieme di un solo elemento [tex]\{0\}[/tex], la controimmagine di [tex]1\[/tex] è il sottoinsieme di due elementi [tex]\{-1,1\}[/tex], mentre la controimmagine di [tex]36[/tex] è l'insieme vuoto, perché nessun elemento di [tex]A[/tex] moltiplicato per se stesso fa [tex]36[/tex].
Considera la funzione da [tex]A=\{0,1,2,3,4,5\}[/tex] in [tex]B=\{0,1,2,3\}[/tex] che manda ogni elemento di [tex]A[/tex] in [tex]0[/tex]
[tex]f(x)=0:[/tex]
[*:2ug3sjvo] qual è l'immagine di [tex]3[/tex]?[/*:m:2ug3sjvo]
[*:2ug3sjvo] qual è la controimmagine di [tex]0[/tex]?[/*:m:2ug3sjvo]
[*:2ug3sjvo] qual è la controimmagine di [tex]3[/tex]?[/*:m:2ug3sjvo][/list:u:2ug3sjvo]
L'immagine di un elemento [tex]x[/tex] del dominio si denota con [tex]f(x)[/tex], la controimmagine di un elemento [tex]y[/tex] del codominio invece si denota con [tex]f^{-1}(x)[/tex] o [tex]f^{\leftarrow}(x)[/tex].
Poi si possono definire anche immagini e controimmagini di sottoinsiemi del dominio e del codominio rispettivamente, in particolare il sottoinsieme del codominio che contiene le immagini di tutti gli elementi del dominio si chiama immagine della funzione e si denota con uno dei simboli
[tex]f(A),\,f[A],\,\mathrm{im}_f,\,\mathrm{ran}_f[/tex]
o simili.
@axpgn, Bokonon sicuramente Ema non ci dorme la notte a causa delle varie notazioni di derivata
Beh, a me dava fastidio ... inizi con $f'$ poi $(dy)/(dx)$ poi $D(f(x))$ e poi $y'$ e poi ... capisci (forse)
Ciao @413, ti ringrazio infinitamente per il tuo contributo! Sei stato molto più chiaro di qualsiasi libro di testo. Tra l'altro, è encomiabile la tua lucidità mentale alle 23
Nella funzione $f(x)=0$, non valgono tutte $0$ le cose che mi hai chiesto?
Nella funzione $f(x)=0$, non valgono tutte $0$ le cose che mi hai chiesto?
No.
[*:1u871e6y]Quali elementi di [tex]A[/tex] sono mandati in [tex]0[/tex]? [/*:m:1u871e6y]
[*:1u871e6y]Quali elementi di [tex]A[/tex] sono mandati in [tex]3[/tex]?[/*:m:1u871e6y][/list:u:1u871e6y]
Scusami, credo di non capire ciò che chiedi. In che senso sono mandati? Sempre secondo $x-1$?
"413":
Considera la funzione da [tex]A=\{0,1,2,3,4,5\}[/tex] in [tex]B=\{0,1,2,3\}[/tex] che manda ogni elemento di [tex]A[/tex] in [tex]0[/tex]
[tex]f(x)=0:[/tex]
[*:846tdp6q] qual è l'immagine di [tex]3[/tex]?[/*:m:846tdp6q]
[*:846tdp6q] qual è la controimmagine di [tex]0[/tex]?[/*:m:846tdp6q]
[*:846tdp6q] qual è la controimmagine di [tex]3[/tex]?[/*:m:846tdp6q][/list:u:846tdp6q]
Per rispondere alla seconda e terza domanda devi chiederti:
[*:846tdp6q]quali elementi di [tex]A[/tex] sono associati dalla funzione [tex]f[/tex] all'elemento [tex]0\in B[/tex], e[/*:m:846tdp6q]
[*:846tdp6q]quali elementi di [tex]A[/tex] sono associati dalla funzione [tex]f[/tex] all'elemento [tex]3\in B[/tex]?[/*:m:846tdp6q][/list:u:846tdp6q]
Ho consultato un libro di terza superiore, nello specifico il Sasso, Colori della Matematica, 3 e ho capito da dove nasce la tua confusione rispetto al concetto di controimmagine. Cito
Ora, anche volendo ammettere che gli elementi [tex]x[/tex] che vengono associati a [tex]y[/tex] dalla funzione si chiamino essi stessi [strike]controimmagini[/strike] di [tex]y[/tex](cosa che di fatto non è), la sua definizione è sbagliata perché si dovrebbe dire che
La dicitura corretta, stante la definizione corretta di controimmagine, è che
Infatti, a meno che la funzione non sia iniettiva, elementi distinti del dominio possono avere la stessa immagine.
Esempio
Se
allora
per cui, chi è [strike]la controimmagine[/strike] di [tex]4[/tex]? [tex]+2[/tex] nei giorni pari e [tex]-2[/tex] in quelli dispari?
La controimmagine di [tex]4[/tex] è
Se poi [tex]y[/tex] non fosse nell'immagine della funzione (come richiede Sasso), "la controimmagine" non esisterebbe neppure.
Esempio
Se
allora l'immagine della funzione è [tex]f(\mathbb{R})=\mathbb{R}_{\geq0}\subseteq\mathbb{R}[/tex] e l'elemento [tex]-1[/tex] del codominio non è associato ad alcun elemento del dominio perché nessun numero reale elevato al quadrato è [tex]-1[/tex]. La controimmagine di [tex]-1[/tex] è
Tra l'altro non capisco che utilità possa avere una definizione del genere... confondere gli studenti? Avrei anche da ridire sull'avverbio simmetricamente
"Sasso":
Quando è data una funzione [tex]f[/tex], l’immagine di un elemento [tex]x[/tex] appartenente al dominio della funzione, cioè l’elemento nel codominio che tramite [tex]f[/tex] corrisponde a [tex]x[/tex], viene indicata con il simbolo:
[tex]f (x)[/tex] che si legge «f di x»
Se l'elemento [tex]y[/tex] è l'immagine di [tex]x[/tex] tramite una certa funzione [tex]f[/tex], si può anche dire, simmetricamente, che [tex]x[/tex] è la controimmagine di [tex]y[/tex].
Ora, anche volendo ammettere che gli elementi [tex]x[/tex] che vengono associati a [tex]y[/tex] dalla funzione si chiamino essi stessi [strike]controimmagini[/strike] di [tex]y[/tex](cosa che di fatto non è), la sua definizione è sbagliata perché si dovrebbe dire che
[tex]x[/tex] è una controimmagine di [tex]y[/tex].
La dicitura corretta, stante la definizione corretta di controimmagine, è che
[tex]x[/tex] è nella (o appartiene alla) controimmagine di [tex]y[/tex].
Infatti, a meno che la funzione non sia iniettiva, elementi distinti del dominio possono avere la stessa immagine.
Esempio
Se
[tex]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{\geq0},\quad f(x)=x^2[/tex]
allora
[tex]4=f(+2),\quad 4=f(-2)[/tex]
per cui, chi è [strike]la controimmagine[/strike] di [tex]4[/tex]? [tex]+2[/tex] nei giorni pari e [tex]-2[/tex] in quelli dispari?
La controimmagine di [tex]4[/tex] è
[tex]f^{\leftarrow}(4)=\{-2,+2\}\subseteq\mathbb{R}.\square[/tex]
Se poi [tex]y[/tex] non fosse nell'immagine della funzione (come richiede Sasso), "la controimmagine" non esisterebbe neppure.
Esempio
Se
[tex]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x^2[/tex]
allora l'immagine della funzione è [tex]f(\mathbb{R})=\mathbb{R}_{\geq0}\subseteq\mathbb{R}[/tex] e l'elemento [tex]-1[/tex] del codominio non è associato ad alcun elemento del dominio perché nessun numero reale elevato al quadrato è [tex]-1[/tex]. La controimmagine di [tex]-1[/tex] è
[tex]f^{\leftarrow}(-1)=\emptyset\subseteq\mathbb{R}.\square[/tex]
Tra l'altro non capisco che utilità possa avere una definizione del genere... confondere gli studenti? Avrei anche da ridire sull'avverbio simmetricamente
Ciao @413, è lo stesso libro che uso io (solo che il mio è l'edizione più recente, arguisco dal "Nuova Matematica a colori"). In effetti, è un po' confusionario; sempre meglio però del Bergamini che non fornisce manco una definizione (almeno quello che uso io). Ora mi è chiaro! Dunque, in definitiva, giusto per verificare che Sasso non mi abbia inquinato le idee, la controimmagine è un insieme, non un singolo elemento. Ho capito bene?
Per quanto riguarda l'interrogativo che mi hai posto, ti chiedo scusa, ma continuo a non comprenderlo. A meno che, secondo un'interpretazione che non mi pare molto confacente (ma vabbè), la controimmagine di $0$ sia $0$ e quella di $3$ sia $3$. Auspico di non aver sparato una cavolata enorme
Ad ogni modo, ti ringrazio nuovamente e ti auguro una buona serata
Per quanto riguarda l'interrogativo che mi hai posto, ti chiedo scusa, ma continuo a non comprenderlo. A meno che, secondo un'interpretazione che non mi pare molto confacente (ma vabbè), la controimmagine di $0$ sia $0$ e quella di $3$ sia $3$. Auspico di non aver sparato una cavolata enorme
Ad ogni modo, ti ringrazio nuovamente e ti auguro una buona serata
"413":
Considera la funzione da [tex]A=\{0,1,2,3,4,5\}[/tex] in [tex]B=\{0,1,2,3\}[/tex] che manda ogni elemento di [tex]A[/tex] in [tex]0[/tex]
[tex]f(x)=0:[/tex]
[*:27lsfa1i] qual è l'immagine di [tex]3[/tex]?[/*:m:27lsfa1i]
[*:27lsfa1i] qual è la controimmagine di [tex]0[/tex]?[/*:m:27lsfa1i]
[*:27lsfa1i] qual è la controimmagine di [tex]3[/tex]?[/*:m:27lsfa1i][/list:u:27lsfa1i]
- [*:27lsfa1i]L'immagine di [tex]3\in A[/tex] è [tex]0\in B[/tex], così come di ogni altro elemento di [tex]A[/tex]. [/*:m:27lsfa1i]
[*:27lsfa1i]La controimmagine di [tex]0\in B[/tex] è [tex]A[/tex] perché la funzione [tex]f[/tex] fa corrispondere a tutti gli elementi di [tex]A[/tex] l'elemento [tex]0\in B[/tex]. [/*:m:27lsfa1i]
[*:27lsfa1i]La controimmagine di [tex]3\in B[/tex] è [tex]\emptyset[/tex] perché [tex]3\in B[/tex] non è immagine di alcun elemento di [tex]A[/tex].[/*:m:27lsfa1i][/list:u:27lsfa1i]
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