Newton e la matematica [tesina]
Ciao a tutti,
sto sistemando gli ultimi collegamenti della mia tesina che vede, tra l'altro, la figura di Newton come tema centrale.
Il collegamento di cui avrei bisogno è quello di matematica e, sbirciando un pò sul web, ho visto che Newton insieme a Leibniz sono considerati i padri fondatori del calcolo infinitesimale.
Relativamente a Newton ho notato che Newton definisce tale calcolo come "calcolo delle flussioni", ma ad essere sincero non ho capito ancora bene di cosa si tratta.
Per quanto ho potuto capire, ci sono i limiti e le derivate in mezzo, e ciò mi interesserebbe particolarmente visto che sono argomenti trattati al quinto anno di liceo scientifico e potrei benissimamente inserirli all'interno della mia tesina.
Quello che chiedo è di aiutarmi, per piacere, a trovare un valido collegamento tra Newton e la matematica facendo riferimento a qualcosa di particolare che Newton ideò riguardo questo calcolo infinitesimale (o delle flussioni).
Ho anche trovato alcune spiegazioni su Google, ma non ne trovo nessuna che venga chiaramente spiegata in chiave moderna.
Ah dimenticavo, volevo inserire come argomento il binomio di Newton, ma dal momento che non l'ho trattato quest'anno ho deciso di non portarlo. Grazie in anticipo a tutti coloro che mi daranno una grossa mano!
sto sistemando gli ultimi collegamenti della mia tesina che vede, tra l'altro, la figura di Newton come tema centrale.
Il collegamento di cui avrei bisogno è quello di matematica e, sbirciando un pò sul web, ho visto che Newton insieme a Leibniz sono considerati i padri fondatori del calcolo infinitesimale.
Relativamente a Newton ho notato che Newton definisce tale calcolo come "calcolo delle flussioni", ma ad essere sincero non ho capito ancora bene di cosa si tratta.
Per quanto ho potuto capire, ci sono i limiti e le derivate in mezzo, e ciò mi interesserebbe particolarmente visto che sono argomenti trattati al quinto anno di liceo scientifico e potrei benissimamente inserirli all'interno della mia tesina.
Quello che chiedo è di aiutarmi, per piacere, a trovare un valido collegamento tra Newton e la matematica facendo riferimento a qualcosa di particolare che Newton ideò riguardo questo calcolo infinitesimale (o delle flussioni).
Ho anche trovato alcune spiegazioni su Google, ma non ne trovo nessuna che venga chiaramente spiegata in chiave moderna.
Ah dimenticavo, volevo inserire come argomento il binomio di Newton, ma dal momento che non l'ho trattato quest'anno ho deciso di non portarlo. Grazie in anticipo a tutti coloro che mi daranno una grossa mano!
Risposte
Se riesci a trovare il
Boyer, Storia della matematica, Mondadori (di solito nelle biblioteche si trova),
il capitolo 19 ha ben 5 paragrafi dedicati a Newton (9 pagine) che spiegano tutto quello che ti serve.
Boyer, Storia della matematica, Mondadori (di solito nelle biblioteche si trova),
il capitolo 19 ha ben 5 paragrafi dedicati a Newton (9 pagine) che spiegano tutto quello che ti serve.
Se frequenti il liceo scientifico avresti dovuto incontrarlo nella "Distribuzione Binomiale" cioè una delle più "famose" distribuzioni di probabilità. Non so se ti può essere d'aiuto...
Il Boyer, Storia della matematica, lo puoi trovare qui:
ftp://nozdr.ru/biblioteka/kolxo3/M_Mathematics/MPop_Popular-level/Boyer%20C.B.,%20Merzbach%20U.%20A%20history%20of%20mathematics%20(2ed.,%20Wiley,%201991)(ISBN%200471543977)(T)(O)(736s)_MPop_.djvu
ftp://nozdr.ru/biblioteka/kolxo3/M_Mathematics/MPop_Popular-level/Boyer%20C.B.,%20Merzbach%20U.%20A%20history%20of%20mathematics%20(2ed.,%20Wiley,%201991)(ISBN%200471543977)(T)(O)(736s)_MPop_.djvu
Vi ringrazio per l'aiuto.
Su Wikipedia afferma che "Newton si rese conto che «il problema delle tangenti» e quello «delle quadrature» erano uno l'inverso dell'altro ossia che la derivazione era l'inverso dell'integrazione. Per la verità passi importanti verso la dimostrazione di questo teorema (che non a caso è noto come teorema di Torricelli Barrow) erano già stati compiuti, ma il contributo di Newton fu di grande importanza"
Secondo voi va bene se porto il teorema di Torricelli Barrow in matematica collegandomi con Newton?
Cosa si intende per «problema delle tangenti» e quello «delle quadrature»?
Potete spiegarmi in breve di cosa si tratta? Grazie
Su Wikipedia afferma che "Newton si rese conto che «il problema delle tangenti» e quello «delle quadrature» erano uno l'inverso dell'altro ossia che la derivazione era l'inverso dell'integrazione. Per la verità passi importanti verso la dimostrazione di questo teorema (che non a caso è noto come teorema di Torricelli Barrow) erano già stati compiuti, ma il contributo di Newton fu di grande importanza"
Secondo voi va bene se porto il teorema di Torricelli Barrow in matematica collegandomi con Newton?
Cosa si intende per «problema delle tangenti» e quello «delle quadrature»?
Potete spiegarmi in breve di cosa si tratta? Grazie
Quello che noi oggi conosciamo come "fare la derivata" o "fare un integrale" è un concetto che applichiamo senza sforzo e a volte senza capire nemmeno che cosa stiamo facendo, giusto perchè conosciamo le regole e le derivate/integrali fondamentali.
Ai tempi di Newton non esisteva nulla di tutto questo, era tutto in divenire. Esistevano problemi matematici vecchi di secoli da risolvere. La derivata rappresenta una tangente, questo lo avrai senz'altro studiato... con Newton (o perlomeno a quei tempi) si cercava graficamente di dare un senso a questi concetti che parevano astratti ma che non lo erano.
Fare un integrale significa calcolare una area. Sottesa da una curva. Quindi, in un certo senso, quadrarla. Dopo la quadratura del cerchio, problema irrisolvibile ma che all'epoca faceva ancora uscire di senno non poche menti, sappi che si tentò di quadrare l'ellisse, la parabola, l'iperbole... tutte le curve venivano "quadrate" alcune con successo e alcune no. puoi cercare qualcosa sull'argomento. Per esempio il concetto di logaritmo divenne finalmente importante per il problema della quadratura dell'iperbole, ricorda che l'integrale di (1/x) cioè una iperbole equilatera è il logaritmo di x.
Quindi immagina in definitiva di dover rappresentare graficamente e di dare un senso di realtà alla derivata e all'integrale... che cosa fai? tangenti e calcolo di aree
Ai tempi di Newton non esisteva nulla di tutto questo, era tutto in divenire. Esistevano problemi matematici vecchi di secoli da risolvere. La derivata rappresenta una tangente, questo lo avrai senz'altro studiato... con Newton (o perlomeno a quei tempi) si cercava graficamente di dare un senso a questi concetti che parevano astratti ma che non lo erano.
Fare un integrale significa calcolare una area. Sottesa da una curva. Quindi, in un certo senso, quadrarla. Dopo la quadratura del cerchio, problema irrisolvibile ma che all'epoca faceva ancora uscire di senno non poche menti, sappi che si tentò di quadrare l'ellisse, la parabola, l'iperbole... tutte le curve venivano "quadrate" alcune con successo e alcune no. puoi cercare qualcosa sull'argomento. Per esempio il concetto di logaritmo divenne finalmente importante per il problema della quadratura dell'iperbole, ricorda che l'integrale di (1/x) cioè una iperbole equilatera è il logaritmo di x.
Quindi immagina in definitiva di dover rappresentare graficamente e di dare un senso di realtà alla derivata e all'integrale... che cosa fai? tangenti e calcolo di aree
"mazzarri":
Quello che noi oggi conosciamo come "fare la derivata" o "fare un integrale" è un concetto che applichiamo senza sforzo e a volte senza capire nemmeno che cosa stiamo facendo, giusto perchè conosciamo le regole e le derivate/integrali fondamentali.
Ai tempi di Newton non esisteva nulla di tutto questo, era tutto in divenire. Esistevano problemi matematici vecchi di secoli da risolvere. La derivata rappresenta una tangente, questo lo avrai senz'altro studiato... con Newton (o perlomeno a quei tempi) si cercava graficamente di dare un senso a questi concetti che parevano astratti ma che non lo erano.
Fare un integrale significa calcolare una area. Sottesa da una curva. Quindi, in un certo senso, quadrarla. Dopo la quadratura del cerchio, problema irrisolvibile ma che all'epoca faceva ancora uscire di senno non poche menti, sappi che si tentò di quadrare l'ellisse, la parabola, l'iperbole... tutte le curve venivano "quadrate" alcune con successo e alcune no. puoi cercare qualcosa sull'argomento. Per esempio il concetto di logaritmo divenne finalmente importante per il problema della quadratura dell'iperbole, ricorda che l'integrale di (1/x) cioè una iperbole equilatera è il logaritmo di x.
Quindi immagina in definitiva di dover rappresentare graficamente e di dare un senso di realtà alla derivata e all'integrale... che cosa fai? tangenti e calcolo di aree
Wow, non some come ringraziarti!
Mi hai finalmente chiarito le idee riguardo questi concetti a me inizialmente estranei (no su cosa sia un integrale o una derivata, ma su tutto cio che riguardava i problemi risalenti ai tempi di Newton)!
Figurati Pita
leggiti qualche libro di storia della matematica. si c'è il Boyer, per carità, istituzione assoluta, saranno circa 1000 pagine... leggiti magari solo la parte riguardante Newton e Leibniz... ma ce ne sono tanti altri... adesso non saprei darti altri titoli... tieni presente che allora avevano dei problemi geometrici (alcuni risalenti all'antica Grecia) da risolvere, la matematica astratta fatta di x,y, incognite e calcolo era in divenire... cercati qualcosa sulla quadratura delle varie figure... per esempio la quadratura della parabola mi sembra di ricordare risalga ad Archimede... praticamente devi costruire un poligono di area uguale a quella sottesa da un arco di parabola... oggi ti sembra semplice, fai l'integrale
$int x^2 dx$
definito tra due valori nel piano cartesiano e hai risolto... hai trovato l'area del poligono... ma per arrivare a questo sai quanto sangue è stato versato? i matematici cercavano di farlo con un righello e un compasso e coi teoremi della geometria, ci spendevano una vita intera
Se vuoi dire una cosa in particolare di Newton perchè non parli del "metodo di Newton o delle tangenti"?
Sai a che cosa mi riferisco?
Newton ha ideato un metodo molto ingegnoso e veloce per approssimare molto bene lo zero di una funzione... prendi una funzione $f(x)$ di solito molto complicata tale per cui trovare gli zeri o lo zero sia impresa ardua. Se, col teorema di esistenza degli zeri, scopri che c'è uno zero vicino al punto $x_0$ allora le approssimazioni successive le calcoli con la forma iterativa
$x_(n+1)=x_n-f(x_n)/(f'(x_n))$
cioè per esempio
$x_1=x_0-f(x_0)/(f'(x_0))$
e ad ogni step ti avvicini sempre più al valore reale... 3 o 4 passaggi e hai una precisione altissima!!
leggiti qualche libro di storia della matematica. si c'è il Boyer, per carità, istituzione assoluta, saranno circa 1000 pagine... leggiti magari solo la parte riguardante Newton e Leibniz... ma ce ne sono tanti altri... adesso non saprei darti altri titoli... tieni presente che allora avevano dei problemi geometrici (alcuni risalenti all'antica Grecia) da risolvere, la matematica astratta fatta di x,y, incognite e calcolo era in divenire... cercati qualcosa sulla quadratura delle varie figure... per esempio la quadratura della parabola mi sembra di ricordare risalga ad Archimede... praticamente devi costruire un poligono di area uguale a quella sottesa da un arco di parabola... oggi ti sembra semplice, fai l'integrale
$int x^2 dx$
definito tra due valori nel piano cartesiano e hai risolto... hai trovato l'area del poligono... ma per arrivare a questo sai quanto sangue è stato versato? i matematici cercavano di farlo con un righello e un compasso e coi teoremi della geometria, ci spendevano una vita intera
Se vuoi dire una cosa in particolare di Newton perchè non parli del "metodo di Newton o delle tangenti"?
Sai a che cosa mi riferisco?
Newton ha ideato un metodo molto ingegnoso e veloce per approssimare molto bene lo zero di una funzione... prendi una funzione $f(x)$ di solito molto complicata tale per cui trovare gli zeri o lo zero sia impresa ardua. Se, col teorema di esistenza degli zeri, scopri che c'è uno zero vicino al punto $x_0$ allora le approssimazioni successive le calcoli con la forma iterativa
$x_(n+1)=x_n-f(x_n)/(f'(x_n))$
cioè per esempio
$x_1=x_0-f(x_0)/(f'(x_0))$
e ad ogni step ti avvicini sempre più al valore reale... 3 o 4 passaggi e hai una precisione altissima!!
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